【JY】结构动力学初步-单质点结构的瞬态动力学分析
简介
简介
单质点体系振动是最为简单的振动，通常在学习结构动力学中也是最开始学习这部分的知识和内容，这部分内容最为基础，也非常重要。它包括单自由度体系振动分析中涉及的物理量和基本概念，而且实际运动中，许多的问题也可按单自由度体系计算，比如普通的隔震结构、多自由度在正则化坐标系下的各个自由度均为解耦的单自由度体系。单质点的动力特性在隔震设计中起到指导性的作用，因此获取可靠准确的单质点结构分析结果十分重要，工程中最常用的3款软件为SAP2000、OpenSees、ANSYS，文章在对理论介绍后介绍了三种软件建模过程，起到对结构动力学学习的参考作用。
理论分析： 当结构为单质点自由振动体系时候，通过达朗贝尔原理或拉格朗日方程均可列得到下式： 如果设 可得到 补充：在隔震结构中，若上部结构和含隔震层时的结构周期差别较大时，上部结构可当成一个刚体，可视为单质点的剪切型模型分析。假设一个2自由度（带隔震层的结构和纯上部结构）隔震结构的等效地震反应分析。 隔震结构的周期： 上部结构的周期 图中△为： 当周期比值 很小的时候，上部结构可以近似为一个刚体，即为单自由度模型，具体的下回再具体解说。
接下来讲解下四种方法：杜哈梅积分（分段解析法）、纽马克β法、威尔逊θ法、Hilber-Hughes-Taylor a（HHT）方法。
GO!GO!GO!
01杜哈梅积分：
01杜哈梅积分：
在实际工程中，很多动力荷载不是简谐荷载，也不是周期荷载，而是随时间任意变化的荷载，此时可采用的计算方法是杜哈梅积分法。强迫运动方程是线性的，可以运用叠加原理。体系在随时间任意变化的动力荷载作用下的响应，可视作一系列独立瞬时冲量连续作用下响应的总和。因此，只需对瞬时冲量作用引起的微分响应进行积分，便可得到一般动力荷载作用下的响应。如下图所示：
通过冲量可以得到该式子：
即：
式中，dv为瞬时冲量引起的速度增量。此时质体的位移增量可由上式积分求得，它是时间的二阶微量，可以略去。因此，瞬时冲量作用所引起的微分响应dy（t）即为以dv为初始速度的微幅自由振动，可得：
如果冲量是在t=x时作用在体系上的。则在冲量结束以后的任一时刻，则位移表达式为：
于是，在任意荷载下的位移有：
当考虑阻尼影响时，杜哈梅积分位移计算式为：
进而，通过数值解法，如梯形公式、辛普森公式等，即可求解上述方程，可得到结果，也可通过对荷载进行分段求解分段解析解组合而成，即为分段解析法。
02纽马克β法：
02纽马克β法：
为了方便大家理解，小编此处仅罗列纽马克β法的步骤，详情可以翻阅《结构动力学》
（1）初始计算
①组成该体系的刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]。
②选择时间步长Δt和积分参数r、β；（为了稳定收敛，通常取r=1/2，β=1/4）
③计算积分常数
④形成有效刚度矩阵
⑤对上矩阵进行三角分解
⑥指定初始条件：
（2）对每一时间步长
① 计算时刻t At的有效荷载1
②求解t Δt的位移
③计算t Δt的速度和加速度
转步骤（2）的①，t=t Δt，迭代循环，即可求得结果。
03威尔逊θ法：
03威尔逊θ法：
Wilson-θ法是常规的Newmark方法通过引入一个系数θ达到了无条件的稳定系数的提出是因为观察到一种现象，即不稳定的解趋向于在真实解附近振荡。因此，如果在时间增量内计算数值解，为使这种振荡减到最小，可以通过如下定义的时间步及荷载对Newmark方法作简单的修改来完成，即
（其中θ>=1.0）
对于Newmark方法进行修正后可得到下式子：
θ系数的使用有助于在体系的高阶振型中去除数值阻尼。如果θ等于1.0，就是Newmark方法。然而，对于高阶振型响应是很重要的问题，引入的误差可能比较大。除此之外，还不能在时间t处精度满足动力平衡方程。因此，若是存在高阶阵型的问题，则不再推荐使用系数θ。
