虚功原理（虚位移原理）
变形：结构在荷载作用下，会产生应力和应变，以致结构的原有形状会发生变化，这种变化称为变形。
位移：结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截面发生的转动，称为结构的位移。
除了载荷作用将引起位移外，温度改变、支座移动与制造误差等因素，虽然不一定使结构都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。
位移的分类：线位移；角位移。
结构位移计算的目的
验算结构的刚度；
为超静定结构的内力计算打下基础；
结构制作、施工的需要。
结构计算位移的假定
材料服从胡克定律。
结构的变形是微小的。
结构各处的约束都是理想约束。
实位移：由于运动而实际发生的位移，对应的时间间隔dt，同时满足运动微分方程，可表示为：
虚位移：t时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更。
虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念）：
(1) 特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔δt，它是一个抽象的等时变分概念。
(2) 直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的 可能位移，即视约束方程中的t不变（δt=0），对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意δt=0）即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。比如：质点被限制在以等速u匀速上升的水平面内运动，约束方程为：
(3) 实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
实功：作用在质点上的力（含约束力）在实位移中所作的功，dw。
虚功：作用在质点上的力（含约束力）在任意虚位移中所作的功，δw。如果使力做功的位移不是由于该力本身所引起，即做功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所做的功称为虚功。
理想约束：体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零。
虚功与实功的差别：
所谓“虚“就是表示位移与做功的力无关。Δij的第一个脚标表示位移发生的位置和方向，即此位移是FPi作用点沿FPi方向的位移；第二个脚标表示产生位移的原因，即此位移是由FPi引起的。
状态1的力在状态2的位移上所做的虚功：
状态1上的力也可以不是一个力，而是一组力；状态2上的虚位移也可以不是一个力或一组力引起的，而是其他因素，比如温度改变、支座移动等引起的。虚位移可以理解为结构可能发生的连续的、微小的、约束所允许的位移。
1. 刚体体系的虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚**移所做的虚功总和恒等于零。刚体体系的虚功方程：
(1) 虚设位移状态，求未知力
拟求C点的竖直向位移：
虚位移原理：
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时，一般应遵循如下步骤：
(1) 解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力来代替。
(2) 把机构可能发生的刚**移当作虚位移，写出虚功方程。
(3) 求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程即可求解约束反力
(2) 虚设力状态，求未知位移
拟求C点的竖直向位移：
虚力原理：
当支座有给定的位移时，静定结构的位移可用虚力原理求解。设支座n有给定位移cn（n=1，2，3，...），计算步骤如下：
(1) 沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力；
(2) 令虚设位移在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
(3) 由虚功方程，解出拟求位移为：
2. 变形体体系虚功原理
变形体体系的虚功原理可表述为：处于平衡状态的变形体体系，当发生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外虚功We恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内虚功Wi，即We=Wi。
变形体体系的虚功方程：
其中：ε为相对轴向应变，γ为相对切应变，κ为相对轴线曲率。
力状态的外力在位移状态的位移上所做的外力虚功，等于力状态的内力在位移状态的变形上所做的内力虚功。对于弹性、非弹性、线性、非线性的变形体体系均适用。
结构位移计算的一般步骤：
已知杆件结构各微段的应变ε、γ、κ和支座位移cn，拟求结构某点沿某方向的位移Δk，计算步骤如下：
(1) 沿拟求位移Δk方向虚设相应的单位载荷。
(2) 在单位载荷作用下，根据平衡条件，计算结构的支反力和内力。
(3) 利用结构位移计算的一般公式计算位移Δk。
如果求得的位移Δk为正值，说明位移的实际方向和虚设的单位载荷的方向一致；否则方向相反。
本文综合自边亚东的《结构力学》PPT讲义和百度文库“百骑士度”分享的《虚功原理(虚位移原理)》。
