【FCA-Chp-3】第3章 层压板的弹性和强度（1）
大多数复合材料结构由板和壳组成。这是因为这样的结构承载面内载荷时效率较高。另外一个重要原因是厚的层压板很难制造。
例如，考虑由均质材料制成的梁受到弯矩M的作用，材料的拉伸和压缩强度为σu。进一步，考虑一个四边形截面实心梁（图3.1），截面的宽和高均为2c，面积为A，惯性矩为I，截面模量S由下式给出。
当梁表面的应力达到失效应力σu时，单位面积的弯矩为
现在，考虑一个空心方管（图3.1），尺寸为2c×2c，壁厚为t且2c>>t，因此可得下面的近似
那么，
图3.1 实心截面（a）和空心方管截面（b）
薄壁空心方管的单位面积失效弯矩mu是实心截面的2倍大。
当然，失效弯矩受到薄壁屈曲的限制（见第4章）。这是屈曲分析对于复合材料很重要的原因。大多数复合材料结构根据屈曲约束进行设计，因为厚度很小而材料很强；因此，在金属结构中通常不会遇到材料失效（即屈服应力），但是会遇到结构失效，比如屈曲。
板是壳的特殊情况，没有初始曲率。因此，后面将只提到壳。壳用二维结构建模，因为两个维度（长和宽）比厚度大很多。厚度坐标从控制方程去除后，3D问题简化为2D。在该过程中，厚度作为一个已知参数提供给模型。
层压复合材料建模与常规材料建模的不同体现在三个方面。第一，每一个铺层的本构方程是正交各向异性的（1.12.3节）。第二，单元本构方程依赖于所使用的壳理论的运动学假设及这些假设在单元上的实现。第三，当在模型中尝试使用对称条件时，材料对称与几何、载荷对称同等重要。
3.1 壳的运动学
壳单元基于各种壳理论，而壳理论又是基于运动学假设。即，一些关于材料变形的可能类型的基本假设。这些假设用于使3D控制方程减缩为2D控制方程。这类假设或多或少地适合不同情况，见下面的讨论。
3.1.1 一阶剪切变形理论
最典型的复合材料壳理论是一阶剪切变形理论（first-order shear deformation theory，FSDT）。该理论基于以下假设：
i. 壳结构未变形前沿壳厚度方向的直线可以转动，但是在壳变形后仍然为直线。该直线与未变形中面法线在x-z、y-z平面内的夹角分别用φx和φy表示（图2.19和图3.2）。
ii. 当壳变形时，壳厚度的变化忽略不计。
这些假设在大量层压板壳的实验观察中验证，但是要满足以下前提条件：
—长厚比r=a/t大于10，其中a为面内最短边，t为厚度。
—在壳坐标系(x, y, z)内各铺层刚度的差异不超过2个数量级。该约束条件将夹层壳排除，因为夹芯比面板软很多。
图3.2 一阶剪切变形理论假设变形1
1由E. J. Barbero的《Introduction to Composite Materials Design》中图6.2再次编辑，该书版权（1999），得到了Taylor和Francis的许可。
根据上面的假设，壳内任意位置的普通点B的位移可以用在中面C上的位移和转动来表示，可以写为如下形式。
式3.5右侧的中面变量仅为两个坐标（x和y）的函数；因此，壳理论是2D的。在左侧，位移是3个坐标的函数，因此相当于材料的3D表达。在3D水平，使用3D本构方程（式1.68）和3D应变-位移方程（式1.5），现在可以写为2D方程的形式如下。
式中，
—中面应变
也称为膜应变，表示中面的拉伸和面内剪切。
—曲率
的变化，与中面的几何曲率非常接近但不完全相同。这正是将在3.1.2节中讨论的克希荷夫理论。
—层内剪应变
是贯穿厚度方向的剪切变形。这些剪应变很小，但是对于层压复合材料不能忽略，因为层内剪切模量G23、G13与面内模量E1相比很小。金属的剪切刚度相对较大（G=E/2(1 ν)），因此，层内应变可以忽略。另外，层内剪切强度值F4、F5与面内强度值F1t、F1c相比很小，因此对层内应变（和可能的应力）的评估是必需的。另一方面，金属的剪切强度与其拉伸强度相当，因此层内应力通常比面内应力小，不需要检查金属均质壳的层内失效。层压金属壳则不同，因为胶层强度较小，可能发生层内剪切失效。（译者注：本段中层内均指x-z、y-z平面内，面内指x-y平面内。）
