【FCA-Chp-8】第8章 连续介质损伤力学（1）
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在复合材料中可以观察到很多损伤模式，包括基体裂缝、纤维断裂、纤维-基体剥离等。已有大量工作试图量化每种损伤模式，关于载荷、应变、时间、循环次数的损伤演化，以及损伤模式对刚度、剩余寿命的影响等。连续介质损伤力学（CDM）通过损伤对材料中尺度行为（单层板级）的影响来表示所有的失效模式。即，连续介质损伤力学使用连续介质损伤变量来计算单层板和层压板退化的模量。然后，使用强度或断裂力学失效准则检测初始损伤。最后，使用经验的硬化方程预计损伤演化，硬化方程使用附加参数建立，例如对于金属塑性使用硬化指数。在第10章中，使用连续介质损伤力学一种形式表示单层板间界面的退化。
硬化方程需要用非标准实验调整附加的经验参数。因为对模型进行了参数修正，模型的一些缺点可能通过参数拟合而掩盖。根据热力学的观点，损伤变量是公式化的状态变量，并且式不可测量的。这与损伤模型（第9章）的微观力学和金属塑性形成对比，对于金属塑性的状态变量，即裂纹密度和塑性应变是可测量的。从实用观点来看，连续介质损伤力学的主要缺点是需要附加实验确定参数，而不同模型的参数不同。此外，因为状态变量是不可测量的，需要通过刚度的损失来修正模型的附加参数，而刚度损失对损伤可能不是非常敏感[55]。
刚度降低是损伤的一个显著影响，可以用于定义损伤[56]。在8.1节中使用一维模型介绍这些概念。对于一般三维情况的的理论公式化在8.2~8.4节中介绍。
8.1 一维损伤力学
一维损伤力学解的发展包含3个主要实体的定义：1）一个适当的损伤变量，2）一个合适的损伤激活函数，3）一个方便的损伤演化或运行学方程。
8.1.1 损伤变量
上式可以理解为剩余横截面积比，使用初始面积作为基础。值得注意的是，原则上，损伤是一个可测量的参数，通过测量损伤面积、剩余面积，或者更多情况下实际测量初始和剩余模量，可以确定损伤。因此，用热力学的说法，损伤是可测量的状态变量，如同温度是可测量的状态变量，是原子、分子及其他基本粒子的随机运动在宏观尺度上的量化。虽然测量原子和分子的运动是可能的，但极其困难，而使用温度计或其他装置测量温度却非常容易。对于复合材料的损伤同样如此。
图8.1：(a) 未加载材料构型，(b) 含分布损伤的加载的材料构型，(c) 有效构型
1 同样见式8.10。
2 即使考虑应力集中，在代表性体积单元（RVE，见第6章）中，有效应力分布的体积平均仍然是。
将式8.8代入式8.5可得
式中，损伤变量重新定义为
8.1.2 损伤阈值和激活函数
如果热力学的力低于一个阈值时不发生损伤，则由该阈值定义弹性域。当载荷状态在弹性域内，损伤不会增长。当载荷状态达到弹性域的限制时，附加损伤出现。而且，弹性域修正它的尺寸或硬化。两种材料的典型一维响应在图8.2中给出。初始时，弹性域由初始阈值σ<σ0和ε<ε0定义。然而，载荷状态在该域内时，没有损伤出现。当载荷状态高于该阈值时，损伤增大，并且阈值也改变。弹性域可能会硬化或软化。材料硬化时（见图8.2.a）应力阈值增大，材料软化时（见图8.2.b）应力阈值降低。另一方面，对于硬化或软化行为，应变或有效应力阈值总是增大，如图8.2所示。
图8.2：(a)硬化行为和(b)软化行为（在应变达到阈值ε0之前，没有损伤发生，
并且卸载过程中没有损伤发生。）
弹性域可以通过损伤激活函数g（代替g包括公式）来定义，如下
8.1.3 动力学方程
损伤累积率由动力学方程表示。损伤和硬化的演化定义如下
