【FCA-Chp-2】第2章 有限元分析简介
本文摘要（由AI生成）：
本文主要介绍了有限元方法（FEM）在解决实际问题中的应用，以及如何使用Abaqus软件进行建模和后处理。文章首先介绍了FEM的基本过程，包括离散化、单元方程、插值函数等概念。接着，文章通过一个具体的例子，详细说明了如何使用Abaqus软件进行建模和后处理，包括创建几何模型、划分网格、定义材料属性、施加载荷和边界条件、求解分析步等步骤。最后，文章还介绍了一些高级功能，如创建装配、定义截面特性、施加载荷和边界条件等。
在本书中，有限元方法（FEM）用来解决实际问题。多数情况下，在例子中使用商用软件（主要是Abaqus）。计算机编程仅限于实现材料模型和后处理算法。当商用代码缺乏所需模块时，可以使用文献[5]提供的其他代码。对有限元方法有基本了解有助于有效使用各种有限元软件。因此，本章对有限元方法进行简单介绍，以帮助缺乏有限元方法知识的读者。另外，通过介绍Abaqus/CAE图形用户界面（GUI），使读者熟悉使用任何商用软件的有限元建模的典型过程。
2.1 基本FEM过程
考虑杆的轴向变形。用常微分方程描述杆的变形如下
式中E、A分别为杆的弹性模量和横截面积，f为分布力。图2.1所示的本例的边界条件为
根据材料力学的习惯，杆的真实情况如图2.1(a)所示，用数学模型简化成线的形式如图2.1(b)所示。杆的计算区间为[0,L]，沿实轴x。
2.1.1 离散化
下一步是将域分割成离散单元，如图2.2所示。
图2.1 物理和数学（理想化）模型
图2.2 离散成单元
2.1.2 单元方程
使用常微分方程的积分形式推导单元方程，即对常微分方程（ODE）与加权函数v的乘积进行积分，如下所示。
上式称为弱形式，因为u(x)的解对于在[0,L]之间取任意值的x不严格满足常微分方程（式2.1）。相反地，u(x)的解仅能通过加权平均的形式满足常微分方程（式2.3）。因此，得到弱解比强解更容易。尽管对于杆的例子，强（精确）解是已知的，但是对于绝大多数复合材料力学问题没有精确解。通过分部积分的形式给出的控制方程如下所示。
式中v(x)是加权函数，通常将v(x)设为等于主变量u(x)。从边界条件，可以得到以下结论
—指定的v(x)在xA或xB为基本边界条件；
—指定的
在每一端都是自然边界条件。
当u(x)是主变量，
是次变量。令
那么，控制方程变为
其中，
2.1.3 单元的近似
现在，未知的u(x)可近似为已知函数
（？下式
）和未知系数
的线性组合（级数展开），即
式中为要得到的系数，为插值函数。对于加权函数v(x)，可以使用文献[4]的里兹（Ritz）法，即
（核对本段N的下标i、j）。代入控制方程（式2.6）可得
上式可以写为
或者写为矩阵形式
式中[Ke]为单元刚度矩阵，{Fe}为单元等效力向量，{ae}为单元未知参数。
2.1.4 插值函数
尽管任何完整的一组线性无关函数可以用作插值函数，但是有一种函数形式更方便，即将未知系数作为节点位移，也就是
。对于一个跨度为
两节点单元，可以使用下面的线性插值函数（图2.3）。
式中，
是单元长度。上述插值函数满足下列条件。
这些条件保障未知系数代表节点位移，即
。
图2.3 二节点杆单元的线性插值函数
其他很多插值函数可以使用，但是每一个都有其优点和缺点。插值函数与单元节点数量密切相关。图2.4说明了一个八节点壳单元中插值函数N1和N5（对应节点1和5）的形状。
图2.4 二维插值函数
一般而言，单元节点越多，计算越精确，网格可以不用很细，但是计算时间成本也越高。图2.5说明了单元或节点数量如何使近似解逼近精确解，一种方法是将单元由2个增加为4个，另一种方法是将节点由线性单元的2个增加为二阶单元的3个。
图2.5 离散误差
2.1.5 特殊问题的单元方程
使用满足式2.12-2.13条件的插值函数，可以将式2.10重写为如下形式。
式中，{ue}是节点位移，[Ke]是单元刚度矩阵，{Fe}是单元力向量，[Ke]和{Fe}（? 式2.16中的下标i）计算如下。
对于2节点杆单元e、等截面面积Ae、单元长度he和模量E是定值，拉压单元刚度的值为
单元受到的外载荷为分布力fe，编号为1和2的两端的力分别为
使用这些值和线性插值函数（式2.11）以及式2.15-2.16，单元刚度和等效节点力可写为
2.1.6 单元方程的组装
单元未知参数相当于单元节点的位移。由于相邻两个单元的公共节点有相同的位移，值是唯一的。例如，图2.6所示的连续单元，用大写字母及唯一的下标表示位移。当使用上标表示单元编号，下标表示节点编号时，可写为以下形式。
图2.6 三个连续的2节点单元
现在，可以将单元方程组装进全局系统。首先，单元#1的贡献为
加入单元#2的贡献，如下
最后，加入单元#3的贡献，可得整个组装完成的系统，如下
2.1.7 边界条件
根据平衡条件（见图2.2），两个单元共节点的内力可以相互抵消，或
式2.23中剩余的
为杆两端的力。如果杆的任意一端固定，则该端位移必须设为零。如果x=0的一端固定，则U1=0。如果x=L的一端自由，则
（原文错误）必为定值，因为U4≠0。如果没有指定的值，则假设该值为零。
2.1.8 方程的解
因为
，删除式2.23中刚度矩阵的第一行和第一列，可得3×3的代数方程组，并可求解得到3个未知量：U2、U3、U4。一旦得到U2的解，则支反力
可由式2.23中的第一个方程计算得到，如下所示。
2.1.9 单元内的解
现在，已知沿杆4个点的解Ui。接下来，任意位置x处的解可由插值函数进行插值计算得到，如下所示。
或
2.1.10 派生结果
2.1.10.1 应变
应变可以使用式1.5由已知的单元内部位移直接计算得到。例如
注意，如果
为线性函数，则整个单元的应变为常数。总之，应变的精度比主变量（位移）低一个数量级。
2.1.10.2 应力
应力值一般由应变通过本构方程计算得到。本例中，一维应力-应变行为如下所示
注意，应力的精度与应变相同。
2.2 一般有限元步骤
任何类型单元的单元方程、组装和解的推导与2.1节中一维杆单元的推导相同，不同之处是使用虚功原理（PVW，式1.16）代替控制方程（式2.1）。虚功原理提供了类似于式2.4的弱形式。将式1.16展开为位移的完全3D状态，虚内能为
式中
下一步，外功为
式中，单位体积的体力和单位面积的面力为
此处，下划线（_）表示一维数组，不一定是向量。例如
是一个向量，但是
是排列在一个6元素数组中的6个应力分量。虚应变是指由虚位移
引起的应变。因此，虚应变由虚位移使用应变-位移方程（式1.5）计算得到。用矩阵符号表示为
式中
然后，虚功原理写为矩阵的形式如下。
对体积V和面积S的积分可以离散为对m个单元的依次积分，如下所示。
当两个单元共面时，对该面的两次积分会抵消掉，如同2.1.7节中内力的抵消。应力分量由本构方程给出。对于线性材料
式中，由式1.68给出。每个单元的虚内能变为
位移的扩展可以写为矩阵形式，如下
式中，N包含了单元的插值函数，a包含了单元节点位移，如同2.1.4节。因此，应变为
式中，
为应变-位移矩阵。现在，一个单元虚内能的离散形式如下。
式中，单元刚度矩阵为
虚外功变可写为
式中，单元力向量为
对单元体积Ve和单元面积Se的积分通常由高斯积分过程进行数值评估。对于体积积分，该过程需要体积内几个点处的被积函数的评估。这些点（称为高斯点）非常重要，有两个原因。一是，本构矩阵C在这些点的位置进行评估。二是，应变（和应力）最精确的值也是在这些点的位置得到。
单元方程
