【FCA-Chp-4】第4章 屈曲
多数复合材料结构是薄壁结构。这是下列事实的自然结果：
——复合材料比常规材料更强。那么，复合材料可以用很小的面积承受很高的载荷，因此在多数部件中厚度较小。
——与常规材料相比，复合材料比较贵。因此，减小体积的动机比较强，也就是尽可能地减小厚度。
——聚合物基体复合材料的成本随刚度增大而增加。纤维方向的刚度可以用纤维主导的混合定律估计，即E1=EfVf。例如，当玻璃纤维与聚合物基体固化后，得到的复合材料刚度比铝合金低。芳纶纤维复合材料的刚度与铝合金接近。碳纤维复合材料刚度低于钢。因此，有很强的动机提高梁和加强件的惯性矩，而不增加截面积。提高惯性矩的最好选择是增大截面尺寸，减小厚度。
以上事实通常导致复合材料结构的截面设计成大尺寸的薄壁形式，而失效模式可能由屈曲决定。
4.1 特征值屈曲分析
屈曲是由几何效应而非材料失效引起的失稳。如果屈曲后的变形不受约束，则可能导致材料失效和结构破坏。多数结构在线弹性范围内工作。也就是，卸载后结构能恢复未变形时的构型。如果超过弹性范围，则导致永久变形，例如在复合材料中基体开裂。
考虑一个面积为A、长度为L、惯性矩为I的简支梁，由均质材料制成，沿梁长度方向的弹性模量为E、强度为F。梁受到施加在截面中心的压力P作用[3]。如果梁的几何、加载、材料没有瑕疵，则轴向变形为
没有横向变形，即w=0。在屈曲发生之前，结构变形(u, v, w)称为主路径（图4.1）。使梁屈曲的最小载荷为
图4.1 完美梁的平衡路径
细长杆的承载能力受屈曲控制，而不是材料的压断强度。当杆受到临界载荷后会发生的情况主要依赖于支撑条件。对于简支梁，最大横向挠度1为
当载荷刚刚超过PCR后，横向挠度的增大将无法确定（A→∞）。如此大的横向挠度将导致材料失效，梁也会倒塌。屈曲之后结构的行为称为后屈曲。
1 x从梁的一端量起，沿梁的长度方向。
图4.1中的简支梁经历了屈曲实际发生前没有屈曲模式（式4.3）形状的变形。在这种情况下，结构有一个不重要的主路径。该结论适用于完美结构受到完美对齐载荷作用的情况。对于这类结构，屈曲发生在一个分叉点。分叉点是指主路径与次路径（即后屈曲路径[24]）的交点。
分叉载荷（每个屈曲模态各有一个）可以使用商用软件很容易得到。结构的几何是完美的未变形的构型，施加名义载荷，并且材料是弹性的。就分析者而言，这样的分析要求条件最少。商用软件将该分析作为特征值屈曲分析，因为临界载荷是名义载荷与离散方程组（式4.4）特征值λi的乘积。（原文错误the critical loads are the eigenvalues）
式中，K和KS分别是刚度矩阵和应力刚度矩阵，v是梁的特征向量（屈曲模态）[24]。
表4.1 单层板弹性参数（AS4/9301，Vf= 0.6）
解4.1 对整个板建模，计算其所有屈曲模态，而不是建立对称模型。使用S8R5单元，因为对薄板建模。层压板是对称的，且不需要计算单层板的应力，临界载荷可以使用3种不同的方法得到。注意，对于S8R5单元，对于Homogeneous和Composite壳截面，不需要指定横向剪切刚度（Transverse Shear Stiffness）（见(a)和(c)）；但是对于General Stiffness截面，需要输入横向剪切刚度（见(b)）。
(a)使用等效层压板模量
在该方法中，需要计算等效层压板模量，并与正交各向异性壳单元一起使用。本例中，层压板模量表示等效正交各向异性板的刚度，其行为与真实层压板在面内载荷作用时相同（见3.2.10节）。层压板模量可以用1.15节的方法得到。将单层板材料参数（表4.1）代入式1.91，旋转每个铺层（式1.53），根据式1.102将它们相加（原文add then，应为add them），得到的层压板模量（式1.105）在表4.2中列出。对于本例，使用弯曲模量[1，式6.36]可能会得到更好的结果。
表4.2 等效层压板模量（[(0/90)3]S）
下面的伪代码介绍在Abaqus/CAE中使用图形用户界面（GUI）进行建模、求解和可视化的过程。相应的Ex_4.1.a.cae文件可以在网站[5]获取。结果在表4.3中列出。
# Ex.4.1.a使用等效层压板模量
菜单：File，Set Work Directory [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1]，OK
菜单：File，Save As [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.a.cae]，OK
i. 创建部件
模块：Part
菜单：Part，Create