3D本构方程描述应变-应力关系，层压板本构方程描述中面应变-曲率关系。层压板本构方程使用应力合力的定义而得到。3D弹性体每一个材料点都有应力，而壳受到应力合力（图3.3）作用。应力合力是指应力分量在壳的厚度方向的简单积分，如下所示。
式中，N是铺层数，zk-1和zk分别是第k层下表面和上表面的坐标（图3.4）。将每一层的3D本构方程的平面应力形式变换到壳的局部坐标系并积分后可得
式中
式中，
是第k层的平面应力刚度矩阵在层压板坐标系内的系数，tk是第k层的厚度，
是第k层中面的坐标。其他各项的深入讨论见参考文献[1]。概括地说，系数Aij表示层压板的面内刚度，系数Dij表示弯曲刚度，系数Bij表示拉-弯耦合，Hij表示层内剪切刚度。所有这些系数可由式3.9计算得到，也可以使用各种软件计算得到，例如CADEC[12]。
图3.3 作用在板或壳单元上的应力合力：(a) 单位长度的力，(b) 单位长度的力矩，(c)壳理论转角φ与数学角度θ的对比定义
图3.4 定义z坐标（定位铺层界面Zk和铺层中面
）
当面内变形与弯曲变形不耦合时（例如，对称层压板），一阶剪切变形理论的控制方程引入3个变量求解弯曲问题(ω0,φx,φy)，引入2个变量求解面内问题(u0,v0)。拉-弯耦合意味着所有5个变量必须同时求解，不管是否是耦合问题，有限元软件都会对每一种情况同时求解5个变量。
使用虚功原理（见式1.16）可以推导出板的平衡方程。此外，本构方程（式3.8）代入平衡方程可以推导出控制方程。
3.1.2 克希荷夫理论
在历史上，克希荷夫理论被优先使用，因为控制方程可以写为仅有一个变量的形式，即壳的横向挠度ω0。在前信息化时代，使用一个变量比使用（一阶剪切变形理论所需的）3个变量要容易获得解析解。这就意味着有很多基于克希荷夫理论[13]的闭型设计方程和近似解存在于工程设计手册。这些简单的设计方程仍然可以用于复合材料壳的初步设计，如果我们很小心并且知道这些方程的局限性。过去和现在通常使用克希荷夫理论对金属壳建模。一阶剪切变形理论控制方程可以缩减为克希荷夫控制方程，而且可以得到闭型解，见参考文献[14]。
层内剪应变在克希荷夫理论中假设为零。从式3.6的最后两项可以得到
将上式代入式3.6的前3个方程可得
注意，变量φx,φy已被消除，克希荷夫理论仅使用3个变量
这使解析解更容易得到，但是克希荷夫理论在数值上实现起来更复杂。因为需要用w0的二阶导数写应变，弱形式（式2.30）可得到ω0的二阶导数。这将要求插值函数（见2.1.4节）具有C1连续性。也就是，插值函数必须满足位移和斜率穿过单元边界时是连续的。换言之，相邻单元的位移ω0和斜率
在单元之间的边界处必须相同。这一点是很难实现的。
考虑梁弯曲的例子。包含分布载荷
的常微分方程为
可得与式2.3类似的弱形式如下
经过两次分部积分可得
当使用2.1.6节的方法组装单元后，产生的结果是有公共节点的相邻的单元i和i 1在它们的公共节点上具有完全相同的位移，但是相反的剪力Qx和弯矩Mx，如下。
与式2.24类似，为了消除剪力，只需要有νi = νi 1，可以由C0连续性满足该条件，单元在公共节点处有ωi = ωi 1。与式2.24类似，为了消除弯矩，只需要求
。只有单元有C1连续性时，才能进行该处理。也就是在公共节点处，斜率必须相同。这样的单元很难使用参考文献[15, p. 276]进行计算。
在一阶剪切变形理论中，只有一阶导数用于应变（式3.6）。因此，弱形式（式2.30）只有一阶导数，而且如同式2.24，只有C0单元连续时，所有内部广义力在公共节点处消除。
3.1.3 简支边界条件