换言之，Kuhn-Tucker条件允许我们区分两种不同的情况：
解8.1 损伤激活函数g定义为
因此，
使用式8.13，动力学方程可以写为
当新损伤出现时，根据相容条件（式8.15）可得
和
式中
8.1.4 动力学方程的统计解释
图8.3 一维随机强度模型
8.1.5 一维随机强度模型
如8.1.3节中所解释，损伤累积率由动力学方程表示。式8.17表示通用动力学方程，一旦采用一个具体的失效概率密度，则式8.17变为特定的动力学方程。
式8.18产生在[60]中推荐的模型，该模型很好表示了哈弗斯骨[65]、受拉混凝土[66]、损伤由纤维拉脱控制的纤维复合材料的损伤行为，以及单向复合材料的横向损伤。
8.1.5.1 损伤激活函数
8.1.5.2 动力学方程
在这种情况下，独立变量是ε，使用式8.19，动力学方程（式8.13）可以简化为
应用Kuhn-Tucker条件和式8.21，相容条件（式8.15）简化为
8.1.5.3 正割本构方程
在本特定情况下，当拉伸载荷出现时，损伤变量是活跃的，并且可以通过对式8.21积分得到，如下
将式8.24代入式8.5，并使用应变等效，得到下面的本构方程。
8.1.5.4 正切本构方程
8.1.5.5 模型识别
初始损伤阈值ε0表示初始损伤的最小应变，并且与F0成比例，如下
因此，临界有效应力为
使用式8.7，临界作用应力为
图8.4 一维随机强度模型3
3 再版，取自Mechanics of Materials, vol. 8, issue 2-3, D. Kracjcinovic, Damage Mechanics, Fig. 2.11, p. 134, copyright (1989)，取得Elsevier的许可。
8.1.6 纤维方向拉伸损伤
如果一个单层板受到纤维方向的拉应力作用，合理的假设是基体仅承受施加载荷的很小一部分，并且预期在加载过程中基体内没有产生损伤。那么，可以通过计算一束纤维的强度来精确预计复合材料单层板的极限拉伸强度。
图8.5 一维随机强度模型
断裂纤维的面积分数来计算，由此得到的结果是一个仅为Weibull形模量的函数。
解8.3
1) 模型识别 根据式8.41并使用可得的实验数据，可以得到σcr如下
2) 模型公式化 按照与8.1.5节中所示的相似过程实现损伤模型，需要下列各项。
损伤激活函数 在本例中，选取有效应力为独立变量。因此，损伤激活函数可以写为
正割本构方程 在本例中，可以使用积分形式的动力学方程（8.1.3节），具体由式8.36给出如下
将式8.45代入式8.5和式8.7，使用应变等效，得到本构方程如下
正切本构方程 正切本构方程可以通过对正割本构方程微分得到，如下
3) 数值算法 一维损伤模型在Abaqus中使用UMAT子程序umat1d83.for实现，子程序可从[5]获取。下面各项描述的过程用于明确评估损伤本构方程4。
4 见8.4.1节，对于那些不能对本构方程求积分的情况。
4) 模型响应 下面的伪代码和用户子程序umat1d83.for（可从[5]获取）用于模拟代表碳纤维单向复合材料的一维杆单元。名义应力-应变响应在图8.6中用实线给出。当σcr=1.5%时，单向复合材料失效，与东丽公司报告中的失效应变较一致。
i. 找到Ex_2.4.cae或者使用例2.6中给出的说明重新建模
菜单：File，Open，[C:\SIMULIA\User\Ex_2.4\Ex_2.4.cae]，OK
菜单：File，Save As，[C:\SIMULIA\User\Ex_8.3\Ex_8.3.cae]，OK
