【流体力学微教材】激波现象

风流知音【流体力学微教材】激波现象——刘沛清 CFDJC(2018)1002

激波现象

刘沛清

北京航空航天大学

1、概述

 当飞行器以超声速飞行时，飞行器对空气扰动的传播速度（波速）小于飞行器的飞行速度，结果使飞行器前面的空气受到突跃式的压缩，形成集中的强扰动（由无数微小压缩波叠加而成的），这时会出现一 个压缩过程的界面，称为激波。激波是弱压缩波叠加而形成的强间断波，带有很强的非线性效应。经过激波，气体的压强、密度、温度都 会突然升高，流速突然下降。压强的跃升产生可闻的爆响。如飞行器 在较低的空域中作超声速飞行时，地面上的人可以听见这种响声，即所谓音爆。利用经过激波气体密度突变的特性，可以用光学仪器把激波拍摄下来。理想气体的激波没有厚度，是数学上间断面。实际气体 有粘性和传热性，这种物理性质使激波成为连续式的，不过其过程仍十分急骤。因此，实际激波是有厚度的，但数值十分微小，只有气体分子自由程的某个倍数，波前相对超声速马赫数越大，厚度值越小。图1为超声速战斗机飞行时的斜激波，图2为战斗机尾喷管出口的激 波盘。

图1  超声速战斗机飞行时的斜激波

图2  战斗机尾喷管形成的激波盘

 2、正激波

 激波面（波阵面）与来流方向之间的夹角称为激波角。当激波角 为90度时，称为正激波，其波阵面与气流方向垂直，如图3所示的 钝头体超声速绕流所形成的弓形激波的头部区域。如果用相对坐标系来建立激波前后流动参数的关系时，问题较为简单。采用相对坐标的 优点是，气流相对于波阵面而言是定常的，可以直接应用定常流的基本方程。如图4所示，在激波前后取虚线所示控制面。激波不动，静止的气流以V1流向激波，激波后气流速度为V2（小于a2）离开。

图3  钝头体超声速绕流产生的弓形激波（头部区域的正激波）

图4   相对坐标下的控制体

由连续方程，可得

对虚线控制面应用动量方程，可得

由绝热流动的能量方程可得

1908年普朗特导出的超声速激波关系式是

其中，a*为临界截面声速。上式即为著名的Prandtl激波公式，表示 波前和波后流速系数的关系。说明正激波后气流速度系数λ2恰好是 波前气流速度系数λ1的倒数。因波前必为超声流，λ1＞1，所以波 后的速度系数λ2＜1，就是说，超声速气流经过正激波后必为亚声速 流。正激波前后的其它物理量关系同样可以导出。如密度比关系为

静温关系式为

静压强比的关系为

经过激波，总温不变，总压下降，熵增大。

3、斜激波

 对于不同头部形状的绕流物体，在作超声速飞行时，实验发现所产生的激波形状是不同的。如对于一个具有菱形机翼形状的飞行器， 在作超声速飞行时，在一定的Ma1>1之下，如果机翼前缘尖劈的顶角 不大，将形成上下两道简单的斜激波（如图5所示），其波面和运动方向成一定的斜角，激波依附在物体的尖端上。这种激波在形式上与 正激波不同，其波阵面与来流方向斜交，称为斜激波。在斜激波中，激波波阵面与来流方向之间的夹角β，称为激波角。同样，斜激波后 的气流方向也不与激波面垂直，与波前气流方向也不平行，而是与尖劈面平行，夹角δ，称为气流折角，意指气流经过斜激波后所折转的角度（如图6所示）。

图5  尖头物体绕流的斜激波

图6  超声速气流绕过尖前缘的斜激波与正激波相比，斜激波属于弱激波，其中尖劈角越小，激波越弱。

如果尖劈半顶角δ是无限小，显然这个很薄的尖劈对超声速气流造成的扰动一定是微弱扰动，扰动波必是马赫波，扰动角必是马赫角。随着尖劈角δ的增大，激波β亦逐渐增大。δ愈大，激波β也愈大。由此看来，就正激波而言，只要Ma1确定，诸参数的增量就定了；而对 斜激波而言，则需要由Ma1及δ两个参数确定激波斜角β，然后再根据β所确定的激波强度，其它物理量迎刃而解了。图7给出不同的马 赫数下斜激波角和尖劈角的关系。

图7  不同的马赫数下斜激波角和尖劈角的关系

4、激波内部结构

把激波当作没有厚度的突跃面（间断面）看待，在处理一般流动问题是可以的，不会造成较大误差的。不过，当考虑粘性影响时，激波就不能看作为无厚度的。事实上，因气流速度经过激波有一定变化，当激波厚度为零时，速度梯度就是无限大的，这时粘性的影响很大， 在粘性的作用下速度不可能在无厚度下由v1突然减速到v2，也就是说 必须有一个过渡区，这个过渡区的厚度就是激波的厚度。实验发现， 激波厚度是一个很小的量，与分子平均自由程同量级。在海面大气中，分子自由程为70×10−6mm。在Ma=3的情况下，用连续介质理论计算出的激波厚度为66×10−6  mm。有人用考虑粘性和传热的连续介质的方程，去分析气流参数在激波内部的变化过程，发现速度等参数在激波内是连续变化的，如图8所示。速度从波前的v1变化到波后的v2，是一个渐变的过程，所以激波厚度不能明确的定义。通常在v-x曲线的拐点上作曲线的切线，它与v1和v2为常值的水平线的交点之间的距离即是激波厚度。

图8 用连续介质假设得到的激波内速度变化曲线

 5、超声流动势流解方法 

当超声速流动为无粘势流时，速度势函数的控制方程是非线性二阶双曲型偏微分方程。基于超声速小扰动线化理论，可建立线性二阶 双曲型偏微分方程，并利用特征线法求解。在超声速流动中，主要研 究压缩波、膨胀波、激波等对流动的影响规律。理想气体的激波没有 厚度，是数学意义的不连续面。英国科学家朗金（Rankine，1870 年）和法国科学家雨贡尼（Hugoniot，1887年）分别独立从斜激波 前后的连续方程、动量方程和能量方程推导出朗金—雨贡尼关系式， 后来普朗特建立了正激波的关系式。对于薄翼小扰动问题，阿克莱特（Arkwright）在1925年提出了二维线化机翼理论，以后又相应地出现了三维机翼的线化理论。对于二维和三维定常超声速气流动，扰动和未扰动区的分界面就是马赫波，如果超声速气流经过一系列马赫波 膨胀加速，称为膨胀波。普朗特和他的学生迈耶尔（T.Meyer，1907 年～1908年）建立了膨胀波的关系式。