3D，Deformable，Shell，Planar，Approx size [2000]，Cont
菜单：Add，Line，Rectangle，[-500,-250]，[500,250]
X # 关闭命令，Done
ii. 定义材料、截面，并赋截面给部件
模块：Property
菜单：Material，Create
Name [Material-1]，Mechanical，Elasticity，Elastic
Type：Engineering Constants
[79985, 79985, 16128, 0.044, 0.415, 0.415, 4386, 4458, 4458]，OK
菜单：Section，Create
Name [Section-1]，Shell，Homogeneous，Cont
Shell thickness：Value [10.2]，Material：Material-1，OK
菜单：Assign，Section
# 选取部件，Done，OK
iii. 创建装配
模块：Assembly
菜单：Instance，Create，Independent，OK
iv. 定义分析步
模块：Step
菜单：Step，Create
Procedure type：Liner Perturbation，Buckle，Cont
Number of eigenvalues requested [10]，Vectors/iteration [10]，OK
v. 添加边界条件和载荷
模块：Load
菜单：Load，Create
Step：Step-1，Mechanical，Shell Edge Load，Cont
# 选取x=500和y=250的边，Done，Magnitude [1.0]，OK
菜单：BC，Manager
Create，Step：Initial，Mechanical，Disp/Rota，Cont
# 选取4条边，Done，# 勾选：U3，OK
Create，Step：Initial，Mechanical，Disp/Rota，Cont
# 选取x=-500的边，Done，# 勾选：U1，OK
Create，Step：Initial，Mechanical，Disp/Rota，Cont
# 选取y=-250的边，Done，# 勾选：U2，OK，# 关闭对话框
vi. 对模型划分网格
模块：Mesh
菜单：Seed，Instance，Size：[100]，OK
菜单：Mesh，Controls，Technique：Structured，OK
菜单：Mesh，Element Type，Geometric Order：Quadratic，DOF：5，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes
vii. 求解和可视化结果
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [Ex-4-1-a]，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results
模块：Visualization
菜单：Plot，Deformed Shape # 显示一阶屈曲模态
菜单：Result，Step/Frame，# 选取一个模态，Apply # 可视化
# 特征值在工作区显示，并记录在Ex-4-1-a.dat文件中
(b) 使用A-B-D-H矩阵
在第二种方法中使用A-B-D-H矩阵。为了得到层压板特性参数（A、B、D和H矩阵），将单层板参数（表4.1）代入式3.9。得到的层压板矩阵为：
下面的伪代码介绍如何使用A-B-D-H矩阵修改Ex_4.1.a.cae。相应的Ex_4.1.b.cae文件可以在网站[5]获取。结果在表4.3中列出。
# Ex.4.1.b使用ABDH矩阵
菜单：File，Set Work Directory [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1]，OK
菜单：File，Open [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.a.cae]，OK
菜单：File，Save As [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.b.cae]，OK
i. 定义材料、截面，并赋截面给部件
模块：Property
菜单：Material，Delete，Material-1，Yes
菜单：Section，Delete，Section-1，Yes