即使在纯弯、纯剪或纯面内载荷的左下，复合材料板在耦合效应作用下可能发生弯、剪和面内耦合变形（见[1，图6.7]）。此处，“简支”（simply supported）通常表示约束横向挠度w(x, y)，不再单独定义面内边界条件un和us，即边界的法向和切向。在解析解情况下，习惯约束
un和或us。因此，可能存在下面的情况。
在类型SS-1中，定义了法向力和力矩。在类型SS-2中，定义了剪力和力矩。转动的命名约定与图3.3中合力矩使用的相同，即下标( )n表示与壳的边垂直，下标( )s表示与边相切（见[14，图3.201]）。注意，转动向量φs垂直于方向s，导致
；因此，SS-1和SS-2都将该转动设为零。最后，（^）表示固定的已知值，可能为0，也可能不为0。
仅受弯的对称层压板板的几何线性分析不会产生明显的位移un和us。因此，SS-1和SS-2事实上将会得到相同的结果。对于其他情况，可能会有重要的不同。而且φs = 0，的条件不应该忽略。例如，参考文献[16]使用36个S4R单元计算夹层板中心的挠度时，忽略φs = 0会使结果增加11.5%。
3.2 层压板的有限元分析
层压复合材料的变形和应力分析可以在不同水平（图3.5）。对于材料描述所需的细节程度依赖于所期望的后处理水平。
图3.5 (a) 微观力学、(b) 单层板水平和(c) 层压板水平方法
当需要很高的细节（图3.5.a）时，应变和应力在组分水平计算，即，纤维和基体。这时，需要需要描述微观结构，包括纤维形状、几何分布、成分的材料特性。更多细节见第6章，该章介绍使用微观力学模型得到纤维和基体各种组合的特性。同样，当复合材料是编织布，或层压板非常薄，或研究局部显现（例如自由边效应）时，复合材料需要用实体来分析，见第5章。然而，必须注意，绝大多数层合结构可以用3.1节介绍的简化的板和壳来分析。
另一个极端情况（图3.5.c），复合材料可以当做均质等效材料。这时，它的结构性能可以用第1章的正交各向异性材料特性来分析。如果使用宏观水平的方法（图3.5.c）将整个层压板当做均质等效壳来分析，则无法得到层压板内的应力分布。然而，当仅需要位移、屈曲载荷和模态或振动频率和模态时，层压板的这种简单描述是能满足要求的。在这些情况下，只需要层压板的刚度（式3.8）（见3.2.9节）。在某些情况下，更简单的材料描述仍能满足要求。例如，当层压板是单向的，或者层压板是均衡对称的（见[1,6.3节]），可以将层压板当做一个单层板或正交各向异性材料（见3.2.10节）。
在大多数情况下，需要计算层压板中每一个单层板的应力和应变。那么，需要将真实的层压板铺层顺序（laminate stacking sequence，LSS）输入到程序（3.2.11节）。这时，必须给出每一层单层板的弹性参数、厚度、纤维方向。这种方法通常称为中尺度水平方法（图3.5.b）。
将单向板近认为似横观各向同性可以得到满意结果。那么，对于正交各向异性材料，在方程中使用
是足够的。单向板的弹性性能可以使用微观力学（第6章）计算得到。一些单向复合材料的材料特性在表3.1中给出。
表3.1 单向碳/环氧复合材料的材料特性a
a F4使用计算得到，见[1，Eq. 4.109]
在大多数复合材料结构的分析中，通常避免使用微观力学方法，而是使用实验方法获取单向板或者层压板的特性。然而，实验方法也并非是理想的，因为在设计过程中，组分或纤维体积比的变化将使材料数据失效，因此需要对新材料实施新的实验项目。计算单层板弹性参数的比较好的方法是使用微观力学公式，使用软件例如参考文献[12]（同样见6.1节）。不幸的是，微观力学公式预测强度时不精确，因此不能完全取消实验工作。
总之，层压板特性可以用两种方法描述：
——通过本构方程A，B，D和H，或者
——通过定义层压板铺层顺序（LSS）和每一层的特性。
当用本构方程A、B、D、H定义层压板时，不能区分不同铺层的壳单元。只能通过广义力和弯矩计算广义应变和弯曲。另一方面，分层的壳单元根据层压板铺层顺序可以计算层压板的特性和单层板的特性。