组装进整体的虚功原理（PVW）的过程与2.1.6节相似。显然，这个过程比杆单元的组装过程要复杂。这些过程细节及其计算机程序是有限元技术的一部分，但是超出了本书的范围。最后，所有单元的
组装进整个体的全局系统如下。
下一步，边界条件通过系统的方法应用于式2.46，该过程类似于2.1.6节。下一步，求解式2.46所示的代数方程组，得到整体的节点位移数组a。因为每个单元的节点位移可以在a中找到，因此返回到式2.34和式2.38计算单元内部任意位置的应变和应力是可能的。
例2.1 将杆离散为一个单元，计算该单元的刚度矩阵（式2.43）和等效力向量（式2.45）。使用线性插值函数，同式2.11。与式2.18-2.19对比计算结果。
解2.1 令Ae为杆的横截面面积，he为单元长度，其中
将这些值代入式2.11所示的线性插值函数，得到的插值函数数组如下所示。
可以得到如下所示的应变-位移数组。
杆单元具有线弹性行为的一维应变-应力状态，因此
然后，使用式2.43可以写出
通过积分可得单元刚度矩阵如下
为了计算等效力向量，将fe定义为单元的分布力，为端的力，为端的力。代入式2.45得
通过积分可得单元等效力向量如下
2.3 实体建模、分析和可视化后处理
很多现有商业软件具有不同工程学科的有限元分析能力。这些软件可以解决各种问题，从线性静力分析到非线性瞬态分析。少数软件，例如ANSYS和Abaqus，具有分析复合材料的特殊功能，它们允许自定义的、用户编程的本构方程和单元公式。这些软件包不仅提供分析工具、几何建模和结果的可视化后处理，而且可以集成到更大的设计、生产和产品寿命周期，因此，它们被称为完全分析环境或计算机辅助工程（CAE）系统。
现代有限元分析软件通常由三部分组成：前处理器、求解器和后处理器。在前处理器中，建立包含几何体、材料属性和单元类型的模型。同样，载荷和边界条件也会在前处理器中处理，但是它们也可以在求解阶段处理。使用这些信息，求解器可以计算刚度矩阵和力向量。下一步，求解代数方程（式2.46），得到以位移值的形式给出的解。最后，在后处理器中，应力、应变、失效率等派生结果可以计算得到。结果可以使用绘图工具查看。
在本章最后一部分，对基本有限元分析的过程和详细步骤进行了一般说明，并使用Abaqus对一个算例进行了演示[7]。虽然本书的重点为复合材料力学，但是使用Abaqus对一些例子进行求解，以此解释一些概念。类似例子的解可以在参考文献[8]中找到，在参考文献[9]中可以得到使用ANSYS的例子。
模型的第一需求是几何体。然后，将材料属性赋予组成几何体的各部分。下一步，将载荷和边界条件施加到几何体上。下一步，将几何体离散为单元，用节点和单元连通性定义。根据求解问题的类型选择单元类型。下一步，求解模型。最终，计算和可视化派生结果。
2.3.1 模型几何体
得到模型几何体，指定所有节点、节点位置和单元连通性。连通性信息允许程序组装单元刚度矩阵和单元等效力向量，以此得到全局平衡方程，如2.1.6节所示。
有两个方法得到模型。第一种是手动创建网格。第二种是使用实体建模，然后对实体划分网格，得到节点和单元分布。
2.3.1.1 手动划分网格Manual Meshing
实体建模在商业软件中广泛应用之前，手动生成网格曾经是唯一可用的方法。该方法仍然是一些旧软件和定制软件的唯一选项，尽管在那些情况下使用通用的实体建模前处理器生成网格是可行的。对于手动划分网格，用户线创建节点，然后连接节点生成单元。之后，用户将边界条件和载荷直接施加到节点和（或）单元上。手动划分网格应用于例2.2。
例2.2 使用手动划分网格方法创建一个二维方板平面应力有限元模型。模型尺寸为20mm×20mm×4mm，网格数量为2×2，单元类型为Abaqus中的连续平面应力四边形单元CPS4R。约束左边（图2.7中节点1、4、7）的水平（X轴）位移，约束节点1的竖直（Y轴）位移。在右边（节点3、6、9）施加-9.5MPa（原文为-9.5MN/mm2，应为-9.5MN/m2或-9.5N/mm2)的面力。材料为钢，E=210,000MPa，v=0.3。从DOS命令窗口运行该模型。然后，使用Abaqus/CAE对结果进行可视化后处理。
图2.7 四边形网格（例2.2）
解2.2 下面所列的命令使用手动划分网格定义了模型的几何，这些命令写入到输入文件Ex_2.2.inp中。该文件可在参考文献[5]所给的网站上找到，文件名为Ex_2.2.inp。
命令行*Node后面是节点列表，每一行包含节点编号，x、y坐标，以及可能的z坐标。
命令行*Element后面是单元列表，每一行包含单元编号以及绕单元边界逆时针方向的一系列节点编号（见图2.7）。
其他命令行的含义比较明显，也可以查阅Abaqus关键字参考手册[10]。
为了使用命令行运行Abaqus，首先要打开DOS命令窗口。在Windows 7操作系统中单击开始（Start），然后在查找程序和文件的输入框中输入cmd并按Enter键。然后，在DOS命令窗口中进行以下操作：
上面命令行中cd为change directory的缩写，为更改路径命令；mkdir（原文mkd错误）为make directory的缩写，用于创建一个文件夹。1
下一步，将Ex_2.2.inp文件从[5]复 制到c:\SIMULIA\User，或者使用Notepad或读者喜欢的文本编辑器写入上述手动划分网格的命令行。2运行Abaqus的命令行如下：
(下文多次出现Job1.odb，此处应job=Job1)
打开Abaqus/CAE，关闭Start Session窗口。然后，在屏幕3顶部的菜单栏单击File→Open，路径设为c:\SIMULIA\User，将文件筛选设为*.odb，找到Job1.odb并打开。此时，可以看到如图2.7所示的网格。
显示单元和节点编号：顶部菜单栏Options→Common→Labels（见图2.8），勾选Show element labels和Show node labels。在该窗口中可以设置字号大小：单击Set Font。本段操作指令整理如下，方便以后参考，符号定义见表2.1。
1如果系统管理员限制访问C:\SIMULIA，则可以将用户路径设为其他不受限制的位置，例如C:\TEMP，更多细节见附件C。
2我们推荐使用Notepad ，可以在http://notepad-plus-plus.org/免费获得。
3或称为显示器、监视器、窗口。
图2.8 用更大字号显示单元和节点编号
菜单：File，
Open [c:\Simulia\User\], File Filter [*.odb], File Name [Job1.odb]
菜单：Options,
Common, Labels
# 选择 [Show element labels]
# 选择 [Show node labels]
Set Font for All Model Labels, Size [24], OK
OK
表2.1 Abaqus/CAE交互命令a伪代码符号及其含义
= | 等于 |
== | 完全相同 |
( ) | 展开左侧菜单树中的项目 |
(-) | 折叠左侧菜单树中的项目 |
[] | 用户输入内容，例如文件名、数值等 |
OK | OK按钮，经常用于完成一系列命令 |
X | Cancel按钮，经常用于取消一系列命令 |
Cont | Continue按钮，相当于OK |
Dis | Dismiss按钮，相当于Cancel |
Enter | 键盘上的回车（Enter）键 |
