【妙趣力学|张华】两个轱辘的自行车是怎样保证运动稳定的？

风流知音(FLOWS:Physics & beyond)【妙趣力学】：两个轱辘的自行车是怎样保证运动稳定的？CFDIP (2018)1001

两个轱辘的自行车是怎样保证运动稳定的？

张华

北京航空航天大学航空科学与工程学院

（注：该文发表于2018年5月15日作者的个人“美篇”）

张华教授

作者简介

张华，北京航空航天大学航空科学与工程学院教授，北京市高校教学名师，北京市优秀教师，中国力学学会全国优秀力学教师，北航国家级精品课《空气动力学》优秀主讲教师，北航“我爱我师-十佳教师”，北京力学学会科普委员会副主任，《力学与实践》杂志编委，主要研究方向：旋涡与分离流动，流动控制，激波边界层干扰，风工程，风洞水洞设计。

摘要

介绍自行车运动稳定性概念，并回顾了自行车稳定性的有关研究。在此基础上定性讨论自行车稳定性参数、稳定性原理、两种不同稳定性之间的关系、典型的稳定性设计和动态稳定过程等问题。

关键词：自行车；运动稳定性；稳定距；斜距

1. 自行车运动稳定性概念

图1描画了我们日常熟悉的情景：小女孩骑着自行车、载着小猫、哼着小曲轻松前行。自行车良好的运动稳定性让人感到稳定安全、操控容易、舒适省心。

图1 潇洒骑车中的女孩

自行车的运动稳定性是指：运动过程中当受到外力干扰使自行车离开原有的平衡状态时，在人没有专门操纵的情况下，自行车本身具有抵抗干扰、恢复原有平衡状态的趋势。

用一定速度推一辆无人的自行车前进，即使撒开手也能发现，自行车会稳定地前进相当远的一段距离不会很快倒下。如果自行车车把是固定死不能转动的，被推行时自行车很快就会倒下。

当然无人自行车终究还是会倒下，说明普通自行车并非具备无人操纵情况下永不倾倒的绝对稳定性。以下讨论涉及的稳定性指的是相对稳定性：即自行车运动中受扰后产生与扰动相反的趋势或能力，这种趋势或能力虽然不能保证自行车本身绝对稳定或永不倾倒，但在稳定性方面设计良好的自行车可使无人情况下以一定速度推行时维持更长距离、更长时间不倒，有人操纵时可使人的操控容易、骑行舒适。因为稳定性与操纵性是一对关系密切的矛盾，稳定性过强时操纵不灵敏，反之操纵过于灵敏时稳定性降低。

普通自行车绝对不倾倒终究是靠人（或电脑，参见图17录像）智能化的主动操纵、控制来实现的，这一点本文会有所涉及但不是讨论的重点。

2. 对自行车稳定性研究的回顾[1]

北京大学武际可教授2014年写的"自行车的学问"[1]一文对自行车的发展历史和自行车稳定性研究的情况有过较全面的介绍。早期人们普遍认为自行车稳定不倒的趋势主要来自于车轮旋转的陀螺效应，然而普通自行车车轮的陀螺效应通常是很微弱的。1970年英国人琼斯(David E. H. Jones) 在前轮旁设计了一个不与地面接触但可随车轮反向旋转的附加车轮，附加车轮转向与车轮相反时陀螺效应消失。琼斯的实验表明无论车轮陀螺效应是否存在都不影响自行车的稳定性（图2）。

图2 琼斯设计的改变陀螺效应自行车

琼斯提出一个"前轮尾迹"概念（图3），认为是前轮尾迹的存在使自行车倾倒时前轮向同侧转一个角度从而为自行车提供了不倾倒的稳定性。琼斯的论文引起了研究者极大兴趣，对后来的相关研究影响很大，同时其"前轮尾迹"理论也伴随着许多争议。