菜单：Section，Create，Shell，General Shell Stiffness，Cont
标签页：Stiffness
ii. 定义分析步
模块：Step
菜单：Step，Edit，Step-1
Maximum number of interactions [70]，OK
# 如果该量使用较小的数值，求解该问题时可能会显示以下错误信息
#TOO MANY ITERATIONS NEEDED TO SOLVE THE EIGENVALUE PROBLEM
iii. 求解和可视化结果
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [Ex-4-1-b]，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results
# 与(a)部分相同操作，可视化结果
(c) 使用层压板铺层顺序（LSS）
在第三种方法中，需要输入层压板铺层顺序和单层板材料参数（表4.1）。下面的伪代码介绍如何修改Ex_4.1.a.cae，以求解本问题。相应的Ex_4.1.c.cae文件可以在网站[5]获取。结果在表4.3中列出。
# Ex_4.1.c使用层压板铺层顺序
菜单：File，Set Work Directory [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1]，OK
菜单：File，Open [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.a.cae]，OK
菜单：File，Save As [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.c.cae]，OK
i. 定义材料、截面，并赋截面给部件
模块：Property
菜单：Material，Delete，Material-1，Yes
菜单：Section，Delete，Section-1，Yes
菜单：Material，Create
Name [Material-1]，Mechanical，Elasticity，Elastic，Type：Lamina
[1.4588e5, 1.3312e4, 2.63e-1, 4.386e3, 4.386e3, 4.529e3]，OK
菜单：Section，Create
Shell，Composite，Cont
# 勾选：Symmetric layers
# 右单击：Insert Row After，# 直到有6行
Material：Material-1 # 所有铺层，Thickness [0.85]
Orientation Angle：[0,90,0,90,0,90]，Integration Points [3]
Ply Name [k1, k2, k3, k4, k5, k6]，OK
ii. 定义分析步
模块：Step
菜单：Step，Edit，Step-1
Maximum number of interactions [70]
# 如果该量使用较小的数值，求解该问题时可能会显示以下错误信息
# TOO MANY ITERATIONS NEEDED TO SOLVE THE EIGENVALUE PROBLEM
iii. 求解和可视化结果
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [Ex-4-1-c]，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results
# 与(a)部分相同操作，可视化结果
表4.3 分叉点载荷[N/mm]
4.1.1 瑕疵灵敏度
为了说明瑕疵在屈曲中的影响，考虑图4.1中的实线。对于低于分叉点载荷PCR的所有载荷，横向挠度为0，也就是在完美结构的主路径上。主路径与此路径相交于分叉点，该点处载荷为PCR。受压梁的后临界行为是中性和稍微稳定的。中性是指梁可以向左或向右偏。稳定的后临界路径意味着梁可以承受稍微高一点的载荷，即使已经发生屈曲。对于梁，这个硬化行为很小，不能靠它承受超过PCR的载荷。事实上，梁可以横向大变形，可以发生材料失效和系统坍塌。与梁不同，简支板在次路径上有显著的硬化。
4.1.2 非对称分叉
考虑图4.2所示的框架。每段使用一个单元进行特征值分析[24，5.9节和7.8节]，得到分叉载荷如下
但是没有给出临界状态的性质：临界状态是否稳定，后临界路径是否对称，等。后面我们将看到该框架有一个非对称、不稳定的后临界路径，如同图4.2中所表示。即，后临界路径有一个斜率