# | 命令行 |
# pick | 在工作区的按钮上选择窗口中要求的对象 |
> | DOS提示符 |
>>> | Python提示符 |
Esc | 退出（Escape）键 |
Ctrl-Z | 取消操作（Undo） |
Ctrl-y | 重复操作（Redo） |
F6 | 自动调整视图以适合工作区 |
Ctrl-click | 将点取项从已选项中删除 |
Shift-click | 将点取项添加到已选项中 |
Mouse wheel | 鼠标滚轮，缩小/放大 |
CS | 坐标系，Coordinate System |
BC | 边界条件，Boundary Conditions |
WD | 工作路径，Work Directory |
WS | 工作区，Workspace |
a 命令是指动作、指令、步骤、鼠标点击、选择、输入数据以及用户在图形用户界面（GUI）中执行的其他操作。
2.3.1.2 实体建模Solid Modeling
对于实体建模，用户使用点、线、面、体等实体模型元素创建几何体。边界条件、载荷、材料特性可以在划分网格之前赋给实体模型的各部分。使用该方法，重新划分网格后，载荷和边界条件不会丢失，更不必删除。只需在求解之间将模型划分网格即可。例2.3使用实体建模。
Abaqus/CAE具有创建实体模型、划分网格、求解问题、结果可视化等全部功能，这些功能在同一个CAE环境中实现。更高级的实体建模软件，例如SolidWorks[11]，可以用于生成实体模型，然后导入CAE，施加边界条件和载荷，调用求解器，最后结果可视化。下面对CAE的图形用户界面（GUI）进行简要说明。用于描述在CAE中创建模型所必须的步骤的符号已在表2.1中列出。
2.3.1.3 CAE窗口
CAE窗口4（见图2.7）分为以下几个区域：
——菜单：顶部菜单栏（横贯窗口顶部）是动态的，即菜单栏根据我们的操作而发生变化。具体地说，菜单栏根据在其下方展开的下拉列表模块中的选择而变化。
——工具栏：在菜单栏下方为动态的工具栏。可以将工具条拖出工具栏，一次只能拖动一个，可以看到该工具条的名称。工具栏根据所选的模块而变化。
——树：在左侧有两个标签页，模型（Model）和结果（Results）；每个标签页对应一个数据库树。树中的每一项都可以通过右单击鼠标选择相应的操作来修改保存在该项中的信息。两个树分别对应两个数据库文件，即.mdb和.odb，如下所示：
-Model：.mdb
-Results：.odb
——下拉菜单（环境栏）：在Model和Results标签页的右侧有几个动态的下拉菜单，例如模块Module、模型Model、部件Part。5下拉菜单Module包含如下所示的多个选项：
-模块Module:
- 部件Part
- 属性Property
- 装配Assembly
- 分析步Step
- 相互作用Interaction
- 载荷Load
- 网格Mesh
- 分析作业Job
- 可视化Visualization
- 草图Sketch
——工作区：工作区占据了屏幕的大部分区域。在下拉菜单的下方，模型/结果标签页的右侧。
——工具区：在模型/结果标签页和工作区之间有一纵向区域排列有一系列图标。工具区也是动态的，随下拉菜单的变化而变化。将光标放在工具区的图标上，稍等即可显示图标的名称。这些图标是菜单栏命令的快捷方式。
——信息区：在工作区下方有个信息窗口，单击左侧的标签可以切换到Python窗口（未在图2.7中显示）。可以通过提示符>>>认识Python窗口。
4此时，用户应该在电脑上打开Abaqus/CAE。
5因为下拉菜单是动态的，所以图2.7中只显示了Module:和ODB:。
例2.3 使用实体建模技术在Abaqus/CAE中创建如图2.9所示的几何体，并施加边界条件和载荷。求解后对结果进行可视化后处理。部件厚度为4.0mm，材料参数为E=195,000MPa，v=0.3。
图2.9 曲梁（例2.3）
解2.3 本例（例2.3）的解分布在多个段落，以便于介绍建模、求解、可视化后处理等各步操作。虽然借助图片学习本例是可行的，但最好在电脑上运行Abaqus/CAE，并在阅读本节时根据指令完整操作一遍。
启动Abaqus/CAE，关闭弹出窗口（Start Session页面），可以看到类似于图2.7的窗口，只是没有网格。
首先，确保本例的文件保存在专门的文件夹中，以免与其他例子混淆。最简单的方法就是现在就将本例保存到一个新文件夹，即使模型是空的。具体操作为，单击屏幕顶部菜单栏的File→Save As，选择或者创建一个新的文件夹；然后在File name后面输入Ex_2.3，单击OK。这些操作可以概括如下。
菜单：File，Save As，新路径[路径名称]，选择新路径，[文件名]，OK。
建模的第一项任务是创建代表模型几何体的一个或多个部件。因为本例非常简单，创建一个部件即可。但是更复杂模型往往需要多个部件。定义部件几何的方法有很多。在本例中，使用圆弧和直线连接点的方法。要对部件操作，需要将下拉菜单Module设置为Part。记住：
——模块Module：是指Model/Results标签页右侧的下拉框（见图2.7）（原文左侧left of、Model/Result）；
——菜单Menu：是指CAE窗口顶部的菜单栏。
采用该方法，下面的描述的选项将打开如图2.10所示的对话框。
模块：Part
菜单：Part，Create，
Name [Part-1]，2D，Deformable，Shell，Approx size [200]，Cont
# 现在进入草图模式
下一步，定义点并用弧线连接点，概括如下。见图2.11和下面一步一步的指令。
菜单：Add，Point，
[0,0] # 在工作区下方的输入框输入点坐标，然后按回车
[-20,0]
[-40,0]
[0,20]
[0,40]
[20,20]
[20,40]
F6 #调整视图
菜单：Add，Arc，Center/Endpoints
# 选取圆心点（见图2.11）
# 选取圆心左侧点
# 选取圆心上侧点，创建圆弧
# 再选取圆心点（见图2.11）
# 选取圆心最左侧的点
# 选取圆心最上侧的点，创建外侧圆弧
X # 结束Add特征（不要单击Done）
此时，工作区如图2.11所示。
图2.10 创建部件对话框
图2.11 定义两条圆弧
草图模式与SolidWorks[11]类似。圆弧、点和其他几何构件称为实体（Entity）。当添加或编辑实体时，必须按照工作区下方指令行（提示区）显示的指令操作。X位于指令行的左侧，允许用户结束当前操作，即上述指令集中的添加特征（Add）操作。
再回到图2.11，添加直线使图形边界封闭。当图形封闭时，部件创建完成。
菜单：Add，Lines，Connected，
# 选取两个点封闭部件左侧底部
X # 结束绘制直线
菜单：Add，Lines，Connected，
# 按顺序选取4个点，封闭右上方的矩形
X # 结束绘制直线
Done # 结束绘图，从而创建部件
此时，工作区如图2.12所示。
图2.12 完成部件
2.3.2 材料和截面属性（Material & Section Properties）
部件必须与材料关联。根据分析，材料特性可以是线性（线弹性分析）或非线性（例如损伤力学分析），各向同性或正交各向异性，常数或数值随温度变化。输入正确的材料特性是复合材料分析成功的最重要的方面之一。本书后面相当部分的篇幅将用于介绍材料特性。现在，线弹性各向同性材料足够用于介绍有限元分析过程。对于结构分析，弹性特性必须根据1.12节定义。其他力学特性，例如强度、密度和热膨胀系数，是可选的，可以根据分析目的而定义。