图3 琼斯的前轮尾迹概念

2011年著名的《科学》(Science) 杂志发表了一篇题目为"没有陀螺效应和前轮尾迹的自行车也能自稳定"的论文，该论文通过设计无陀螺效应和无前轮尾迹的自行车及其稳定性实验，否定了自行车稳定性来自于陀螺效应和前轮尾迹的观点。图4是该论文中无陀螺效应、无前轮尾迹的"自稳定"自行车设计。然而遗憾的是该论文也没有得出自行车稳定性到底取决于何种因素的结论。

图4 无陀螺效应、无前轮尾迹的自稳定自行车

近年来也有人给自行车加装特殊的陀螺装置，利用附加装置的巨大陀螺效应设计出具有自稳定能力的自行车（例如美国、英国Jyrobike公司推出的陀螺效应自稳定儿童自行车产品）。本文将在文献[1]的基础上讨论日常所见的普通自行车（不涉及具有巨大陀螺效应的附加装置）的稳定性问题。

3. 自行车运动稳定性的主要参数

自行车运动稳定性实际上包含了两种：方向稳定性和倾倒稳定性。前者指自行车运行时受到某种扰动使前轮转向时，前轮有自动回正的趋势或能力；后者指自行车运行时受到外力扰动车身向一侧倾倒时，自行车具有防止或抵抗倾倒的趋势或能力。方向稳定性与倾倒稳定性并不是独立的，二者相互制约、关系密切。自行车稳定性实际是上述两种稳定性综合作用下的特性，换言之倾倒稳定性并不是自行车稳定性的全部而只是其一个方面，要实现自行车的稳定运行必须使倾倒稳定性与方向稳定性相互协调。

提供自行车运动时方向稳定性和倾倒稳定性的主要参数分别是前轮的稳定距与斜距，前者也可称为方向稳定距，后者也可称为倾倒稳定距。参见图5。

图5 稳定距与斜距

稳定距是前叉轴与前轮接地点的垂直距离（上图标注应指垂直距离）这与琼斯的前轮尾迹概念有细微区别，该距离主要起方向稳定性作用并对倾倒稳定性有制约作用(尽管该距离对倾倒稳定性也有间接贡献，参见第5节所述)，这与琼斯的理论有所不同。斜距是前轮轴与前叉轴的垂直距离，斜距主要起倾倒稳定性作用。

稳定距与斜距二者的关系与前叉倾角（前叉后倾与地面形成的夹角）有关。给定前叉倾角时，斜距越大稳定距越小。在斜距为零的情况下，如果前叉倾角小于90度可提供一定的稳定距，如果前叉倾角增大为90度则稳定距减小为零。在斜距不为零、前叉倾角为90度时，稳定距为负，前轮处于方向不稳定状态，受扰后前轮将偏转180度变为稳定距为正，大小与前述斜距相同，斜距消失。

以下几节首先从单一稳定性参数的角度出发分析其对各自稳定性的影响，再进一步讨论两种稳定性的相互牵连影响，以及二者对自行车动态稳定性的综合作用。

4. 方向稳定性的原理

自行车方向稳定性主要由前轮稳定距提供。获得稳定距有以下三种方式(图6): a.轮叉轴后倾，b.采用摇臂， c.轮叉轴后倾加摇臂。

图6 获得稳定距的三种形式

其中第一种（轮叉轴后倾）是自行车前轮常采用的稳定距形式，后两种是飞机前轮、许多工程小车、超市购物车轮以及行李箱轮等常用的稳定距形式。图6中 a 的稳定距最小，c 的稳定距最大（假设倾角、摇臂和轮径相同）。

自行车方向稳定性的原理如图7所示：当前轮在运动中受到扰动而发生方向偏转时，地面摩擦力分量 T 将对前叉轴产生与扰动相反的恢复力矩 M，稳定距越大则恢复力矩越大。

图7 稳定距提供方向稳定性的原理

方向稳定性既不宜过强也不宜过弱。方向稳定性过强时骑车人操控自行车不灵敏，并会削弱倾倒稳定性，因为倾倒稳定性取决于前轮随倾倒的偏转特性（参见第5节）。方向稳定性过弱时车把容易摇晃，且方向稳定性与倾倒稳定性互不协调时无法保证自行车的运动稳定。