在图4.2的力-转动图中，θ为加载点接头的转动。
图4.2 二梁框架
总之，特征值分析的问题是不能提供关于后临界路径性质的指示。如果后临界路径是硬化和对称的，如图4.1，则真实结构的承载能力可能接近分叉载荷。但是如果后临界路径是不稳定和/或非对称的，如图4.2， 或者如果有模态相互作用[20，25-29]，则真实结构的承载能力可能远小于分叉载荷。为了使用特征值分析提供的信息，有必要理解和量化后屈曲行为。
4.1.3 后临界路径
探究后屈曲行为的一种方法是对瑕疵结构继续进行分析，见4.2节。这样是完美可行的，但是复杂且耗时，将会在本章后面看到。可以使用软件预测后临界路径性质，包括对称、曲率、模态相互作用，得到比较有利的解。如果次路径是稳定和对称的，则分叉载荷可以很好地评估结构承载能力。后临界路径的曲率很好地指出了后屈曲硬化，在一定程度上可以预测后屈曲变形。
由分叉（式4.1）出现的后临界路径的分叉载荷、斜率和曲率可以使用BMI3[26-28]计算，可从[5]获取。后屈曲行为由下式表示
式中，s为摄动参数，作为一个节点位移的一个分量，Λ(cr)为后临界路径的分叉乘数，Λ(1)为后临界路径的斜率，Λ(2)为后临界路径的曲率（[25，式43]，也可见[20，26-29]）。当斜率为0时，后临界路径是对称的。因此屈曲是中性的，真实结构可能向任意一侧屈曲。没有方法预测屈曲方向，当然，除非知道真实结构（原文real plate）上瑕疵的形状，这种情况很少。正的曲率表示在后屈曲过程中硬化，负的曲率表示刚度降低。
例4.2 考虑例4.1的简支板。计算后临界路径的分叉乘数Λ(cr)，临界载荷Ncr，斜率Λ(1)和曲率Λ(2)。估计最大横向变形等于板厚时的载荷。对于摄动参数，使用最小屈曲载荷的屈曲模态的最大位移分量。
解4.2 本例中，使用程序BMI3[5]计算后临界路径的分叉乘数Λ(cr)，斜率Λ(1)和曲率Λ(2)。软件接口描述及操作流程参考附录C。因为BMI3需要A-B-D-H矩阵，可以使用求解例4.1(b)过程中生成的.cae文件（可从[5]中获取Ex_4.1.b.cae），但是需要一些修改以满足当前BMI3的限制，操作过程如下。
i. 打开Ex_4.1.b.cae并保存为Ex_4.2.cae
菜单：File，Set Work Directory [C:\SIMULIA\user\Ex_4.2]，OK
菜单：File，Open [C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.b.cae]，OK
菜单：File，Save As [C:\SIMULIA\user\Ex_4.2\Ex_4.2.cae]，OK
ii. 网格处理
删除网格。重新布种子并划分网格，网格数为2×4，单元类型为S8R5。
模块：Mesh
对象：Assembly
菜单：Mesh，Delete Instance Mesh，Yes
菜单：Seed，Edges
#选取水平边，Done
Method：By Number，Number of Elements [4]，OK
# 选取竖直边，Done
Method：By Number，Number of Elements [2]，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes
iii. BMI3只接受集中力。因此，边上的分布力必须替换为一组集中力。因为S8R5单元为二阶单元，边上的均匀（常量）分布载荷等效为3个节点上的3个集中载荷。对于单位边载荷（
Nn=1.0N/mm），单元角上的节点承受1/6的载荷，边中间的节点承受4/6的载荷。两个单元的公共节点承受1/3的载荷。为了将分布力转换为集中力，首先要创建节点集 合以便后面加载集中力。所需的6个集 合在图4.3中Set Manager对话框中给出。集 合创建方法如下：
模块：Load
菜单：Tools，Set，Manager
Create，Name [x-corner]，Type：Node，Cont
# 选取x=500的边上的2个角点，Done
图4.3 划分网格后定义的节点集 合（用于在节点施加集中载荷）
iv. 使用相同操作，创建其他集 合。集 合x-e-corner包含x=500mm的边上两个单元相连的节点。集 合x-e-mid包含x=500mm的边上所有单元边的中间节点。类似地，创建在y=250mm的边上的其他节点集 合。
v. 删除所有的边载荷，并替换为集中力，如下：
模块：Load
菜单：Load，Manager