04 Hilber-Hughes-Taylor a(HHT)方法：
04 Hilber-Hughes-Taylor a(HHT)方法：
a方法使用Newmark方法求解下列修正的运动方程：
其中a的取值参考范围在0~1/13。
当a等于零时，此方法还原为常量加速度方法。它在高阶振型中产生数值能量损耗。然而，它不能像用刚度比例阻尼那样的阻尼比对其进行预测。同时，它也不能在时间处求解基本平衡方程。然而，当前许多计算机程序都在使用它。该方法的效果似乎与使用刚度比例阻尼法的效果很相近。建议使用默认的HHT方法，除非对其他方法有特定的需要。.在非线性分析中，经常需要使用一个a负值来确保结果的收敏性a。
数值分析算例
【例题】为了对比各软件与理论计算结果的误差和展示建模过程，以一个简单的单质点体系作为算例，地震波选取三条人工波，单质点体系的自振周期为2.7s，阻尼比为0.05，提取质点的加速度及位移时程进行对比。
地震波时程
地震波反应谱
（为了对比简洁以下结果仅呈现RGB1的计算结果）
01 SAP2000
01 SAP2000
Sap2000模型参数设置：
SAP四种求解方法结果对比：
SAP2000加速度时程结果
SAP2000位移时程结果
02 ANSYS
02 ANSYS
ANSYS单质点模型
ANSYS命令流：
/prep7!设置单位为N/m/kg/units,si!建立节点n,1,0,0,0n,2,0,1,0!定义质量单元et,1,mass21,r,1,0,1846,0!定义弹簧单元et,2,combin14r,2,10000!建立质量单元type,1real,1e,2!建立弹簧单元type,2real,2e,1,2!约束自由度d,1,alld,2,allddel,2,uyfinish!瞬态动力学求解/SOLU ANTYPE,transTRNOPT,FULL!阻尼比0.05ALPHAD,0.08976BETAD,0.0274!时间步及间隔t=6000ti=0.005!定义地震波数组*DIM,wavey,ARRAY,t,1,1!导入地震波数据*create,readwave*vread,wavey(1),'RGB1','txt',' ',(e20.8)*end/input,readwave!分步求解*do,i,1,t,1 time,ti*ikbc,1acel,,wavey(i),nsel,allOUTRES,all,allsolve *enddofinish
ANSYS加速度时程结果
ANSYS位移时程结果
03 OpenSees
03 OpenSees
Opensees的代码如下：
OpenSees加速度时程结果
为了方便看清对比，将计算结果以100mm进行相上偏移对比（均以Newmark-β法计算）
OpenSees位移时程结果
04 Matlab
04 Matlab
理论计算均利用专业软件MATLAB完成，计算方法包括分段解析法、杜哈梅积分法、威尔逊-q法、纽马克法。
对比结果：
数值软件与理论计算加速度时程对比结果
数值软件与理论计算速度时程对比结果
数值软件与理论计算位移时程对比结果
数值软件与理论计算位移时程偏移对比结果
05 结论
05 结论
各算法下，求解结果高度一致，且误差几乎可以忽略。其中可以发现，加速度/速度/位移在算法中若是通过每一步迭代出来时，即在每个时刻均可通过相应算法得到加速度/速度/位移时，则加速度结果未呈现由于后期求导而产生的背景噪声。若是求解方程的位移结果，则通过位移结果进行求导得到的加速度/速度，会出现较严重的背景噪声（可能由于信号求导产生的高阶误差），且该特性在长周期单质点更为明显。
其中SAP2000为步步算得加速度/速度/位移，而Opensees和ANSYS则采用求导形式，在接下来的文章中会介绍由位移时程获取准确加速度时程的方法，赶紧点个关注吧，这样就不会错过后续的文章啦！