方向稳定性过强、倾倒稳定性过弱的极端情况是：自行车把固定、前轮无法偏转，此时推车车将很快倒下。方向稳定性过弱、倾倒稳定性过强的极端情况是：受扰后前轮向一侧偏转较大角度不能回正，而车身则向另一侧倾倒。因此要保证自行车的运动稳定性必须使方向稳定性与倾倒稳定性相互协调。

尽管稳定距可以提供方向稳定性，但其可能带来的副作用是产生"摆振"现象（图8），即车轮在前进过程中左右摇摆。推动超市购物车和拉行李箱时可以发现类似的"摆振"现象。摆振不仅会降低舒适性而且会影响车轮寿命。

图8 稳定距造成的前轮摆振现象

飞机前轮一般采用"减摆器"（利用液压油流过小孔产生阻尼耗散作用）解决摆振问题，自行车则利用前叉轴自身的阻尼克服摆振问题，如果阻尼较小、龙头太松骑车时车把容易摇晃，影响骑行舒适性。如果阻尼过大，将影响操控的灵敏性和倾倒稳定性（下述）。

5. 倾倒稳定性的原理

值得指出，自行车倾倒时旋转车轮的陀螺效应的确是有助于抵抗倾倒的[1]，只不过在常规车轮和常规车速下其陀螺效应比较微弱罢了。下面的讨论不涉及陀螺效应问题。

自行车倾倒稳定性主要由前轮斜距提供。以图9的稳定距为零、斜距不为零情况为例：

图9 前轮斜距提供倾倒稳定性的原理

当自行车受扰向右侧(即纸面外)倾倒时，作用在前轮轴上的重力(在垂直于前叉轴平面内的分量)将对前叉轴产生偏转力矩，使前轮向右偏转，从而使自行车向右转弯，自行车以一定速度右转时较高的重心产生了惯性离心力（与倾倒方向相反），从而提供了倾倒稳定性。速度越快拐弯曲率半径越小则倾倒稳定性越强，显然提高倾倒稳定性需要增加斜距、减小前叉轴阻尼，这一要求与方向稳定性相矛盾。

图9的结构实际上就是文献[1]中提到的《科学》（Science）杂志相关论文中的"无前轮尾迹"设计（见图4），也就是"无方向稳定距"设计。该结构具有一定倾倒稳定性，虽然没有方向稳定距，但只要前叉轴具有适当的阻尼就会弥补方向稳定性的不足。这种结构在适当的倾倒稳定性和前叉轴阻尼的配合下实现动态稳定的过程如下：当有向右倾倒趋势时斜距使前轮向右偏转，车略向右拐弯，引起的惯性离心力向左，使自行车不会很快倒下。同时由于前叉轴具有足够阻尼，前轮的偏转受到限制，即在前轮尚未偏转太大角度之前向左的惯性离心力又将使车身向左倾斜，前轮又向左偏转，车又略向左拐弯，又产生向右倾的惯性力。这就是图4中自行车的动态稳定运动过程。第6节还将对此进一步讨论。

斜距为零、由前叉后倾角提供稳定距的前轮也能提供一定的倾倒稳定性，如图10所示。

图10 斜距为零、前叉后倾形成稳定距的前轮

当自行车受扰向右（即纸面外）倾倒时，重力在地面的反作用力（在垂直于前叉轴平面内的分量）对前叉轴形成右转力矩，使前轮右转，从而自行车产生抵抗右倾的惯性离心力和力矩。该稳定力矩与前叉后倾角（稳定距）、车速和转弯半径有关。显然这里的倾倒稳定性同时将受到方向稳定性（稳定距）的制约。

图10的结构（具有稳定距即具有前轮尾迹）尽管没有斜距但也能够产生随倾倒的前轮转角（倾倒同一侧）而获得一定倾倒稳定性，这与琼斯的观点是一致的，但琼斯并没有考虑到前轮随倾倒的偏转还会受到方向稳定距制约的问题。这种仅有稳定距（或前轮尾迹）无斜距的结构其倾倒稳定性相对不足，运行中倾倒时前轮偏转相对不足，无人操控时会更快倒下，有人操控时车把不灵活较难掌控。常规的自行车上几乎都有斜距。