3.2.1 单元类型和命名约定
壳单元可以用于对薄壳到适当厚度的壳进行建模，长厚比可以降低到10。一些壳单元有3个或4个节点，另一些壳单元有8个节点，使用高阶插值函数。壳单元在3D空间中定义，每个节点有5个或6个自由度（DOF，节点在x、y、z方向的平移和绕x、y、z轴的转动）。第6个自由度（绕z轴的转动）包含在壳公式中，允许折板建模，但是当壳表面光滑时，该自由度不是必需的。
在Abaqus帮助文件中，有一些术语起初看上去混乱和/或重叠。现在将其概括如下：
常规壳单元Conventional shell elements：要求几何（网格）为3D空间中的2D平面或曲面，与连续壳单元相反。常规壳单元包含薄壳单元（例如S8R5）和厚壳单元（例如S8R）。
连续壳单元Continuum shell elements：要求几何按照壳的厚度建模，建模与3D实体单元类似，但是与3D实体单元不同的是，连续壳单元将一阶剪切变形理论（FSDT）强制应用于单元插值函数。连续壳单元有SC6R和SC8R。
薄壳单元Thin shell elements：当壳很薄时，无论是理论上（例如STRI3）还是数值上（例如S8R5原文位置？？？），都将强制使用克希荷夫约束（3.1.2节）。因此，横向剪切变形被假设为零或忽略。这些单元用于复合材料是不精确的，如果层压板较厚，同时/或者一个或多个单层板的横向剪切模量G23很小，因为在这种情况下剪切变形可能被低估。所有薄壳单元都是常规壳单元。薄壳单元有STRI3、S4R5、STRI65、S8R5、S9R5、SAXA1N和SAXA2N。它们没有绕壳法向转动的自由度。
厚壳单元Thick shell elements：只应用一阶剪切变形理论（FSDT）约束（3.1.1节）。因此，横向剪切变形不为零。厚壳单元可以是常规壳单元（例如S3R、S4、S4R、S8R、SAX1、SAX2），或者连续壳单元（例如SC6R、SC8R）。
通用壳单元General purpose shell elements：适用于对厚壳和薄壳建模，包括厚的常规壳单元（例如S3、S3R、S3RS、S4、S4R、S4RS、S8R、S4RSW、SAX1、SAX2、SAX2T），以及厚的连续壳单元（例如SC6R、SC8R）。
3D实体单元3D solid elements：也称为实体3D连续单元，离散3D实体时不使用任何壳理论的假设。由于不是壳单元，这种模型的计算代价较高。3D实体单元可以用于一些区域的详细分析，如果该区域的应力和应变变化比较快。该单元需要3D网格，对壳要建立3维模型，包含厚度。壳单元到体单元的过渡可以使用壳-体耦合（shell-to-solid coupling）约束。
另一个容易引起混淆的原因是2D和3D术语。在壳理论中，壳是2D的面，因为只需要2个曲线坐标即可定义壳的参考面上的任意一点。但是在Abaqus帮助文件中，壳通常称为3D的，因为壳占用3D空间，与之相反，2D模型通常是平面的。
此外，对于壳单元，Abaqus帮助文件使用下面的命名约定：
SnRsW 常规壳
S | 壳 |
n | 节点数 |
R | 减缩积分 |
s | 小应变 |
W | 翘曲 |
SCnRT连续壳
S | 壳 |
C | 连续介质 |
n | 节点数 |
R | 减缩积分 |
T | 热-力耦合 |
STRInm 三角形壳
S | 壳 |
TRI | 三角形 |
n | 节点数 |
m | 自由度数 |
SAXAxN轴对称壳
S | 壳 |
AXA | 轴对称 |
1N | 经向线性插值，N傅里叶模式 |
2N | 经向二次插值，N傅里叶模式 |
本节介绍的术语将会在后续章节进一步解释。
3.2.2 薄（克希荷夫）壳单元
当壳很薄且材料的剪切模量很高时，在壳变形过程中垂直于中面的线保持垂直。这是克希荷夫壳假设之一，也被称为克希荷夫约束（见3.1.2）。