在Abaqus/CAE中，Property模块Material菜单用于定义材料。下面操作将打开如图2.13所示的对话框，可以输入材料特性，如下所示：
模块：Property
菜单：Material，Create，
Name [Material-1]，Mechanical，Elasticity，Elastic，
Type，Isotropic [195000, 0.3]，OK
图2.13 材料特性窗口
所有的单元都需要材料特性，但是结构单元根据单元类型的不同而需要不同的附加参数。将单元公式化时，这些参数用于3D控制方程的解析积分。例如，截面积A出现在式2.1中，因为3D偏微分方程对杆的截面积积分后得到常微分方程（式2.1）。
梁单元需要截面积和惯性矩。层压板壳单元需要铺层顺序（laminate stacking sequence，LSS，见图3.4）。连续（Continuum）单元，例如3D实体单元（见表2.2），不需要附加参数，只需要材料特性，因为几何体由网格完全描述。然而，连续单元用于层压复合材料时仍然需要铺层顺序。常规（Conventional）的壳和梁是典型的结构单元。在Abaqus中，Conventional一词被用来强调壳单元不是连续实体（Continuum）。另一方面，连续壳（Continuum shell）是连续单元，通过引入运动约束来代表壳的行为。
因此，除了材料，还需要创建一个截面（Section）来提供结构单元所需的附加参数。附加参数在Abaqus中被称为截面参数，在ANSYS中被称为截面常数8。连续单元不需要截面参数，但是仍然需要创建截面。
8 截面常数在ANSYS旧版本中称为“真实常数”。
表2.2Abaqus和ANSYS中可用的单元
在本例中，截面参数用于为图2.9所示的部件定义平面应力状态。复杂模型可能需要多个不同的截面。截面同样在Property模块中创建，如下所示：
菜单：Section，Create，
# 尽管平面应力、平面应变被认为是实体，但是
# 平面应力需要定义厚度
# 平面应变不需要厚度
# 壳不是实体，需要厚度
# 梁不是实体，需要面积和惯性矩
Name [Section-1]，Solid，Homogeneous，Cont
Material：Material-1，
Plane stress/strain thickness [4.0]，OK
创建截面和编辑截面窗口如图2.14所示，它们用于定义截面。
图2.14 创建截面和编辑截面窗口定义截面
最后，给每个部件赋予相应的截面特性。本例简单模型中，只有一个部件和一个截面，给部件赋截面特性的工作量微不足道，但必须要进行该操作。注意，赋截面特性操作仍然在Property模块完成。该过程如图2.15所示，概括如下：
菜单：Assign，Section
# 选取所有（单击部件），Done
OK
图2.15 给部件赋截面特性
2.3.3 装配Assembly
如果有一个以上的部件，则需要通过装配操作将所有部件放到一个装配体，该装配体代表将要分析的物理对象。
在装配时，可以定义网格与部件的关系。也就是，网格可以从属或独立于部件。从属网格依赖于部件，因此，如果该部件在一个装配体中使用（即，实例化）了多次，该部件的所有实体将有相同的网格。独立网格意味着部件的每个实体将必须单独划网格。独立网格为部件的一些实体进行网格细化提供了灵活性，但是划分网格需要更多的时间和工作。因为本例只有一个部件，装配过程很简单，如下（也可见图2.16）：
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，
Independent，OK
图2.16 创建部件装配实体的对话框
2.3.4 求解分析步（Solution Steps）
下一步，分析过程通常被分解为几个分析过程，每个分析步表示不同的载荷和边界条件。分析步最少为2个：一个初始分析步和至少一个外加的分析步。载荷不能施加在初始分析步，只有边界条件可以施加在初始分析步。
本例只使用了两个分析步，如下：
模块：Step
菜单：Step，Create，
Name [Step-1]，General，Static/General，Cont
OK
创建分析步对话框后紧随编辑分析步对话框，在该对话框中输入数据，完成分析步定义，如图2.17所示。
图2.17 创建分析步的对话框
2.3.5 载荷（Loads）
在结构分析中，载荷是指施加到模型上的力、压力、惯性力（重力）和指定的位移等。有限元模型中不同类型载荷的规范将在下一节介绍。也会讨论通过固定节点的自由度（平移和转动）而得到的支反力。
载荷可以加载到节点上，例如集中力和力矩，见例2.4。载荷也可以分布到单元上，例如面力、体力、惯性力，或其他耦合场载荷（例如热应变）。面力在例2.5中使用。
面力是施加在面上的分布载荷，例如压力。体力是体积载荷，例如结构分析中由温度增加引起的材料膨胀。惯性力是由物体的惯性引起的载荷，例如重力加速度、角速度和加速度。
加载到节点上的集中力直接添加到力向量中。然而，单元插值函数用于计算由分布载荷引起的等效力向量。
在Abaqus/CAE中，结构的载荷和边界条件在载荷（Load，原文Loads）模块中定义，如下所示：
模块：Load
菜单：Load，Create，
Name [Load-1（原文load-1）]，Mechanical，Pressure，Cont
# 选取右侧竖边，Done
Magnitude [-9.5]，OK
创建载荷对话框（图2.18左上角）之后需要选择载荷（或编辑条件）施加的面（注意图2.18中x-y-z坐标轴下方的对话框），然后在编辑载荷对话框中输入载荷值（图2.18右上角）。
2.18 创建载荷对话框
2.3.6 边界条件（Boundary Conditions）
边界条件是指在边界上已知的自由度（DOF）的值。在结构分析中，DOF指平移和转动。有了该信息，软件知道式2.46中a的哪些值是已知的，哪些值是未知的。
受约束的平移和转动
通常，一个节点可以有多个自由度。例如，2D空间中使用梁单元的有限元模型，其节点有3个自由度：水平位移、竖直位移，以及绕垂直于平面法向轴的转动。约束不同的自由度组就导致施加的边界条件不同。在2D梁单元的案例中，仅约束水平和竖直位移时为简支梁，但是约束所有自由度时为固支梁。
对称条件
使用对称条件可以减小模型的尺寸而不影响计算精度。四类对称必须同时存在：几何、边界条件、材料及载荷都对称。在这些条件下，解法也可以对称。例如，关于y-z平面对称意味着在对称面上的节点具有以下约束
式中，ux是沿x轴向位移，θy和θz分别是绕y轴和z轴的转动（图2.19）。注意，在壳理论中使用的转动的定义φi（φi，见3.1节）不同与经常使用的遵守右手准则的转动θi的定义。Abaqus9中所有转动的描述都使用右手准则转动θi。对称面内节点上的对称边界条件包含两个约束：关于对称面的面外平移自由度；关于对称面的面内转动自由度（译者注：转轴在对称面内）。对称边界条件在例2.5中使用。
图2.19 板或壳的转动约定
9引用文献[7]：“除了轴对称单元，自由度定义如下：1为x位移，2为y位移，3为z位移，4为绕x轴转动，5为绕y轴转动，6为绕z轴转动，其中转动自由度的单位为弧度。此处，x、y、z方向分别与全局X、Y、Z方向一致；然而，如果在一个节点定义了局部坐标转换（见[7，2.1.5节]转换坐标系），即由坐标转换定义了局部坐标系，则x、y、z方向与局部坐标系的方向一致。”