菜单：File，Set Work Directory，[C:\SIMULIA\User\Ex_8.3]，OK
ii. 修改几何
模块：Part
# 在左侧树，展开( ) 以下各项：
# 展开：Model-1，# 展开：Parts (1)
# 展开：Part-1，# 展开：Features，# 展开：Wire-1
# 右单击：Sketch，Edit
# 使用尺寸工具将长度改为[10]
菜单：Add，Dimension
# 选取：Line，# 在线下面创建尺寸，[10]
X # 关闭命令，Done
菜单：Feature，Regenerate
模块：Assembly
菜单：Feature，Regenerate
iii. 删除存在的Material-1，根据用户材料要求的特性和参数，创建新的Material-1。修改截面。
模块：Property
菜单：Material，Manager
# 选择：Material-1，Delete，Yes
Create，Name [Material-1]，General，User Material
Mechanical Constants [203.0E3 8.9 3.92E-33]
# 或右单击Read from File，File：[props.txt]
General，Depvar，Number of state variables [2]，
# SDV1：有效应力，见umat1d83.for
# SDV2：损伤，见umat1d83.for
OK，# 关闭Material Manager对话框
菜单：Section，Edit，Section-1，Cross-sectional area：[1.0]，OK
iv. 删除载荷，添加指定位移
模块：Load
菜单：Load，Delete，Load-1，Yes
菜单：BC，Create
Name [BC-2]，Step：Step-1，Disp/Rota，Cont
# 选取：自由端阶段，Done，# 勾选：U1 [0.25]，OK
Vv. 重新划分网格，划分5个单元
模块：Mesh
# 将装配实例变为"independent"，在左侧树
# 展开：Assembly，# 展开：Instances
# 右单击：Part-1-1，Make Independent
菜单：Seed，Instance，Approximate global size [2]，Apply，OK
菜单：Mesh，Element Type
Element Library：Standard，Geometric Order：Linear
Family：Trus # 确认选择了T2D2，OK
菜单：Mesh，Instance，Yes
菜单：View，Assembly Display Options
标签页：Mesh，# 勾选：Show node labels，OK
# 创建一个集 合，用于输出一些历史变量
菜单：Tools，Set，Create
Name [Set-1]，Type：Element，Cont
# 选取：节点5和6之间的单元，Done
vi. 修改分析步，定义增量过程，使用50步。使用虚拟时间50，因为不是真实时间，所以可以使用任意时间。同样，在输出要求中添加依赖于解的变量（SDV）。
模块：Step
Step：Step-1
# 设置覆盖50单位虚拟时间的增量分析
菜单：Step，Edit，Step-1
标签页：Basic，Time Period [50]
标签页：Incrementation，Type：Fixed，Maximum number of incr. [50]