# 删除已有载荷
Create，Step：Step-1，Mechanical，Concentrated force，Cont
Sets，x-corner，Cont，CF1 [-41.67]，OK
Create，Step：Step-1，Mechanical，Concentrated force，Cont
Sets，x-e-corner，Cont，CF1 [-83.33]，OK
Create，Step：Step-1，Mechanical，Concentrated force，Cont
Sets，x-e-mid，Cont，CF1 [-166.67]，OK
# 类似地，在y=250的边添加压缩载荷
# 关闭Load Manager
vi. 运行模型以验证得到正确的结果。注意，特征值与例4.1得到略有不同，这是由于网格比较粗造成的。
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [Job-1]，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results
# 用例4.1介绍的方法可视化模态形状
vii. 复 制筛选程序inp2bmi3.exe（在[5]可得）到工作路径。双击运行该程序。该程序使用Job-1.inp创建ABQ.inp、BMI3.inp和BMI3.dat。ABQ.inp是筛选过的副本，可以被Abaqus执行。
viii. 创建一个新的分析作业运行ABQ.inp，以验证筛选过程正常。注意，与前面创建一个分析作业运行模型不同，本例创建分析作业运行一个input文件。操作如下：
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [ABQ]，Source：Input file # 不是模型
Select，ABQ.inp，OK，Cont，OK
Submit，# 当完成后，Results
ix. 复 制程序bmi3.exe（在[5]可得）到工作路径，双击执行该程序。记录下列结果，从显示输出或（原文of，应为or）从文件BMI3.out：
根据默认，BMI3选取最小屈曲载荷的屈曲模态的最大位移分量作为摄动参数，但是可以通过编辑BMI3.dat文件进行修改。对于本例，默认摄动对应一阶屈曲模态，板中面节点，挠曲方向U3垂直于板表面。结果对网格细化非常敏感，尤其是Λ(2)。
因为BMI3使用相反的载荷求解该问题（见附录C），那么式4.7变为
在该情况下，摄动方向为s = -δ，所以
因为斜率Λ(1)（原文Λ(1)）为0，所以后临界路径是对称的。当横向挠度（s）等于厚度（s = Th = 10.2mm）时，后屈曲载荷等于221N/mm，如图4.4所示。
图4.4 完美板的平衡路径
4.2 连续方法
聚合物基体复合材料（PMC）的失效应变很高。AS4/3501的失效应变为1.29%，S-玻璃/环氧2.9%，钢0.2%，铝合金0.4%。这意味着屈曲变形会进入后屈曲状态，如果材料保持弹性。然而，必须特别注意，没有基体主导的退化模式发生，否则材料将不再保持弹性（见第8、9章）。特征值屈曲分析相对比较简单，只要材料保持弹性，因为弹性稳定性的经典理论可以使用，如同4.1节所讲。材料非线性是促使增量分析的一个原因。另一个原因是为了评估瑕疵灵敏结构的屈曲载荷的量级。
在增量分析中，也称为连续分析，载荷逐步增加。在每一步，评估变形及可能的材料特性变化。增量分析必须包含一些类型的瑕疵，在几何、材料或载荷对齐等方面。缺少瑕疵，增量分析将得到线性解，不能揭示分叉或限制点。
连续方法是几何非线性分析的一种形式。系统必须有一个非平凡基本路径，例如非对称铺层的平板受到边载荷作用。
如果系统有一个平凡基本路径，例如对称铺层的平板受到边载荷作用，可以引入瑕疵迫使系统具有非平凡基本路径。几种可行的瑕疵类型包括材料瑕疵（例如，非对称铺层）、几何瑕疵或载荷偏心。
因为很少知道真实的几何瑕疵，所以首选的人造几何瑕疵为具有最低分叉载荷的分叉模式的形式。在大多数情况下，这是真实的；然而，在某些情况下，应该使用与瑕疵相关的对结构破坏性更大的次要模式[30]。同样，如果结构有非对称后屈曲路径，如同图4.2中的二梁例子，必须小心避免使结构沿着硬化路径。
有限元分析程序允许用户修改网格，通过将前一步分叉分析得到的任意模态的形状上的瑕疵添加到完美几何上（见例4.3）。
解4.3 屈曲模态已在例4.1中得到。此处将使用模型Ex_4.1.b.cae。首先，打开Ex_4.1.b.cae（在[5]可得），并保存为Ex_4.3.cae。然后，使用Job Manager对话框写入Job-1.inp文件。求解过程概括如下：
i. 设置工作路径