反对称条件
反对称条件与对称条件类似。反对称条件的使用条件是：模型的载荷反对称，而几何、边界条件、材料都是对称的。反对称面内节点上的反对称边界条件包含两个约束：反对称面内的平动自由度；关于反对称面的面外转动自由度。
周期性条件
当材料、载荷、边界条件和几何都是周期性的，即根据坐标
周期性变化时，只需对结构的一个胞元建模，胞元尺寸为
。事实上，周期性的结构意味着求解也可以是周期性的。周期性条件可以通过不同方法实现。一个可行的方法是在节点自由度之间使用约束方程（constraint equations, CE），或者使用拉格朗日乘数。
Abaqus/CAE中的边界条件
在Abaqus/CAE中，创建边界条件对话框及其后的编辑边界条件对话框如图2.20所示。打开对话框操作如下：
模块：Load
菜单：BC，Create，
Name [BC-1]，Step：Initial，Mechanical，Displacement/Rot，Cont
# 选取水平底边，Done
# 勾选U1，U2，U3，OK
Step：Step-1 # 同时查看载荷和边界条件
图2.20 创建边界条件的对话框
为了同时查看载荷和边界条件，用户必须将可视的分析步设为Step-1，因为在初始分析步只显示边界条件。在工作区上方的Module下拉列表右侧找到Step下拉列表，可以改变可视的分析步。改为Step：Step-1后，工作区显示如图2.21所示。
图2.21 显示载荷和边界条件
2.3.7 划分网格和定义单元类型
下一步，对装配体划分网格。对模型划分网格的方法有很多，本例使用一个非常简单的方法，称为全局布种子，如下：
模块：Mesh
菜单：Seed，Instance，
Approx global size [5.0]，Apply，OK
菜单：Mesh，Controls，Quad，Structured，OK
全局布种子可能是最简单的定义网格密度的方法，如图2.22中左侧对话框所示。在单击OK之间，最好先单击Apply。这样在确定布种子之前，有机会查看已布种子的部件，并且可以修改。当然，任何东西都可以编辑，但编辑是为以后使用。
网格控制用于定义单元特征，如图2.22中右侧对话框所示。
图2.22 使用全局布种子（左）和网格控制（右）
有限元分析（FEA）程序有一个单元库，包含很多不同单元类型。单元类型决定了使用的单元方程。例如，自由度集 合，插值函数，以及单元是用于2D还是3D空间等。单元类型用于识别单元分类：杆拉-压、梁弯曲、实体、壳、层压板壳等。每个商用软件通过不同的符号识别单元类型。
一些单元类型的识别符号和基本特性在表2.2中给出。每种单元类型也有不同的选项。例如，对于平面实体单元，用户可以选择平面应变或平面应力分析。
单元类型对话框中选择单元类型，如图2.23所示。最后一步就是（对部件实体）画网格。操作过程概括如下：
菜单：Mesh，Element type，Standard，Linear，Plane stress，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes
图2.23 单元类型
最后，网格划好后如图2.24所示。
图2.24 划分网格后的部件
2.3.8 求解阶段
在分析求解阶段，有限元程序使用求解子程序计算有限元方法生产的联立方程组（式2.46）。通常，主要解通过求解节点的自由度值（即平移和转动）而得到。然后，在积分点计算派生解，例如应力和应变。主要解称为节点解，派生解称为单元解。
联立方程组的求解方法有多种。一些方法适用于大模型，一些方法分析非线性问题非常快，还有一些方法允许并行计算求解。商用有限元程序用批处理的方式求解这些方程。正面直接求解法对于有限元分析的效率非常高，因此经常采用该方法。对于非线性分析，必须重复迭代求解方程，因而显著增加计算时间。
为了求解模型，必须创建分析作业（Job）。在CAE中将分析作业提交给Abaqus求解器执行分析。CAE提交过程是一个提交分析作业的简单方法，如同例2.2，只是在CAE中完成，避免使用DOS窗口。注意，执行过程在CAE外部完成。CAE用于处理模型数据库（.mdb），单击提交按钮（Submit）后，CAE生成一个输入文件（.inp），该文件由Abaqus求解器读入。虽然求解器可以检查文件错误，但在实际执行前，不能发现所有可能的建模错误。由于求解器的错误检查能力比求解本身弱很多，因此作业管理器通常在要求求解之前，先要求数据检查。在CAE窗口底部的信息窗口中显示返回信息。如果通过了数据检查，则可以提交分析作业。进展信息再次显示在信息窗口中。如果没有发生错误，求解完成后求解器会将结果写入到输出数据库（.odb）。此时，用户可以在作业窗口中单击结果按钮（Results）直接调用可视化模块。该操作完成后将进入可视化模块，读取.odb，显示初使可视化模型。该过程概括如下：
模块：Job
菜单：Job，Manager， # 打开作业管理器窗口
Create，Name [Job-1]，Model：[Model-1]，
Description：[此处输入用户标题]，Cont，OK
Data check # 观察工作区下方的执行窗口
Submit # 观察工作区下方的执行窗口
Results
作业管理器对话框和创建作业对话框如图2.25所示。在作业管理器，注意Write Input（写入.inp文件）、Data Check（数据检查）、Submit（提交）、Continue（继续）、Monitor（监控器）、Results（结果）和Kill（终止）按钮。使用这些按钮可以控制Abaqus求解器的执行，在执行结束后使用Results按钮，可以直接进入可视化模式。
用户可以在描述（Description）区输入标题，该标题将在可视化模块显示，如果勾选复选框Viewport Annotation Options，General，Show title box。在.inp文件中，标题出现在关键字*Heading后面，见例2.2。
图2.25 作业管理器和创建作业对话框
2.3.9 后处理和可视化
一旦计算求解完成，可以使用后处理器对结果进行查看和分析。结果可以用图形的方式查看，也可以用数值的方式列表查看。因为一个模型通常包含大量的结果数据，使用图形工具查看结果是比较好的方式。商用软件后处理器可以生成应力应变分布的云图、变形等。软件通常包含派生运算，例如错误评估、载荷工况组合或路径操作。
可视化（Visualization）模块可以通过作业管理器（图2.25中Results按钮）进入，也可以在模块下拉列表中选择可视化模块。但是，后一种方法需要用户在CAE中进行更多操作才能打开.odb文件，即菜单栏File，Open，File Filter，[.odb]，File Name，[Job-1.odb](原文job1.odb)。假设已在作业管理器中单击Results进入可视化模块，基本可视化操作如下：
模块：Visualization
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape
该操作将使von Mises应力以云图的形式显示在变形的模型上，如图2.26所示。最大应力值为65.78MPa。最后，在退出软件前，保存文件，操作如下：
