【流体力学基础|雷诺输运方程推导】

风流知音【流体力学基础】雷诺输运方程推导 CFDST(2019)1019

基于动边界微积分关系再论任意运动控制体的雷诺输运方程推导

刘沛清

北京航空航天大学陆士嘉实验室

刘沛清教授

摘要 严格而言，流体力学中所有守恒定理均是针对物质体系的（或称流体系统），如质量、动量、动量矩和能量等守恒定律。如果跟随物质体系描述和表征流体质点系的运动行为，即为 Lagrange 描述方法；如果把物质体系的运动和守恒定律转换到空间坐标系中，即为人们常说的 Euler 描述方法。因此，对于具体考察（跟随的）的流体物质系统而言，各守恒定律存在由物质体系表征到空间体系表征的转换，这个转换关系就是著名的 Reynolds 输运方程。本文从动边界微积分关系式出发，系统推导了在不同运动速度控制体上的雷诺输运方程，并通过讨论进一步阐明各种不同形式输运方程的物理意义。

关键词：物质体系、空间体系、雷诺输运方程 

一、动边界微积分关系

    对于一维函数 f(x,t)，在动边界下的微积分关系为

该式称为莱布尼茨公式。其中 a(t)和 b(t)分别为边界值，是时间函数。上式右边第一项积分为被积函数对时间偏导数的积分；第二项为上游边界运动引起的，第三项为下游边界运动引起的，这第二项和第三项之和为动边界效应。如果 a(t)=a、b(t)=b，边界固定不动，则式（1）变为静边界积分微分关系，即

    假设控制体的体积为τC，控制体的边界为 Sc，在控制体内的函数为 f（x,y,z,t）。如果体积固定为τC，边界固定，在边界面 Sc上的速度为零，无动边界问题。则由式（2）得到在固定边界的参数微积分关系为

    如果体积为τV，在 t 时刻τV=τC，但边界运动，设边界面 Sc的运动速度为 Vb，如图 1 所示。则由式（1）可以推广到三维的情况，此时具有动边界的参数微积分关系为

上式中，右边第一项为被积函数在固定边界区域中对时间的偏导数积分（静边界问题），第二项为边界运动引起的。

    如果，Vb=0,则式（4）的动边界微积分变为的静边界微积分式（3）。

二、相对于静止控制体流体系统积分的随体导数转换关系

    流体系统由流体质点系统组成，系统边界随流体运动，系统与外界没有质量交换，但可以有能量交换。控制体相对于坐标系不变的为静止控制体，控制体相对于坐标系是运动的为相对控制体。流体系统与控制体的关系是，流体系统可以通过控制面流进和流出控制体而发生质量交换，也可以有能量交换。设在 t 时刻流体系统及其边界与控制体τf重合，τf=τC。该流体系统在 t Δt 运动到新的位置，系统的边界运动速度为流体运动速度，设在控制体边界面 Sc上的运动速度为流体速度 ub，如图 2 所示。则流体系统的微积分关系（相当于以流体速度运动边界的微积分）为

上式中，左边的微分是流体系统积分的随体导数，右边第一项为被积函数在控制体内对时间的偏导数积分，第二项为控制体边界以流体速度运动的动边界效应。式（5）就是常用的相对于静止控制体的雷诺输运方程。根据高斯积分有

由式（5）得到

对于不可压缩流体系统，因为 u  0，则上式变为

式（7）表示，对于不可压缩流体系统，对系统积分的导数等于控制体内对被积函数的随体导数积分。

三、相对于运动控制体流体系统积分的随体导数转换关系

    假设控制体边界面的运动速度为 Vb，相对于静止控制体而言为相对控制体τV。在 t 时刻取相对控制体与静止控制体重合τV=τC，在

t Δt 时刻该控制体运动到τV，如图 3 所示。则由式（4）得到

如果利用式（5）取代上式中右边第一项，有

式（9）表明，对相对控制体的积分随体导数等于流体系统的随体导数减去静流出相对控制体的量。

       如果将式（6）代入式（9），得到

式（10）表明，相对控制体积分的随体导数等于控制体内被积函数的随体导数与被积函数和速度场散度的积之和的积分减去静流出相对控制体的量。

    利用式（9），也可以写为

式（11）表明，对流体系统积分的随体导数等于相对控制体积分的随体导数加上静流出相对控制体的量。

四、讨论

  （1）如果，Vb=0，则由式（10）简化为固定边界积分的随体导数转换关系。即

  利用高斯积分，有

代入式（12），得到

  （2）如果，Vb=ub，则由式（9）简化为流体系统相对于静止控制体积分的随体导数转换关系（动边界效应），为

    根据高斯积分，利用式（6），得到

式（15）即为流体系统积分的随体导数转换为相对于静止控制体积分的表达式，也就是静止控制体的雷诺输运方程。

五、关于动量输运方程的基本形式 

（1）相对于静止控制体的动量积分方程

    现考虑一个流体质点组成的流体系统，设在 t 时刻该流体系统的体积为τf与静止控制体τC重合，在 t Δt 时刻该系统的运动到新的位置。该流体系统在 t 的动量为

其中，ρ为流体的密度。根据动量定理，该系统的动量随时间的变化率等作用在系统上所有的外力矢量和。即

如果对微元流体团运动微分方程积分，还可以得到下列的表达式。由流体微元体（物质系统）的运动微分方程

在任意流体系统（物质系统）上积分，得到

由此可见，式（16）与式（17）是等价的。事实上，利用连续方程不难证明。利用质量守恒定理，有

得到

由此说明，式（16）和（17）是等价的。

    同样，利用式（6），式（16）可以写为

利用连续方程

    利用式（5），可得相对于静止控制体而言，流体系统动量积分的随体导数转换关系为

利用高斯积分，得到

代入式（20）得到

利用连续方程，得到

（2）相对于运动控制体的动量积分方程

  利用式（9），式（16）可写为

式（21）表明，对于相对控制体的动量积分随体导数等于流体系统动量的随体导数减去静流出相对控制体的动量率。

       利用式（10），式（21）可写为

    利用式（11），式（21）也可写为

式（23）表明，对流体系统动量积分的随体导数等于相对控制体积动量积分的随体导数加上静流出相对控制体的动量率。

六、结束语

    从运动边界的体积分导数关系看，对流体系统积分值的随体导数，相当于一个边界以流体速度运动的体积积分导数。如果取相对于坐标系固定不变的积分体积为静止控制体，建立流体系统通过该静止控制体时的随体导数转换关系即为著名的雷诺输运方程。如果取控制体为相对于坐标系而言是以一定速度运动的积分体积（这个称为相对控制体），考察流体系统通过该相对控制体的积分随体导数的转化即为流体系统通过相对控制体的雷诺输运方程。本文统一按照这种动边界积分导数关系建立了雷诺输运方程，推导过程严谨、简洁，物理意义明确，便于更好地理解雷诺输运方程的物理意义。

参考文献

[1] 周光炯、严宗毅、许世雄、章本克编著，流体力学上册（第二版）[M].高等教育出版社，2000 年。

[2] Jie-Zhi Wu ，Hui-yang Ma，Ming-De Zhou，Vortical Flows[M]. Springer, 2015. 

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[4] J.C.Wu，Elements of vorticity aerodynamics[M]. Tsinghua University Press , 2005.

[5] 清华大学工程力学系. 流体力学基础[M]. 北京: 清华大学出版社, 1980. [6] John D. Anderson, Jr.,Fundamentals of Aerodynamics[M], McGaw-Hill, 2001.