【FCA-Chp-7】第7章 粘弹性（1）
聚合物基体复合材料（PMC）观察到的蠕变行为激起了我们对粘弹性的兴趣，其中，蠕变行为是粘弹性的一种表现形式。材料依赖于时间的响应可以分类为弹性的、粘性的和粘弹性的。对于突加载荷，并且载荷保持不变，弹性材料将经历瞬态变形。
粘弹性材料兼具弹性和粘性材料行为，但是其响应比仅仅将粘性应变加到弹性应变上更复杂。令H为Heaviside函数，定义如下
但是变形不能瞬间恢复。
图7.1 粘弹性模型：(a) Maxwell，(b) Kelvin，(c) 标准固体，(d) Maxwell-Kelvin
具有不可恢复粘性流的材料，例如式7.2，称为液体，即使流动非常缓慢。以世纪为时间跨度，玻璃是一种液体材料；中世纪教堂窗玻璃的厚度，底部较厚，顶部较薄，因此揭示了在重力强加的载荷作用下在几个世纪内发生了流动。具有完全可恢复粘性变形的材料，例如式7.3，称为固体。我们知道使用固体材料比液体材料更容易进行结构设计。
请注意，在材料力学课程中引入的常见误解，即大多数结构材料是弹性的。只有完美的晶体材料是弹性的。大多数材料是粘弹性的，如果从足够长的时间周期来观察，或者在足够高的温度下观察。换言之，大多数真实材料是粘弹性的。
对于弹性材料，柔度D是模量E的倒数，两者都是常数，它们的关系如下
对于在时域内的粘弹性材料，柔度称为D(t)并且与随时间变化的弛豫E(t)（相似但非如此简单的方式）有关，将会在7.3节介绍。注意，弛豫E(t)代替模量E。为了帮助7.1节中粘弹性模型的展示，下面介绍柔度与弛豫之间关系的简要推导。当柔度D和弛豫E都是时间的函数时，式7.4简单变为
由于D(t)和E(t)都是时间的函数，因此，不可能通过对式7.5进行代数运算得到以其中一个函数明确表示的另一个函数。为了从一个函数得到另一个函数，使用Laplace变换（见7.3节）得到
因为D(s)和E(s)都是s的代数函数，并且没有涉及时间t，可以通过代数运算得到
最后，时域内的弛豫是式7.7的Laplace逆变换，或
类似的，柔度D(t)可以由弛豫E(t)得到，如下
式中，L[ ]表示Laplace变换，L-1[ ]表示Laplace逆变换。
7.1 粘弹性模型
7.1.1 Maxwell模型
那么，柔度为
为了推导Maxwell模型的弛豫，对式712进行Laplace变换（使用表7.1或MATLAB）可得
在时，阻尼器不运动，所以也是材料的初始弹性模量。现在，在Laplace域内的弛豫为
在时域内的弛豫通过Laplace逆变换可得（使用表7.1或MATLAB）如下
注意，在t = τ时，弛豫衰减到初始值的36.8%，因此，τ称为材料的时间常数。
表7.1 部分常用Laplace变换
7.1.2 Kelvin模型
使用式7.8，在Heaviside阶跃函数和Dirac函数的帮助下可以写出弛豫函数如下
符号s为复数；符号Dt、Et、t、E、tau为实数；
Dt=expand((1-exp(-t/tau))/E)
Ds=laplace(Dt)
Es=1/Ds/s^2
Et=ilaplace(Es)
7.1.3 标准线性固体
为了具有初始柔度1/E0，在Kelvin模型上添加一个弹簧（图7.1(c)）。那么，柔度为
并且
为了得到更好的相关性，更多的弹簧-阻尼单元添加到级数中，如下
7.1.4 Maxwell-Kelvin模型
液体材料的粗略假设是Maxwell-Kelvin模型，也称为四参数模型，由图7.1(d)描述。因为Maxwell和Kelvin单元连续放置，柔度可以通过两个模型的柔度相加得到，如下
确定一种材料是液体还是固体的另一种方法是观察它的长期变形。如果变形是无限的，则该材料为液体。如果变形最后停止，则该材料为固体。
7.1.5 指数模型
另一种比较流行的代表聚合物相对短期变形的模型是指数模型