菜单：File，Save # 保存.cae和.mdb文件
菜单：File，Exit # 退出CAE
图2.26 在变形的模型上显示von Mises应力云图
模型的所有信息保存在.mdb文件中，.cae文件允许用户以后恢复会话（session）。Ex_2.3.cae文件可以在网站[5]找到。
例2.4和例2.5分别包含对结果进行图形输出和列表查看的操作命令（原文by listing and by graphic，顺序错误）。
例2.4 （[8, 例2.5]）圆杆长L=750mm，直径d=9mm，一端固支，一端施加轴向力P=100,000N。计算杆的加载端的轴向位移、应力和应变。杆的材料为刚，弹性模量E=200,000MPa，泊松比v=0.3。使用2节点（线性）杆单元（truss单元，在Ansys中成为link单元）。
解2.4 在Abaqus/CAE中的操作过程在已下面列出。CAE文件可以在参考文献[5, Ex_2.4.cae]得到。在1D杆单元的分析中不需要泊松比，但是Abaqus/CAE在定义各向同性材料时需要泊松比，因此需要使用泊松比的值v=0.3。
i. 创建几何
模块：Part
菜单：Create，Name：[Part-1]，2D，Deformable，wire，
Approx size：[2000]，Cont
菜单：Add，Line，Connected Lines，
# 在工作区下方对话框中输入坐标
[0,0]，Enter，
[750,0]，Enter，X，Done
ii. 输入材料和截面特性
模块：Property
菜单：Material，Create，Name [Material-1]，
Mechanical，Elasticity，Elastic，Isotropic，[200E3, 0.3]，OK
菜单：Section，Create，Name：[Section-1]，Beam，Truss，Cont
Material-1，Cross-sectional area：[63.617]，OK
菜单：Assign，Section， # 选取杆，Done，OK
iii. 创建装配，在本例中该操作比较简单
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，[Part-1]，Independent，OK
iv. 创建分析步，作为求解策略的一部分
模块：Step
菜单：Step，Create，Name [Step-1]，Static，General，Cont，OK
v. 施加载荷和边界条件，同时调整视图
模块：Load
菜单：BC，Create，Name：[BC-1]，
Step：Initial，Category：Mechanical，Types：Symm，Cont
# 选取原点，Done，
Encastre, OK
菜单：Load，Create，Name：[Load-1]，
Step：Step-1，Category：Mechanical，Types：Concentrated，Cont
# 选取端点x=750，Done
CF1 [100E3]，OK
菜单：View，Assembly display options，
Attribute，Symbol，Size：[24]，Arrow：[24]，Apply，OK
F6 #向前滚动鼠标中键，查看缩小部件
vi. 划分网格
模块：Mesh
菜单：Seed，Instance，Apply，#查看推荐的网格种子
# 设置尺寸，得到3个单元
Approx global size [250]，Apply，OK
菜单：Mesh，Element Type，Family：Truss，Linear，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes
菜单：View，Assembly display option，
标签页：Mesh，# 勾选Show node labels，Apply
# 勾选Show element labels，Apply，OK
# 为将来使用，保存该选项为默认设置
菜单：File，Save Options，Current，OK
vii. 定义作业并提交Abaqus求解器执行
模块：Job
菜单：Job，Manager，
Create，Name [Job-1]，Cont，OK
Submit，# 监视工作区下方的进度窗口
Results，# 切换进入可视化模块
viii. 在上一步中从作业管理器中调用结果后进行可视化处理比较容易。一旦进入可视化模块，可进行如下操作。
模块：Visualization
# 显示与位移成比例的箭头
# 从色标中读取最大值为5.895mm
菜单：Result，Field Output，
标签页：Symbol Variable，Name：U，Vector：Resultant，Apply，OK
# 显示应力
# 从色标中读取最大值为1572MPa
菜单：Result，Field Output，标签页：Primary Variable，
Name：S，Component：S11，Apply，Contour，OK
# 显示应变
# 从色标中读取最大值为7.860E-3(原文7860E-3,不用翻译“微应变”了)
菜单：Result，Field Output，标签页：Primary Variable，
Name：E，Component：E11，Apply，Contour，OK
# 进一步修改显示方式
# 保存设置
菜单：View，ODB Display Options，标签页：Entity Display，Symbol size [24]
菜单：File，Save Display Options（原文Save Options），Current，OK
对于本例，比较方便的单位组合为N、mm和MPa=N/mm2。分析结果可以通过材料力学的计算很容易验证，如下（下式中PL的值反了）
例2.5 [8，例2.6]使用商用软件计算带缺口矩形板的应力集中系数。尺寸和载荷情况在图2.27中定义。使用8节点（二阶）四边形平面应力单元。
图2.27 带缺口的矩形板（例2.5中分析用）
解2.5 在Abaqus/CAE中的操作流程如下。CAE文件可以在参考文献[5，Ex_2.5.cae]得到。
i. 创建几何
模块：Part，
菜单：Part，Create，Name：[Part-1]，
2D，Deformable，Shell，Approx size [200]，Cont
# 使用四分之一模型
菜单：Add，Point，
[0,0]
[50,18.5]
X，
菜单：Add，Line，Rectangle，# 选取对角线上的两个点，X
Add，Point，
[0,20] # 圆心
[7.5,20] # 半径
X，
菜单：Add，Circle # 选择圆心和边上的点
Edit，Auto trim # 不需要的线/圆弧
X，
Done # 结束绘图，完成部件。
菜单：File，Save
ii. 输入材料和截面特性
模块：Property
菜单：Material，Create，Name：[Material-1]，
Mechanical，Elasticity，Elastic，[190E3, 0.3]，OK
菜单：Section，Create，Name：[Section-1]，Solid，Homogeneous，Cont
# 勾选Plane stress/strain thickness：[4]，OK
菜单：Assign，Section，# 选取部件，Done，OK