菜单：File，Set Work Directory，[C:\SIMULIA\user\Ex_4.3]，OK
菜单：File，Open，[C:\SIMULIA\user\Ex_4.1\Ex_4.1.b.cae]，OK
菜单：File，Save As，[C:\SIMULIA\user\Ex_4.3\Ex_4.3.cae]，OK
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name [Job-1]，Cont，OK，Write Input
# input文件Job-1.inp 已在工作路径下创建
ii. 计算和保存前几阶模态形状（位移）。对此，使用Notepad （或其他文本编辑器）打开Job-1.inp。将文件保存为Job-pert.inp。然后，在*Buckle分析步**BOUNDARY CONDITIONS之前添加以下几行：
**Data lines to specify the reference load,
*NODE FILE, GLOBAL=YES, LAST MODE=4
U
**
保存文件。前4阶模态的形状将保存在.fil结果文件中。由于.fil文件为二进制文件，不能使用Notepad打开，该文件只能被Abaqus读取。
iii. 在Abaqus CAE中，创建新的分析作业并提交分析，如下：
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，Name：[Job-pert]，Source：Input file
Input file：Select，[Job-pert.inp]，OK，Cont，OK
Submit
如果执行完成没有报错，则Job-pert.fil应该已在工作路径下创建。因为模态形状是归一化的，在结果文件中的最大位移为1.0。
iv. 设置Riks非线性分析（原文Risk）
使用下面的操作过程，前一步分析得到的位移可以用于更新有限元模型的几何。在本例中，一阶模态的放大系数设为δ1=0.05。模态2和3的参与系数在.inp文件中以注释的形式给出（以双星号**开始的行为注释行）。因此，强加给结构的初始变形等于中心位移为δ1的一阶屈曲模态。使用Notepad 打开Job-1.inp，并保存为Job-riks.inp（原文Job-risk.inp）。然后，将下面3行
*Step, name=Step-1, perturbation
*Buckle
10, , 10, 70
替换为：
**IMPERFECTION, FILE=Job-pert, STEP=n
** n ：step number where the modes were calculated in the previous run
** if there was only a Initial Step followed by a Buckle Step, n=1
*IMPERFECTION, FILE=Job-pert, STEP=1
** Multiple data lines to specify the contributions of each mode
** m, delta_m
** m：mode number
** delta_m ：scale factor for mode m
1,0.05
**2,0.02
**3,0.01
*STEP, NLGEOM
** next 2 lines (2nd one is empty) define increment/stopping criteria
*STATIC, RIKS
接下来的多行用于指定参考载荷，在之前的Job-pert.inp中用过。
**Data lines to specify the reference load,
*NODE FILE, GLOBAL=YES, LAST MODE=4
U
**
确保删除所有与load case=2相关的行，并保存文件。否则，将会得到错误信息。删除的行类似于：
*Boundary, op=NEW, load case=2
_PickedSet5, 3, 3
*Boundary, op=NEW, load case=2
_PickedSet6, 1, 1
*Boundary, op=NEW, load case=2
_PickedSet7, 2, 2
v. 在Abaqus CAE中，创建新的分析作业并提交分析，如下：
模块：Job
菜单：Job，Manager
Create，name：[Job-risk]，Source：Input file
Input file：Select，[Job-risk.inp]，OK，Cont，OK
