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伽利略、牛顿造质疑？Abaqus的显式求解分析揭秘“最速问题”

轨道车辆技术

2年前浏览3078

一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿着什么曲线滑下所需时间最短？

相信看到这个问题后，你的脑海里已经在构思各种答案了，先别着急下结论。这个看似简单的问题，曾经可是引发伽利略，牛顿、莱布尼兹、洛比达等人纷纷进行过试验证明的，然而结果却不尽相同。

难道是他们算错了吗？今天这个实验会帮你解开谜底。或许看完这个小实验，你也可以去挑战这些曾在各个行业叱咤风云的大咖们了。

追根溯源，这个问题从首次被提出距今已有近400年的历史。

1630年，意大利科学家伽利略提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。

当然，也有另外一种说法，说17世纪瑞典涌现出了一个伯努利学霸家族，其中的两兄弟：雅各布和约翰，分别提出了悬链线问题——两端固定的绳子（或链条）由于重力而自由下垂形成的曲线到底是什么形状和最速曲线问题——小球从一个给定点到不在他垂直下方的另外一点，如果不计摩擦力，问沿什么曲线滑下所需时间最短。

随后，围绕这个问题科学家们展开了轰轰烈烈的证明活动，牛顿、莱布尼兹、洛比达等传说中的大牛都加入进来了。当然，就这个问题而言，是难不住这些大牛的，但由于各自的研究领域不同，给出的解法也不尽相同。百度百科上给出的解法是这样：

设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。

中间的计算过程无比复杂，还牵涉到泛函，我就不说了（其实是我自己搞不清楚…），反正最后的结果是这样的：

这是个什么曲线哩，这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

我们尝试用abaqus的显式动力学来再现这个有趣的试验。无疑，使用上面的方程可以画出来最速曲线。但是对于数学功底偏弱的我来说，这个工作还是有点难了，不过我们既然知道这条曲线是旋轮线，那我们就可以从另外一个思路来解决了。

我们利用abaqus建了一个滚动的模型，定义轮的平移距离为圆周长，旋转的角度为360度，提取圆周一点绘制位移曲线，就可到了最速曲线。相关动图如下：

有了这个就方便了，我们已经知道最速曲线，接下来就是怎么把这个曲线转换成模型。为了曲线描绘的尽可能准确，所以这么一个曲线我分了180份，我们只研究一半，也就是90份。把这90个点来绘制图，也是个比较宏大的工作量。还好，我们有python工具。

1. s1=mdb.models['Model-2'].ConstrainedSketch

(name='__profile__',

2. sheetSize=200.0)

3. g, v, d, c = s1.geometry, s1.vertices, s1.dimensions, s1.constraints

4. s1.setPrimaryObject(option=STANDALONE)

5. s1.Line(point1=(-5,2), point2=(0,2))

6. s1.Line(point1=(0,2), point2=(0,0))

7. …..

8. p = mdb.models['Model-2'].Part(name='Part-1', dimensionality=TWO_D_PLANAR,

9. type=DEFORMABLE_BODY)

10. p = mdb.models['Model-2'].parts['Part-1']

11. p.BaseShell(sketch=s1)

12. s1.unsetPrimaryObject()

13. p = mdb.models['Model-2'].parts['Part-1']

14. session.viewports['Viewport:1'].setValues(displaye

dObject=p)

15. del mdb.models['Model-2'].sketches['__profile__']

利用python工具，将xydate中的数据导入excel，数据处理后，**到python中，然后用python完成零部件的建立。

我们再给他加个球，加个重力，加个接触，加个约束，就完事了。注意，接触建立的时候我们需要考虑无摩擦。为了进行对比研究。我们又增加了两个工况，一个是完全斜面，一个是更大的曲面。模型图分布如下：

（从左到右分布是：斜面，最速曲线，对比曲线）

激动人心的时刻到来

5，4，3，2，1，出发！

果然不负众望，最速曲线上的小球最先到达终点，赢得了本场的胜利。

其实，最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明, 对工程来说, 其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用, 沿直线下滚的球, 下滑的加速度保持不变, 速度稳定地增加。沿着旋轮线下滑时, 开始的一段的坡度非常大, 使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。

虽然, 在下滑的后半阶段, 坡度逐渐变小、速度增加变缓, 但此时的下滑速度已经变得很大。所以, 沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大, 沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。

曾经困扰伽利略，牛顿、莱布尼兹、洛比达等大咖们的问题，现在只需要你利用Abaqus的显式求解分析，模拟最速曲线的的整个流程，分分钟帮你求解出答案。

当然这只是一个小实验，Abaqus的牛逼之处在于其强大、精确和灵活的接触功能，在航空航天、轨道交通、汽车、船舶等行业得到广泛的应用，能够有效探究各种产品和材料的真实物理行为，以提高产品的性能、可靠性以及安全性，同时减少研发时间和费用。