斜距为零、由无后倾角的摇臂提供稳定距的前轮也能提供一定的倾倒稳定性，如图11所示：

图11 斜距为零、无后倾摇臂形成稳定距的前轮

当自行车受扰向左（即向纸外）倾倒时，重力在地面的反作用力（在垂直于前叉轴平面内的分量）对前叉轴形成左转力矩，使前轮左转，从而自行车产生抵抗左倾的惯性离心力和力矩。该稳定力矩与稳定距、车速和转弯半径等有关。同样这种情况下倾倒稳定性也受到方向稳定性（稳定距）的制约。

图11的结构（无斜距、有摇臂提供的较大稳定距或前轮尾迹）也能产生随倾倒的前轮偏转角（倾倒同一侧）而获得一定倾倒稳定性，这与琼斯的观点也是一致的，但琼斯将"前轮随倾倒偏转"的特性唯一归因于"前轮尾迹"就显得有些偏颇了，而且琼斯还忽视了方向稳定距（或前轮尾迹）对前轮偏转的制约作用。

实际上斜距对倾倒稳定性有单一的贡献（参见图9）且斜距越大稳定距越小（参见图5）、对前轮偏转的制约越小。稳定距（或前轮尾迹）对方向稳定性和倾倒稳定性有双重贡献且二者相互制约。由于图11这种结构倾倒稳定性相对不足因此也不是合理的自行车结构，常规自行车上也看不到这种摇臂式设计。

6. 典型的自行车稳定性设计与自行车的动态稳定性

由于两种稳定性相互制约且与车速有关，因此普通低速自行车和高速赛车对两种稳定性参数的要求略有不同。前者更强调倾倒稳定性和操纵灵活性，因此更多是在普通低速自行车上看到具有较大斜距的设计（图12）。

图12 普通自行车具有较大的斜距

一些没有斜距、斜距不够大或倾倒稳定性不够的自行车可以采用车把前移以增加前叉轴前部配重的方法来增加倾倒稳定性（图13）：由于前部有配重当自行车运动中往一侧倾倒时前轮将在配重作用下自动向同一侧偏转，从而因转弯运动产生与倾倒方向相反的惯性稳定力矩。

图13 车把前移和与车把固定的车筐可提供一定倾倒稳定性

与车把随动的车筐及其所装的物品有利于倾倒稳定性，反之车筐与车架固定不与车把随动的车筐对倾倒稳定性无贡献。

运动型高速赛车更容易获得抵抗倾倒的惯性力矩，高速运行中不需要也不允许过于灵活或大幅度地转动车把，其斜距一般不大（图14），车把前移形成的配重可以提供适当的倾倒稳定性，同时可使运动员俯身操纵降低风阻。

图14 高速赛车一般斜距不大

图15（录像）中这辆OFO自行车由于具有一定斜距且车把略向前伸，因此具有一定倾倒稳定性（这里车筐与车把不固定对倾倒稳定性无贡献）。同时注意到由于前叉轴具有足够的阻尼，当车身右倾不大时前轮右转不大，从而当车左倾时前轮又可反过来左转。

图15 OFO自行车倾倒时车把转向情况(录像)

图16(录像)中这辆自行车具有更大的斜距，并且车筐与车把固定，自行车倾倒时前轮更快地向同一侧偏转，因此具有更大的倾倒稳定性。

图16 普通自行车倾倒时车把转向情况(录像)

实际上自行车只有在运行过程中才具有稳定性。上述两个视频主要说明车身倾斜时斜距或配重对前轮偏转的作用，这一作用只有在自行车运行过程中通过随前轮偏转而拐弯带来的惯性离心力才能产生抵抗倾倒的稳定力矩。同时，倾倒稳定性只是自行车运动稳定的一个方面，要实现运动稳定需要倾倒稳定性和方向稳定性之间的相互协调和配合。