克希荷夫约束声明结构未变形的参考面的法向线仍然垂直于变形后的参考面。这意味着横向剪切变形
为零。附加的假设是法向保持直线，且不能伸缩（
），克希荷夫理论和一阶剪切变形理论（FSDT，3.2.4节，原文First Order...，少了Shear）都使用该假设。使用克希荷夫约束的的壳单元称为薄壳单元，与之相反，厚壳单元只使用一阶剪切变形理论。所有薄壳单元都是常规壳单元，这意味着几何体由3D空间内的2D平面或曲面表示，与之相反，连续壳单元要求几何体按照壳的实际厚度建模，并被划分为3D实体单元。
为了对薄壳建模，用特定的公式定义了薄壳单元，例如STRI3、S4R5、STRI65、S8R5、S9R5、SAXA1N和SAXA2N。它们将壳的参考面离散，厚度由截面特性给出。单元STRI3在解析上使用克希荷夫约束，因此即使对于厚壳，也会得到薄壁理论的解。单元STRI65、S8R5、S9R5、SAXA1N和SAXA2N在数值上使用克希荷夫约束。当横向剪切变形很重要时，不应该使用这些单元，无论是壳很厚，或者剪切模量很小，或者同时具备这两个特征。见例3.4.a。
单元名字中最后为数字5的单元的节点有5个自由度，3个位移和2个面内转动，没有法向转动自由度（见3.2.8节）。五自由度单元（例如S4R5、STRI65、S8R5、S9R5）可能比其他单元更经济，但是它们只能用于薄壳建模，而不应该用于模拟厚壳。
3.2.3 厚壳单元
复合材料应该当做厚壳来建模，即使在几何上很薄，因为复合材料剪切模量很低，因此需要使用与厚壳相同的方法将剪切变形考虑在内。Abaqus提供了单元S3R、S3RS、S4、S4R、S4RS、S4RSW、S8R、SC6R和SC8R用于层压复合材料壳的建模。如果需要更好的剪切变形的结果，可以使用连续壳单元，例如SC6R和SC8R。见例3.4.b。
3.2.4 通用（FSDT）壳单元
一阶剪切变形理论（FSDT，见3.1.1）声明在未变形的结构中参考面的未变形的法线保持为直线和不可伸缩，但是不必垂直于变形后的参考面。这将允许有非零横向剪应变。
通用壳单元（例如S3、S3R、S3RS、S4、S4R、S4RS、S8R、S4RSW、SAX1、SAX2、和SAX2T，也包括SC6R和SC8R）包含横向剪切变形，但是它们也可用于薄壳。单元S3、S3R、S3RS、S4、S4R、S4RS、S4RSW、S8R、SAX1、SAX2和SAX2T离散壳的参考面，厚度由截面特性给出。单元S3、S3R、S3RS、S4、S4R、S4RS、S4RSW和S8R的每个节点有6个自由度，第6个自由度为法向转动，允许单元用于模拟起皱的壳。单元SC6R和SC8R是连续单元（见3.2.5节），但是将它们归类于通用壳单元，是因为它们可用于薄壳和厚壳。
3.2.5 连续壳单元
连续壳单元（例如SC4R）从根本上说是3D实体单元，通过特殊的插值函数执行一阶剪切变形理论允许[17]。与常规壳相比，在模型中连续壳单元有更多的节点用于描述厚度。
连续壳单元只有位移自由度，没有转动自由度。因此，该单元可以堆叠，也可以与实体单元连接。连续壳单元离散壳的3D几何，与3D实体单元相同。
连续壳单元可以在厚度方向仅用一层单元通过定义内部铺层来表示层压板或子层压板。另外，也可以在厚度方向堆叠多层单元以获得更好的剪切变形。在该形式中，每一层单元表示一个子层压板。如果只有一层单元通过定义内部铺层来模拟层压板的全厚度，则结果与一阶剪切变形理论单元的结果相同。但是连续单元可以堆叠，这就是其优点。通过堆叠几层连续壳单元，法向真实变形可以近似达到任意精度。因为厚度方向的单元数量接近无穷，可以得到板问题的精确弹性解。但是该单元比3D实体单元更好，因为该单元没有长厚比问题；也就是，与另外两个尺寸相比，单元的厚度可以非常薄。这是因为连续壳单元在法向不可压（
，式3.6），如图一阶剪切变形理论单元。