众所周知，Abaqus是当前广泛地被学术界及工业界所公认的技术最先进的非线性有限元分析软件之一，与传统商业软件不同，Abaqus是专门为解决工程中困难问题而发展并逐渐被广大用户推崇的超级通用有限元软件。

想要学习Abaqus的小伙伴们，你们的福利来了！近日，仿真秀邀请CAE高级工程师，江苏省工程师学会工业仿真推进办副主任李老师定制一套《ABAQUAS初/中级应用技能线上培训》，帮助学习型仿真工程师们系统提高Abaqus理论和软件技能应用水平，并能有效解决一些设计中遇到的实际问题。

说起李老师，小编的崇拜之情油然而生，那是相当的厉害了！李老师长期从事轨道车辆工艺仿真工作，截止目前共完成近百项仿真内容，仿真内容广泛，涉及焊接仿真（接头，大部件，涉及软件：abaqus、marc、simufactwelding、weldplanner），公差仿真（西门子VSA），物流仿真（西门子PLANT simulation），装配仿真（catia DMU，开目 3D AST），强度分析，螺栓分析，冲压分析，橡胶密封分析等（abaqus）。尤其擅长对结构分析的简化，对解决实际工程问题那可是有非常丰富的经验。

《ABAQUAS初/中级应用技能线上培训》

一、学员能够获得什么？

通过本次培训，可以帮助学员掌握ABAQUS初中级操作：

✱ 掌握使用ababqus各模块使用的高级技巧，夯实基础

✱ 掌握abaqus中最常见的接触分析的分析原理和技巧，掌通用接触，面接触和自接触的使用使用场景和使用特点，灵活处理各种接触问题。

✱ 掌握abaqus的接触分析中的代表课题之螺栓的接触分析，了解螺栓预紧力的确认方法，并掌握如何对螺栓考虑螺纹和不考虑螺纹两种情况下的仿真计算。

✱ 掌握abaqus中的传热分析、完全耦合分析和顺序耦合分析，解决热机两场的分析目标和要求，以及在铝合金淬火热处理中的应用。

✱ 掌握显式分析的主要内容，掌握显式分析中的质量缩放、提升计算效率及进行结果合理性判断等方法，以及在金属切削中的应用。

✱ 掌握abaqus准静态分析的主要内容，并掌握准静态分析中分析步时间的确定方法，以及在金属成型中的应用。

✱ 掌握Abaqus/Explicit和Abaqus/Standard的联合使用问题，解决不同求解器之间的结果传递问题，以及在金属成型回弹分析中的应用。

✱掌握abaqus多工况分析的精髓，掌握loadcase方法的使用技巧，并用以解决实际问题

✱掌握abaqus中的一些高级技巧，如幅值曲线，耦合，embeded，自定义变量的xydate曲线绘制，集中质量，连接单元使用等，并在案例———“剪力墙的滞回曲线绘制”，“列车的多体动力仿真”中实例讲解上述技巧的应用。

二、课程大纲

三、线上培训流程（分三部分进行）

✱ 第一部分：线上直播体验课。本课程为加密直播，只有对讲师感兴趣直播培训的用户参加，直播期间所有人可申请免费体验。直播结束后，该视频在仿真秀官网可以付费观看。对于后续想参加讲师线上直播培训的用户，可以联系仿真小助手申请免费观看。提前付费报名讲师线上直播培训的学员，走绿色通道，并给与互动答疑机会。

✱ 第二部分：在线视频观看，讲师根据线下培训大纲，精选用户关注的问题和知识点，录制为系统在线视频。拒绝任何形式的录屏，仿真秀为讲师版权提供法律保护。

✱第三部分：加密直播一对一，时长2小时（限1次），主要解决用户在观看视频课程后，对一些没有理解问题的解答，也可以给出用户遇到的实际问题解决思路。如需详细分析，可寻求项目咨询服务。所有参与线上直播培训的用户均可以加入讲师VIP群，提供一年的学习答疑（文字和图片）。

四、线上培训优势

✱ 加密视频由讲师使用新版本软件录制全新内容，课程优势请查阅前文。

✱ 线上直播培训，用户学习自由度增加。可以在家或工作单位安排学习。

✱ 性价比高。线上直播培训，减少学员出差成本（车票住宿）、时间成本和机会成本等。

✱ 提供发票可以报销。参与线上培训的学员可以联系我们开具培训通知和正规培训发票等相关事宜。

✱ 直播培训结束后，我们为讲师与用户建立VIP用户交流群，解答用户未来学习过程中一些困惑。并且发放培训有关的资料和模型。

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来源：轨道车辆技术

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首次发布时间：2022-08-26