参数A和n由实验数据调整。指数模型的流行是因为它较好地符合聚合物的短时行为，因为符合数据很容易。仅对式7.24两边取对数，然后使用线性回归得到符合的参数。使用式7.9得到的柔度如下
7.1.6 Prony级数
虽然聚合物的短期蠕变和弛豫可以用指数模型较好地描述，随着时间范围变得更长，则需要一个更精确的模型。Prony级数便是这样一个模型，由n个指数衰减组成
Prony级数可以用剪切模量和体积模量（G、k见1.12.5节）写为如下形式
7.1.7 标准非线性固体
如果Prony级数使用足够多的项，则可以适合任何材料行为。如果算术操作更困难，则其他模型对于拟合目的效率更高。例如，标准非线性固体模型
7.1.8 非线性指数模型
到目前为止所描述的模型都表示线性粘弹性材料。在粘弹性的背景下，线性意味着模型中的参数不是应力的函数（见7.2.1节）。这表示在任意固定时间的变形可以随着应力的增加而成比例的增大。如果任何一个参数是应力的函数，则材料是非线性粘弹性的。例如，一个非线性指数模型有以下形式
对式7.32两边取对数，得到有2个变量的线性方程
可以在MATLAB中使用多元线性回归算法进行拟合。
尽管大多数材料不是线性粘弹性的，如果结构工作时的应力范围很窄，则材料可以近似认为是线性粘弹性的。
例7.1 拟合表7.2中的蠕变数据，使用(a) Maxwell模型，(b) 指数模型模型和(c) 标准非线性固体模型（式7.30）。
表7.2 蠕变数据（例7.1）
为了拟合指数模型，将式7.19写为
实验数据和拟合函数在图7.2中给出。
图7.2 粘弹性的匹配：Maxwell模型、指数模型和标准非线性固体模型
7.2 Boltzmann叠加
7.2.1 线性粘弹性材料
如果应用叠加，则粘弹性材料是线性的。即，给定一个应力历史
则应变由下式给出
图7.3 应变的Boltzmann叠加
7.2.2 不老化的粘弹性材料
蠕变柔度是材料对应力的响应，并且从施加应力时开始。如果逐渐变化，由式7.39可得
弛豫是
线性粘弹性材料与时间有关的行为是可传递的，意味着在时间时的行为依赖于材料从t = 0加载开始以来所发生的变化。
解7.2
可以看出，(b)与(a)完全相同，只是发生移动；意味着没有老化。
7.3 对应原理
大多数时候，Laplace变换可以通过解析解得到，只需要使用一个变换表，例如表7.1。对式7.41、式7.42进行Laplace变换得到
将式7.44与式7.45相乘可得
或
对应原理声明：对于弹性材料可得的所有弹性方程在Laplace域内对于线性粘弹性材料有效。该原理是基础，例如，根据纤维和基体特性，使用标准微观力学方法确定聚合物基体复合材料的蠕变和弛豫，如同7.6节所示。
从Laplace域到时域的逆映射
更难计算。部分分式分解[49]是有用的技术，可以将f(s)分解为一些简单的函数，使用解析法可以得到这些简单函数的Laplace逆变换。另一个有用技术是表7.1中定义的卷积定理。同样，极值定理
可以直接在Laplace域内评估材料在时域内初始和最终时刻的响应。另外，Laplace逆变换可以使用[50]或[8，附录D]中的配置法得到数值解。
Carson变换定义如下
在Carson域内，本构方程（式7.41-7.42）变为
在Carson域内的上述方程类似于时域内弹性材料的应力-应变方程。此外，柔度和弛豫的关系变为
7.4 频域
傅里叶（Fourier）变换将时域映射到频域。Fourier变换定义如下
它的逆变换如下
对式7.41-7.42应用Fourier变换可得
并且，
使用标准复变分析可得
7.5 谱表示法
Prony级数（式7.26）对聚合物行为提供了物理解释，将其当作一系列Maxwell模型，每个模型有自己的衰减时间。在极限情况下，真实的聚合物具有无限数量的该模量[51]，所以