Increment size [1]，OK
菜单：Output，Field Output Requests，Edit，F-Output-1
# 展开：State/Field/User/Time，# 勾选：SDV，OK
菜单：Output，History Output Requests，Edit，H-Output-1
Domain：Set：Set-1
# 不勾选：所有
# 展开：Stresses，# 展开：S，# 勾选：S11
# 展开：Strains，# 展开：E，# 勾选：E11
# 展开：State/Field/User/Time，# 勾选：SDV，OK
vii. 编辑分析作业，定义用户材料子程序
模块：Job
菜单：Job，Manager
# 选择：Job-1，Edit
标签页：General，User Subroutine，Select，[umat1d83.for]，OK，OK
Submit，# 当完成后，Results
viii. 可视化结果。失效发生在增量步：30，应变，Cauchy应力，有效应力，以及SDV2，即损伤。
模块：Visualization
菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape
菜单：Result，Step/Frame
# 选择：Increment 30 and verify your results
# 关闭Step/Frame对话框
# 绘制应力-应变结果
菜单：Result，History Output
# 选择：E11，Save As [e11]，OK
# 选择：S11，Save As [s11]，OK
# 关闭History Output对话框
菜单：Tools，XYData，Create
Source：Operate on XY data，Cont，Operators：Combine
# 选择：e11，Add to Expr.，# 选择：s11，Add to Expr.
Save As [s11-vs-e11]，OK，Plot Expression
结果一定与图8.6所示的相似。
图8.6 纤维拉伸损伤模型响应
8.1.7 纤维方向压缩损伤
复合材料压缩强度首先由Rosen[72]提出，目前已有很多模型尝试提高对复合材料压缩强度的预测。文献包含纤维屈曲模型[21，25，73，74]、扭折带模型[75]，以及由屈曲引起的扭折带[76]。在纤维屈曲模型中，假设纤维的屈曲引起一个导致材料失效的过程[72]。通过添加初始纤维不直和非线性剪切刚度，对Rosen模型进行了细化[73]。实验证据认为，完美直纤维（Rosen模型）的纤维屈曲是一个瑕疵敏感问题（见4.1.1节）。因此，少量瑕疵（偏斜）引起屈曲载荷大幅降低，从而导致关于Rosen预测的压缩强度减小。每根纤维具有不同的纤维偏斜的值。找到一根偏斜角度为的纤维的概率由高斯分布给出[25，77]。
图8.7 一维随机强度模型
光学技术[13]可以用于测量横截面内每根纤维偏斜的角度。通过使用累积分布函数（CDF）图和概率图，得到的纤维偏斜分布显示为高斯分布[25]。因此，概率密度为
式中，erf(z)是误差函数。
屈曲应力和瑕疵（偏斜）之间的关系在稳定性理论中称为瑕疵敏感曲线。文献中的几个模型可以用于得到这类曲线。与Wang[73]提出的一个模型类似，确定性模型在[21]中提出，但是使用由式8.52给出的剪切响应表征。
聚合物基体复合材料的剪切应力-应变响应可用下式表示[25，26]
完整多项式展与实验数据吻合较好，但这些多项式不是关于原点反对称。这将在稳定性分析中引起人为的非对称分叉[74]。剪切实验数据可以通过多种技术活动，包括±45试样、10°偏轴、轨道剪切、Iosipescu剪切试验法、Arcane试验及扭力试验[79]。非线性剪切应力-应变曲线应该在真实复合材料的压缩试验中测量。
Barbero[21]推导出了平衡应力σeq作为剪应变和偏斜角的函数，如下
式8.54具有最大值，相当于可以施加到复合材料上的最大应力。因此，复合材料的压缩强度可以用下式得到。
式中，4.76和-0.69是两个常数，用于使数值解接近于精确问题[21]，其中，无量纲参数Ba由下式给出。
临近压缩失效之前屈曲的纤维的偏斜角由[21，式23]给出如下。
此外，失效时的剪应变为
8.2 多维损伤和有效空间
一般多维损伤模型公式化的第一步是定义损伤变量，以及有效应力和应变空间，如本节所示。第二步是定义Helmholtz自由能或Gibbs能的形式，并使用它们推导出与状态变量共轭的热力学的力，其中状态变量表示损伤和硬化，如8.3节所示。第三步是推导出控制损伤硬化率的动力学定律，损伤硬化率是损伤势和硬化势的函数，如8.4节所示。
退化和随后材料响应的实验知识用于指导选择代表损伤的变量。根据Kachanov-Rabotnov方法[58,81]，二阶损伤张量可以用于表示正交各向异性纤维增强复合材料的损伤。对于用刚度和强度较大的纤维增强的复合材料，可以用主方向（沿着材料方向(1,2,3)）的二阶张量5精确地表示损伤[82-86]。这是由于损伤的主要模式为微裂纹、纤维断裂、纤维-基体脱粘，所有这些损伤模式够可以概括为平行于或垂直于纤维方向的裂纹。6因此，损伤张量可以写为
5张量用加粗字体或者带索引符号的元素表示。
6严格地讲，损伤是横观各向同性的，因为裂纹在2-3平面内可以沿任意方向。
完整张量也是对称的和正的，因为在损伤演化中，净面积减小必须为正定的[87]。在主坐标系中表示时，两个张量都是对角阵。引入一个称为损伤效应张量的对称的四阶张量M如下
式中，四阶张量C和S分别表示正割刚度张量和柔度张量。将式8.65代入式8.64，可得在损伤构型（图8.1.b）中的应力-应变方程，如下
其中，
在附录B中给出了这些张量的明确形式。已知张量M是对称的，正割刚度和柔度张量也是对称的。