使用连续壳单元划分网格比较困难，因为壳的厚度也需要划分网格。并且，边界条件更难施加，因为不能施加经典壳边界条件，而是通过约束壳的上下表面的位移来模拟。例如，简支边界条件很难施加，如果壳的网格在壳中面位置没有节点。固支和对称边界条件容易施加。见例3.4c。
3.2.6 夹层壳Sandwich Shells
对于夹层壳，夹芯比面板软很多，无论壳的总厚度为多少，横向剪切变形都值得注意。常规壳单元可能没有所需的剪切柔性，可以使用连续壳单元替代。对于大多数可能的细化模型，在厚度方向划分3层连续壳单元，分别表示上下面板和夹芯。见例3.7。
3.2.7 节点和曲率
三节点或四节点单元（例如STRI3和S4R5）是平的。对于曲面壳，最好使用6节点、8节点或9节点单元，例如STRI65，S8R5和S9R5。单元S9R5（原文S8R5）有一个隐藏的内部节点（第9个节点），对于双曲壳，该节点可能在参考面外侧。如果存在这种情况，屈曲载荷可能是错误的，使用S8R5（原文S9R5）会更好。
3.2.8 法向转动Drilling Rotation
常规壳单元是基于壳理论，而壳理论根据一些运动学假设（例如克希荷夫理论、一阶剪切变形理论或者其他假设）约束3D连续变形。在连续介质理论中，一个点在3D空间中的变形可以用两个点的相对位移来描述，因此需要6个自由度（每个点3个自由度）。克希荷夫和一阶剪切变形理论都将所需的自由度减为3个位移和绕1点的2个面内转动。这2个转动φx和φy对于参考面是正常的转动。它们之所以称之为面内转动，是因为转动向量在壳的面内。对于平滑的曲面或平面壳，不需要关注绕自己的法向转动φz。然而，如果壳有一个折痕，折痕一侧的面内转动相当于另一侧的法向转动（图3.6）。因此，为了实现位移的兼容性，法向转动成为必需的。因为有5个自由度的单元没有法向转动，它们适用于模拟平滑的曲面壳，但不适用于折叠的壳。
图3.6 沿AB折的板的爆炸视图（法向转动和分别对应单元1和2）
当遇到以下情况时，Abaqus/Standard会在任意节点将5自由度单元自动转换为6自由度单元。
——运动学（位移、速度）边界条件施加于节点的转动自由度；
——节点用于多点约束，且约束包含转动自由度；
——与梁单元共节点，或与壳单元共节点（如果该壳单元在所有节点都使用了3个全局转动分量）；
——节点在壳的折线上；
——在节点上施加了弯矩。
3.2.9 层压板有限元分析输入数据A、B、D、H
如前所述，宏观尺度水平（层压板水平）的分析是足够的，如果只进行变形、模态分析或屈曲分析，不需要详细的应力分析。那么，不需要定义层压板铺层顺序（LSS）、厚度及层压板每层的弹性参数。只需要式3.9中定义的层压板弹性参数（A、B、D、H矩阵）。这样操作很方便，因为输入复合材料整体材料特性时只需要很少参数。输入数据复杂程度的降低，可以实现对层数非常多的层压板的建模，而且只需要4个矩阵。
当使用A、B、D、H矩阵定义有限元分析时，计算机模型知道正确的刚度，但不知道层压板铺层顺序。因此，软件可以计算变形响应（包括屈曲和振动）以及应变沿壳厚度的分布，但是不能计算应力分量，因为软件不知道单层板材料特性在什么位置由一层变为另一层。
输入数据A、B、D、H可以由式3.9或参考文件[12]定义。然后，将这些数据输入有限元软件，如例3.1所示。
在Abaqus中，A、B、D矩阵可以在Edit General Stiffness Section（图3.7）对话框中输入，调用方式如下：
模块：Property
菜单：Section，Edit，[Section-name]
图3.7 输入A、B、D矩阵
在图3.7的Stiffness标签页中输入A、B、D矩阵。矩阵H必须转换为横向剪切刚度值，并在图3.8的Advanced标签页中输入。横向剪切刚度系数在H44、H45、H55式3.9中定义。根据Abaqus使用的简化符号，如表1.1所示，与本书所用的standard（Voigt）定义对比，图3.8中横向剪切系数的符号意义如下：