一辆无人但方向稳定性与倾倒稳定性相互协调、设计良好的自行车运动中实现较长时间动态稳定的过程如下：当自行车受到扰动往右侧适当倾斜时，前轮也将向右侧适当偏转（主要与斜距或受扰后前轮的同侧偏转特性有关，且受到稳定距和前叉轴阻尼的限制，例如斜距越大、车把前部配重越大越有利于前轮偏转，而稳定距越大、前叉轴阻尼越大越不利于前轮偏转），前轮适当偏转后行车轨迹向右适当拐弯，一定车速下产生向左的惯性离心力和力矩使车身向左适当倾斜，由于适当的方向稳定性或前叉轴阻尼将前轮偏转角度限制在一定范围内，向左倾侧的车身又将使前轮向左偏转（正如图15录像中开头所示），又形成了向右的惯性力，因此在一定车速、一定前轮偏转角度内达到准动态的稳定，自行车将一边微小地左右倾侧、一边沿微小的S形路径前进。这样的无人自行车在持续下坡时会比在平路上维持更长距离和更长时间稳定不倒。由于普通的无人自行车没有动力，且外界的干扰是随机的（风速、风向，地面坡度、砂石等），自行车自身不可能永不倾倒，因此上述无人自行车在一定时空范围内的动态稳定只是准动态稳定或相对稳定。

有人骑行的自行车通过人的主动控制(调整车速、车把和重心)可实现长时间的动态稳定运动，此时运动轨迹必然也不是一条直线，通过方向、重心和速度的随时改变，形成动态稳定的S形轨迹。自行车良好的稳定性参数设计的意义在于：使人的操控变得更加轻松、容易。

以下图17（录像）中这辆自行车除了具有适当的稳定性参数（稳定距与斜距）之外，设计了龙头（前轮）随倾倒的主动转向装置代替了人的操纵，实现了长距离长时间的动态稳定，并有抵抗较大干扰的能力。

图17自稳定自行车录像

据报道近年来泰国、中国高校（清华、北师大珠海分校等）的大学生利用上述原理（非陀螺效应）设计成功了数款实际尺寸的自稳定自行车。

三轮车没有倾倒问题因此前轮一般不用设计斜距（图18），其稳定距由前叉后倾提供。

图18 无斜距三轮车

一些三轮车上也有斜距(图19)，由于它没有倾倒问题，设置斜距可以适当增加操控灵活性，因为操纵转弯时斜距的作用是有利于转弯的。

图19 有斜距三轮车

以上自行车或三轮车由于前叉后倾都具有一定稳定距即具有一定方向稳定性。

飞机也没有倾倒问题因此机轮不用设计斜距。图20是某民航机的前轮，其稳定距由起落架支柱安排在机轮轴前方来提供。

图20某民航机前轮（无斜距，有稳定距）

战斗机的前轮同样不需要设计斜距，而其稳定距一般由摇臂提供（图21）。

图21 某战斗机前轮（无斜距，有稳定距）

7. 结束语

本文讨论的自行车稳定性指的是相对稳定性，即运动中受扰后抵抗扰动的趋势，而不是指自行车自身具有绝对不倒的特性。自行车稳定性包含方向稳定性和倾倒稳定性，方向稳定性主要与稳定距有关，倾倒稳定性主要与斜距有关，两种稳定性相互制约、关系密切。只有使两种稳定性相互协调、兼顾，才能使自行车运动中具有适当的稳定性。具有适当稳定性的自行车并不能保证无人状态下运行时绝不倾倒，自行车的骑行稳定最终还要靠人（或电脑）智能化的主动控制，但在稳定性方面设计良好的自行车则会让人感到骑行稳定安全、操控容易、舒适省心。

参考文献：

[1]. 武际可，自行车的学问，科学网武际可博客，2014.02.24。

版权注释：本文中除图9、10、13、15和16为作者所摄外其余图片和录像均来自于互联网，版权归原作者所有。

致谢：本文写作过程中与77级老同学蔡庆生、车善顺等的讨论使作者获益良多，特此感谢！