Submit，# 当完成后，Results
# 完成Riks分析（原文Risk）
模块：Visualization
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape
工具条：Field Output：Primary，U，U3
菜单：Result，Step/Frame，Increment 25，Apply
菜单：Result，Step/Frame，Increment 30，Apply
使用非完美几何的连续方法，得到的连续平衡路径在图4.5中给出。可见连续解最终接近完美结构的次路径，图4.5中虚线所示。对于更小的瑕疵，连续解先与主路径靠得更近，然后靠近次路径。结构的瑕疵越大，与完美结构的行为偏离越大，例如瑕疵δ0=Th/10对应的解。
图4.5 [(0/90)3]S板的平衡路径（δ0=Th/10和δ0=Th/100）
例4.4 计算例3.11中梁的屈曲载荷乘数和一阶模态形状。
解4.4 本例可以通过对Ex_3.11.cae简单修改后求解。将静力分析步重新定义成屈曲分析步。下面的伪代码介绍了一些必需的修改。
i. 打开Ex_3.11.cae并保存为Ex_4.4.cae
菜单：File，Set Work Directory [C:\SIMULIA\user\Ex_4.4]，OK
菜单：File，Open [C:\SIMULIA\user\Ex_3.11\Ex_3.11.cae]，OK
菜单：File，Save As [C:\SIMULIA\user\Ex_4.4\Ex_4.4.cae]，OK
ii. 创建一个屈曲分析步替换例3.11中使用的静力分析步
模块：Step
菜单：Step，Manager
# 选择：Step-1，Delete，Yes
Create，Procedure type：Linear perturbation，Buckle，Cont
Number of eigenvalues requested [1]，OK，# 关闭Step Manager对话框
iii. 添加一个单位载荷。上一步操作删除例3.11的Step-1分析步时，施加在Step-1的载荷也被删除了。
模块：Load
菜单：Load，Create
Step：Step-1，Category：Mechanical，Type：Concentrated force，Cont
# 在工作区选取RP-1，Done，CF3 [-1.0]，OK
iv. 求解模型和可视化结果
模块：Job
菜单：Job，Manager
# 选取已存在的分析作业（Job-1），Delete，Yes
Create，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results
模块：Visualization
菜单：Plot，Deformed Shape
注意在工作区显示的特征值-6.22748E 05。变形应该与图4.6类似。
图4.6 屈曲模态1（例4.4）
练习题
问题4.1 计算图4.2所示的二梁框架的分叉载荷PC，每个梁使用1个二阶梁单元。每个梁的长度L=580mm，截面积A=41mm2，惯性矩I=8.5mm4，高度H=10mm，弹性模量E=200GPa。两个梁刚性连接。
问题4.2 对问题4.1中的二梁框架，增加每个梁的单元数量N，研究分叉载荷PC的收敛性，直到分叉载荷的变化在2%以内。绘制PC-N曲线。
问题4.3 将例4.2的铺层顺序改为[(0/90)6]T并重新计算，铺层变成非对称。不要引入任何瑕疵，仅分析完美系统，即本例中的非对称系统。
问题4.4 使用[(0/90)6]T并重新计算例4.2，其中Nx = 1，Ny = Nxy = 0。不要引入任何瑕疵，仅分析完美系统，即本例中的非对称系统。
问题4.5 使用有限元程序，对边上有分布的轴向压缩载荷的圆柱壳进行分析，对于时，绘制类似图4.5所示的连接解。圆柱的长度L=965mm，中面半径为242mm，铺层顺序为[(0/90)6]S，单层厚度t = 0.127mm。单层板为E-玻璃纤维/环氧，材料参数为E1 = 54GPa，E2 = 18GPa，G12 = 9GPa，v12 = 0.25，v23 = 0.38。
问题4.6 计算问题4.5在时的最大应力失效指数If。材料强度为F1t = 1034MPa，F1c = 1034MPa，F2t = 31MPa，F2c = 138MPa，F6 = 41MPa。（原文F6t ？Or 原文P164-165，F6）
问题4.7 绘制问题4.5中圆柱壳的瑕疵灵敏度，瑕疵范围为(Th/200) < s < Th。