iii. 创建装配
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，Name：[Part-1]，Independent，OK
iv. 创建分析步，作为求解策略的一部分
模块：Step
菜单：Step，Create，Name：[Step-1]，Static，General，Cont，OK
v. 施加载荷和边界条件，同时调整视图
模块：Load
菜单：BC，Create，Name：[BC-1]，Step：Initial，Mechanical，Symm，Cont
# 选取底部水平边，Done，YSYMM，OK
菜单：BC，Create，Name：[BC-2]，Step：Initial，Mechanical，Symm，Cont
# 选取左侧竖直边，Done，XSYMM，OK
菜单：Load，Create，Name：[Load-1]，
Step：Step-1, Mechanical, Types：Pressure, Cont
# 选取右侧竖直边，Done,
Distribution：Uniform，Magnitude [-10]，OK
# 在工作区向前滚动鼠标中键放大视图
vi. 划分网格
模块：Mesh
# 在工作区上方，选择Object：Assembly
菜单：Seed，Instance，Apply，# 如果你喜欢，OK，
# 否则，Approx global size：[1.0]，Apply，OK
菜单：Mesh，Controls，Quadratic，Structured，OK
菜单：Mesh，Element type，Standard，Quadratic，
Family：Plane stress，Reduced Integration，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes，# 完成对部件实体划分网格
vii. 定义作业并提交Abaqus求解器执行
模块：Job
菜单：Job,Manager
Create，Name：Job-1，Cont，OK
Submit # 作业提交Abaqus求解器执行
Results # 切换进入可视化模块
viii. 结果可视化
模块：Visualization
# 得到report文件
菜单：Report，Field output，
标签页：Variable，Position：Integ，point，expand S，# 勾选S11
标签页：Setup，Name：[abaqus.rpt]，
OK，# 在当前工作路径下立即写入.rpt文件
# min S11 = 0 在孔和水平线的交点
# max S11 ≈ 28.1 在孔和竖直对称线的交点
# 或者
# 积分点位置根据网格细化而变化
# 应力最大的节点总是相同
# unique nodal
# 在相邻单元的节点上显示平均应力
# 同样element nodal，但是仍然显示单元编号
标签页：Variable，Position：Unique nodal，expand S，勾选S11
标签页：Setup，Name：[abaqus.rpt]，OK
# 使用notepad 打开abaqus.rpt
# min S11 = 0 @ node 5
# max S11 ≈ 27.9 @ node 7
# 查看其它节点的应力值
模块：Mesh，Object：Assembly
菜单：View，Assembly display options，
标签页：Mesh，# 勾选Show node labels，Apply
不考虑应力集中时，在板无孔处净截面上的应力为
根据有限元模型，靠近缺口处的最大水平应力约为27.9MPa。因此，应力集中系数为
例2.6 [8，例2.4]使用Abaqus/CAE创建一个圆顶模型，包含不同的单元类型（壳和梁单元），使用不同的截面特性和和两种材料。通过求解本例，用户将熟悉在Abaqus/CAE中创建3D部件。
解2.6 为了方便建模过程中的操作，激活视图（Views）工具条如下：
菜单：View，Toolbars，Views。
# 将Views工具条放置在工作区上方区域，与其他工具条放在一起。
1) 创建3D圆顶
i. 创建实体半球：
模块：Part
菜单：Part，Create，Name [Part-1]，3D，Deformable，Solid，
Revolution，Approximate size [2000]，Cont，
菜单：Add，Arc，Center/Endpoint，
# 在工作区下方的对话框中输入坐标
[0,0]，[0,500]，[500,0]，X # 结束创建圆弧命令，F6 # 调整视图
菜单：Add，Line，Connected Lines，
# 输入坐标
[0,500]，[0,0]，[500,0]，X # 结束创建直线命令，Done，
Angle [360]，OK
创建完成一个3D半球。
ii. 创建侧壁：
# 旋转部件，可以看到半球的底部，
菜单：View，Rotate，X # 结束旋转命令，
# 向后滚动鼠标中键，缩小视图，
# 保存该视点为以后使用，
# 在视图工具条件中单击Save View图标，
# 在弹出的对话框中选择[User 1]，Save current，OK，
菜单：Shape，Cut，Extrude，# 选取半球的底面，
# 选取半球底面的边，
# 进入绘图模式，
菜单：Add，Line，Rectangle，# 输入坐标
[300,300]，[-300,-300]，
# 创建新的矩形，输入坐标
[600,600]，[-600,-600]，X # to end the Line command，Done，
Type：[Through All]，OK
切割半球后创建如图2.28所示的四个相同的侧。
图2.28 圆顶的侧壁
iii. 减小侧壁高度
菜单：Shape，Cut，Extrude，# 选取一个侧壁，
# 在工作区底部对话框中选择 [horizontal on bottom]，
# 从已选取的侧壁中选取最长的直边，
# 进入绘图模式，
# 向前滚动鼠标中键，查看缩小的图形，
# 离开图形区域，绘制一个矩形，
菜单：Add，Line，Rectangle，# 在屏幕上点取两个点,
X # 结束创建直线命令
此时，模型应该与图2.29相似。
图2.29 减小圆顶侧壁高度（步骤1）
菜单：Add，Dimension，# 选取矩形的一条竖直边
# 可能需要移动鼠标，右单击创建尺寸
# 输入矩形高度[200]，
# 选取矩形的一条水平边，
# 输入矩形宽度[600]，
X # 退出定义尺寸命令
此时，模型应该与图2.30相似。
图2.30 减小圆顶侧壁高度（步骤2）
菜单：Edit，Transform，Translate，
# 在工作区下方的提示区选择[Move]，
# 选取矩形的四边
# 按住Shift键，每次选取矩形一条边，Done，
# 选取矩形左下角的点，
# 选取圆顶图形左下角的点，
X # 结束移动命令，Done
矩形移动后的位置如图2.31所示。
图2.31 减小圆顶侧壁高度（步骤3）
Type：[Through All]，OK
部件高度减小后如图2.32所示。
图2.32 减小圆顶侧壁高度（步骤3）
iv. 将实体部件转换为壳部件：
菜单：Shape，Shell，From Solid，