图3.8 输入H矩阵
解3.1 下面介绍[0/90]层压板（n = 1）的详细计算过程。
i. 确保你的文件将被保存在所选的文件夹
菜单：File，Save as，[C:\SIMULIA\User\Ex_3.1\Ex_3.1.cae]
菜单：File，Set Work Directory，[C:\SIMULIA\User\Ex_3.1]
ii. 创建部件
由于板是对称的，所以只对板的1/4创建模型。
模块：Part
菜单：Part，Create，
[Part-1]，3D，Deformable，Shell，Planar，Approx. size [4000]，Cont
菜单：Add，Line，Rectangle，
# 输入点坐标[0,0]，[1000,1000]，X # 结束命令，Done
iii. 创建材料和截面，并将截面赋给部件
在Abaqus中，矩阵A、B、D、H作为截面特性参数输入。注意，由于矩阵A、B、D、H包含与层压板弹性行为有关的所有信息，因为不需要定义材料。
矩阵A、B、D、H使用式3.9计算，见参考文献[12]。对于[0/90]1层压板，矩阵A、B、D、H如下：
上述矩阵输入Abaqus/CAE如下：
模块：Property
菜单：Section，Create，[Section-1]，
Shell，General Shell Stiffness，Cont
# 在弹出的对话框中输入刚度矩阵如下
标签页：Stiffness，
# 矩阵A的上三角部分在1~3行、1~3列
# 矩阵B 在1~3行、4~6列
# 矩阵D的上三角部分在4~6行、4~6列
# 刚度矩阵如下
# 711541 | 23317 | 0 | -1585193 | 0 | 0 |
# | 711541 | 0 | 0 | 1585193 | 0 |
# | 43060 | 0 | 0 | 0 | |
# | 5929510 | 194306 | 0 | ||
# | 5929510 | 0 | |||
# | 358833 |
标签页：Advanced，
# 矩阵H的值在此输入
Transverse Shear Stiffness，# 勾选：Specify values，
K11：[29442]，K12：[0]，K22：[29442]，OK
菜单：Assign，Section，# 选择部件，Done，OK
iv. 创建装配
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，Independent，OK
v. 创建分析步
模块：Step
菜单：Step，Create，Name [Step-1]，Static/General，Cont，OK
vi. 添加边界条件和载荷
模块：Load
菜单：BC，Manager，
Create，Name [X-symm]，Step：Initial，
Mechanical，Symm/Anti/Enca，Cont
# 选取左侧竖直边，Done，XSYMM，OK
Create，Name [Y-symm]，Step：Initial，
Mechanical，Symm/Anti/Enca，Cont
# 选取上侧水平边，Done，YSYMM，OK
Create，Name [Simple-Support]，
Step：Initial，Mechanical，Disp/Rota，Cont
# 选取右侧竖直边和下侧水平边，Done，
# 勾选U3，OK，# 关闭边界条件管理器
菜单：Load，Create，Step：Step-1，Mechanical，Shell edge load，Cont
# 选取右侧竖直边，Done，Magnitude [1]，OK
vii. 创建网格
模块：Mesh
菜单：Seed，Instance，Approximate global size [50]，Apply，OK
