【流体力学微教材】水力学基本理论

在水力学中，如果取流程坐标s和时间t作为自变量，则可将速度、压强等水力要素表示成为（s，t）函数，由此提出所谓的一元流理论。如果在流场中取一个垂直于流线的微元面积dA，通过这个微元面的周线做流线，可形成一个微元流管，如图1所示。充满以微元流管的一束水流，称为流束。按照流线不能相交的原则，微元流管内的水流不会穿过流管壁面向外流动，同样流管外的水流也不会穿过流管壁面向内流动。当水流为恒定流动时，微元流管的形状和位置不随时间变化。但在非恒定情况下，微元流管的形状和位置一般是随时间变化的，除非流管位置固定。对于恒定不可压缩流动，如果沿着微元流管取1-1和2-2断面（与流线垂直），则根据质量和能量守恒定律，可得微元流的连续方程和能量方程（考虑机械能损失的伯努利方程（1738年））。即

图1  微元流束及能量方程

其中，z₁、p₁、u₁分别为微元流束1-1断面的位置、压强和速度；z₂、p₂、u₂分别为微元流2-2断面的位置、压强和速度；h_w1-2为断面1-2之间微元流束的机械能损失（水头损失）。上述连续方程表明：沿着同一个微元流束，不可压缩水流的流量保持不变。能量方程表明：沿着同一个微元流束，1-1断面元流的总水头等于2-2断面元流的总水头加上1-2断面之间元流的水头损失。

任何有边界的实际水流称为总流，显然总流可看作由无数多微元流束组成。与流线垂直的断面称为过水断面，显然对于总流而言，如果流线是平行的直线，则过水断面为平面（如图2所示），否则为曲面。把单位时间通过总流过水断面的水流体积称为总流的流量（体积流量），其大小为

式中，A为总流过水断面，V为断面平均流速。

图2  总流过水断面速度分布与断面平均速度

如果用过水断面平均值表达各物理量，此时的总流也可近似看作为一元流，由此得到的理论称为总流理论，这种方法也称为总流分析法。其最大的特点是：忽略了物理量在垂直于过水断面上的变化，在每一个过水断面上用断面平均值代替。

将微元流束的能量方程在总流过水断面上积分后取平均，就可以得到用断面平均物理量表达的能量方程，具体如下：

这个就是总流能量方程。该方程表明：1-1过水断面平均总水头等于2-2过水断面平均总水头叠加1-2断面之间总流的机械能损失。其中，α₁为1-1断面动能修正系数，α₂为2-2断面动能修正系数。这个动能修正系数与断面上的速度分布有关，流速分布均匀的为1，不均匀的大于1。在渐变流中的过水断面上，α≈1.05～1.1。在总流分析中，均匀流的情况（流线保持平行的直线流动，过水断面是平面）少见，多数情况属于非均匀的流动（过水断面是曲面）。非均匀的流动又可根据流线的不平行和弯曲的程度，分为渐变流和急变流。当总流的流线是几乎接近平行的直线时，称为渐变流，否则称为急变流动。如图3所示。

图3  管道流（变径和转弯）

在实际水体流动中，受水流黏滞性和边界壁面的阻止作用，将会在流动过程中产生水流阻力，水流须克服流动阻力而做功，由此将消耗一部分机械能转化为热能失散（不能再被机械能所利用），水力学把这部分单位重量、单位时间消耗的机械能称为水头损失，用h_w表示。水头损失与水体的物理性质、流动内部结构和边界特征存在密切的关系。从表观上看，水流的水头损失可分成沿程水头损失和局部水头损失。如果流道或流管平顺，水头损失主要是由水流克服边界摩擦阻力做功而引起的，如图4所示，用h_f表示，称为沿程水头损失。如果水流发生局部分离，水头损失将主要出现在水流内部，这部分损失称为局部水头损失，用h_j表示，如图5所示。

图4  均匀流管道沿程损失

图5  水流绕平板闸门的局部分离流态

综上可见，水流的总水头损失可表示为

对于水平等直径的管道（如图4所示），如果管道面积为A、边界周长为P，断面1-1和断面2-2之间的距离为L，则由总流连续方程、动量方程和能量方程可得到

式中，τ_w为管道壁面摩擦切应力，R=A/P为管道断面水力半径（对于圆形管道，P=πd，R=d/4），J=h_f/L为水力坡度。令壁面摩擦切应力正比于速度的平方，取

其中，C_f为壁面摩擦阻力系数，λ为管道沿程阻力系数。带入前式可得

式中，λ为无量纲系数，与水流雷诺数Re和管道壁面相对粗糙度有关。该式由德国科学家魏斯巴赫（Julius Weisbach，1806年～1871年，如图6所示）于1850年首先提出，法国科学家达西（如图7所示）在1858年用实验的方法进行了验证，故称为达西-魏斯巴赫公式，亦称沿程水头损失通用公式，简称达西公式。达西-魏斯巴赫公式适用于任何截面形状的光滑和粗糙管内充分发展的层流和湍流流动，具有重要的工程应用价值。

图6  德国科学家魏斯巴赫

（Julius Weisbach，1806年～1871年）

图7  法国工程师达西(Henry Darcy，1803年～1858年)

一般对于工业管道，可通过相应的雷诺数Re和相对粗糙度Δ/d查莫迪图获得（如图8所示，1944）。在工业界上，也可用更为简单的经验公式。早在1769年法国工程师谢才（A. Chezy，1718年～1798年）通过总结明渠均匀流的实测资料，提出计算均匀流水头损失的谢才公式。即

式中，C为谢才系数。将J=h_f/L，R=A/P，代入上式，得

谢才系数C是一个有量纲的经验系数，单位是m^1/2/s。后来1889年，爱尔兰工程师满宁（Robert Manning）给出了关于系数C更为简单关系式。即

式中，n为管道粗糙系数，简称糙率。实际应用时，n值有表可查。

图8  莫迪图（沿程阻力系数关系曲线）

对于局部损失h_j，涉及水流在管道内的分离区大小和程度，一般根据具体情况由实验确定，通常用的一个经验公式是

其中，ξ为局部水头损失系数，由实验确定，主要决定于几何形状、过流雷诺数等。法国物理学家包达（J.C.Borda,1733年～1799年，如图9所示）利用总流动量和能量方程，得到管道突扩引起的局部损失公式，如图10所示，简称为包达公式。即

突扩管道的机械能利用效率定义为

图11给出突扩管道局部水头损失系数和机械能利用效率随面积比的变化关系曲线。

综合起来，对于存在若干不同过流元件的等截面管道，总水头损失可表示为

图9  法国物理学家包达(Jean-Charles de Borda，1733～1799年)

图10  突扩管道局部分离流动

图11  突扩管道局部水头损失系数和机械能利用效率与面积比的关系曲线