# 选取部件，Done，X # 结束创建壳命令，
菜单：Tools，Geometry Edit，Face，Remove，
# 选取部件底面，
Done，X # 结束该命令，# 关闭对话框
部件应该如图2.33所示。
图2.33 圆顶壳结构
v. 创建支撑柱：
菜单：Shape，Wire，Sketch，# 选取一个侧壁，
# 在工作区底部对话框中选择[horizontal on bottom]，
# 选择该侧壁的最长边，
# 进入绘图模式，
# 向前滚动鼠标中键，查看缩小图形，
菜单：Add，Line，Connected Lines，
# 选择部件左下角，
# 选择下方任意一点（必须为竖直线），
X # 结束创建直线命令，
菜单：Add，Dimension，# 选取该直线，
# 输入直线的长度[200]，
X # 结束定义尺寸命令，
# 重复上述过程，以部件右下角点作为起始点向下创建长度为200的竖直线
Done # 结束绘图
在对面侧壁创建另一个草图，重复上述过程，创建另外两条竖直线。完成后，部件如图2.34所示。
图2.34 圆顶部件创建完成
2) 材料和截面特性：
模块：Property
i. 定义材料
菜单：Material，Manager，
Create，Name [Dome]，Mechanical，Elasticity，Elastic，Isotropic，
Young’s Modulus [190e3]，Poisson’s ratio [0.27]，OK，
Create，Name [Columns]，Mechanical，Elasticity，Elastic，Isotropic，
Young’s Modulus [200e3]，Poisson’s ratio [0.29]，OK，
# 关闭材料管理器对话框
ii. 定义截面特性
菜单：Section，Manager，
Create，Name [Dome-Roof]，Shell，Homogeneous，Cont，
Shell thickness [6.0]，Material [Dome]，OK，
Create，Name [Side-Walls]，Shell，Homogeneous，Cont，
Shell thickness [4.0]，Material [Dome，OK，
Create，Name [Columns]，Beam，Truss，Cont，Material [Columns]，
Cross-sectional area [100]，OK，
# 关闭材料管理器对话框
iii. 赋截面特性
菜单：Assign，Section，
# 选取圆顶的顶面，Done，Section [Dome-Roof]，OK，
# 选取侧壁，
# 按住Shift键，依次选取各侧壁，
Done，Section [Side-Walls]，OK，
# 选取四条柱，
# 按住Shift键，依次选取各条线，
Done，Section [Columns]，OK，
X # 结束该命令
3) 装配：
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，Parts [Part-1]，Independent，OK
4) 载荷和边界条件：
i. 创建载荷和边界条件的分析步
模块：Step
菜单：Step，Create，Name [Step-1]，General，Static/Gen.，Cont，OK，
# 返回保存的视图，
# 在视图工具条中单击Apply User 1 View图标
ii. 定义边界条件
模块：Load
菜单：BC，Manager，
Create，Name [BC-1]，Step：Initial，Mechanical，Sym/Ant/Enc，Cont，
# 选取四个立柱的下端点，
# 按住Shif键，依次选取4个点，Done，
Encastre，OK，
Create，Name [BC-2]，Step：Initial，Mechanical，Disp/Rota，Cont，
# 选取侧壁的竖直边，
# 按住Shift键，依次选择侧边，Done，
# 勾选U1和U3，OK，
# 关闭边界条件管理器对话框，
菜单：Load，Create，Name [Load-1]，Step：Step-1，
Mechanical，Pressure，Cont，# 选取圆顶的顶面，Done，
# 在工作区底部的提示区选择[Brown]，
Distribution：Uniform，Magnitude [-100]，OK，
# 在视图工具条件中单击Apply Iso View图标，
# 向后滚动鼠标中键，缩小视图，
# 放大边界条件和载荷符号的尺寸，
菜单：View，Assembly Display Options，
标签页：Attribute，Symbol，Size [18]，Arrows [18]，Face Density [10]，
Apply，OK
此时，部件应该如图2.35所示。
图2.35 加载后的圆顶结构
图2.36 划分网格后的圆顶结构
5) 对部件划分网格：
# 返回保存的视图，
# 单击视图工具条的Apply User 1 View图标，
模块：Mesh
菜单：Seed，Instance，Approximate Global Size [30]，Apply，OK，
菜单：Mesh，Element Type，
# 选取圆顶的顶部，Done，Standard，Linear，Family [Shell]，OK，
# 选取四个侧面，Done，Standard，Linear，Family [Shell]，OK，
# 选取四个立柱，Done，Standard，Linear，Family [Truss]，OK，
X # 结束命令，
菜单：Mesh，Instance，
# 在工作区底部的提示区选择[Yes]，
# 单击视图工具条中的Apply Iso View图标，
# 向后滚动鼠标中键缩小视图
部件应该如图2.36所示。
6) 提交分析和结果可视化：
模块：Job
菜单：Job，Manager，
Create，Name [Job-1]，Cont，OK
Submit，# 当状态信息显示Completed时
Results
模块：Visualization
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape
部件应该如图2.37所示。本例的CAE文件可以在参考文献[5，Ex_2.6.cae]得到。
图2.37 von Mises应力云图（柱上的最大值为91,020MPa，壳上的最大值为66,922MPa）
练习题
问题2.1 用2.1节的方法，求解例2.4，仅使用2个单元。写出全部计算过程。
问题2.2 根据问题2.1的解，计算(a)x=500mm和(b)x=700mm处的轴向位移。
问题2.3 使用与例2.1相同的过程，使用二次插值函数，计算3节点杆单元的刚度矩阵和等效力向量。插值函数如下
式中，x1、x2和x3分别是节点1、2、3的坐标位置。使用x1 = 0，x2 = h/2，x3 = h，其中h为单元长度。写出全部计算过程。
问题2.4 使用在例2.1中得到的单元公式和2.1.6节中的组装过程，编写一个有限元程序。使用该程序，求解例2.4。将所有工作写为一份报告。
问题2.5 使用在问题2.3中得到的单元公式和2.1.6节中的组装过程，编写一个有限元程序。使用该程序，求解例2.4。将所有工作写为一份报告。