菜单：Mesh，Controls，Element Shape [Quad]，Technique [Structured]，OK
菜单：Mesh，Instance，# 在工作区底部选择[Yes]
viii. 求解和可视化结果
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [0-90_1]，Cont，OK
# 为每个层压板定义一个不同的作业名，
# 这样就可以读取不同模型的结果，而不需要重复提交计算
Data Check # 检查模型是否有错，
Submit # 运行模型计算，
Results # 对结果进行可视化后处理
工具条：Views，Apply Front View
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape，
Results，Field Output，
Output Variable [U]，Component [U3]，Apply，OK
# 注意最大变形应该是-2.196e-01，在板的左上角
ix. 保存模型数据库
菜单：File，Save，
菜单：File，Save As [Ex_3.1(1).cae]，OK
菜单：File，New Model Database，With Standard/Explicit Model
x. “Save As”命令允许用户保留[0/90]1层压板模型的副本，将原模型经修改后完成后续分析。同时注意，模型的结果可以使用下述方式读取。
菜单：File，Open，# 找到路径C:\SIMULIA\User\Ex_3.1
File Filter，Output Database (*.odb*)，# 选择[0-90_1.odb]，OK
对于剩余的n>1的层压板的求解与上述过程类似。修改层压板的层数，不需要改变层压板的厚度，只有拉-弯耦合矩阵B会受影响。对于附加的铺层顺序，矩阵B可以使用参考文献[12]得到，如下所示。
对于[0/90]5：
对于[0/90]10：
对于[0/90]15：
对于[0/90]20：
下一步，使用n>1的每一个拉-弯耦合矩阵修改前面保存为Ex_3.1.cae的模型。
i. 编辑截面特性、提交分析和可视化
菜单：File，Open，# 找到路径...\Ex_3.1， [Ex_3.1.cae]，OK
模块：Property
菜单：Section，Edit，Section-1
# 在弹出对话框中使用新的矩阵B修改刚度矩阵
# 在1~3行、4~6列，输入新的子矩阵B如下
# -317039 0 0
# 0 317039 0
# 0 0 0
OK
模块：Job
菜单：Job，Manager，Create，Name [0-90_5]，Cont，OK
Data Check # 检查模型是否有错，
Submit # 运行模型计算，
Results # 对结果进行可视化后处理
工具条：Views，Apply Front View
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape，
Results，Field Output，
Output Variable [U]，Component [U3]，Apply，OK
最大的位移应该是-2.109×10-2mm，在板的左上角。
ii. 保存模型数据库
菜单：File，Save，
菜单：File，Save As [Ex_3.1(5).cae]，OK
菜单：File，New Model Database，With Standard/Explicit Model
结果在表3.2中列出。拉-弯耦合产生横向位移，并且随层数n增加而减小。注意，拉-弯耦合系数-B11与层数成反比。
表3.2 例3.1中的横向位移与层数
（下表中%一列应为100/5，100/10，……）
