【FCA-Chp-9】第9章 离散损伤力学（1）
损伤发生及扩展的预测已在第8章中使用连续介质损伤力学（CDM）解决。CDM的替代包括：损伤的微观力学、裂纹张开位移方法、计算微观力学以及协同方法。虽然CDM（第8章）将损伤均质化并以现象学的观点对待损伤，但是替代方法尝试表示损伤的真实几何和特性。
层压复合材料横向基体裂纹的预测已有大量研究，对于[0m/90n]S对称层压板在膜载荷作用下的研究发现，基体裂纹出现在90°单层板（横向单层板）。到其他铺层的层压板的扩展已比较成熟，例如[0/±θ/0]S和[0/θ1/θ2]S，特征裂纹在θ单层板，但是仍限于受面内载荷的对称层压板。
对于有离散裂纹的层压板，损伤微观力学模型（MMD）得到了近似的弹性解[93-114]。解是近似的，因为使用了运动学假设，例如每个单层板沿厚度方向层间剪应力的线性[115]或双线性[116]分布，以及面内位移函数、应力等的特别的空间分布[113]。状态变量是破裂的单层板中的裂纹密度，定义为垂直于裂纹面的单位距离的裂纹数量。因此，状态变量是可测量的。MMD的一个优点是，层压板模量的降低作为裂纹密度的函数，计算时不依赖于附加的参数，而在CDM中需要附加参数。MMD的主要缺点是，大多数可得的解受限于膜载荷作用下仅有一层或两层单层板破裂的对称层压板。在本章中，通过借助于协同方法的概念，提出了多个单层板含裂纹的情况的一般化，在下面解释。
裂纹张开位移（COD）方法[117-124]是基于含孔弹性体理论[125]。COD方法的明显优点是可以计算任意铺层的层压板的刚度，甚至非对称层压铺层顺序，而且层压板受到任意变形（包括弯曲）、在任意一层单层板内有特征基体开裂[126]。
数值解（例如FEA）提供了3D解，而且不需要MMD和COD模型的运动学简化[104,120,123,127-130]。然而，对于每个复合材料铺层顺序、裂纹方向等，有限元解需要一个新的网格和边界条件，这将使有限元解在实际应用时过于烦琐。另一种数值方法是Monte Carlo模拟，该方法考虑了材料中缺陷的概率分布[131-133]。不幸的是，Monte Carlo模拟需要附加参数，通过模型的结果拟合实验损伤演化数据来校正这些参数。但是缺乏这些数据。
协同损伤力学（SDM）方法结合了不同建模策略的元素，例如CDM和MMD[131，132，134-138]，带来了所涉及的每个模型的最好特征。例如，在本章中，层压板刚度降低通过MMD方法计算，含裂纹的多个单层板一般化通过CDM概念实现，但是不同于CDM方法，不需要附加的参数。
9.1 概述
下面将描述如何使用两个材料参数（在模型I和II的中的断裂韧性，GIc、GIIc）预测层压板中的一个纤维增强单向板的破坏行为和横向拉伸失效。考虑相邻铺层的约束影响，导致表观横向拉伸强度F2t为铺层厚度的函数。裂纹初始应变、作为应力（应变）函数的裂纹密度演化直到裂纹饱和、应力重新分配到相邻铺层都可以精确预测。
在横向拉伸和面内剪切作用下的基体开裂的物理学如下。无论生产流程中多么小心，在材料中总会有缺陷。这些缺陷可能是空隙、微裂纹、纤维-基体剥离等，但是它们都可以用代表性尺寸为2a0的典型基体裂纹来表示，如图9.1所示。
图9.1 代表性裂纹几何体
到受到载荷时，基体裂纹沿平行于纤维方向扩展，如图9.2所示，可以看到在±70°的铺层中裂纹与纤维方向对齐。这些平行的裂纹降低了开裂的铺层的刚度，该铺层分担的载荷将由剩余铺层承受。在每个铺层中，由这组平行裂纹引起的损伤可以用裂纹密度表示，用两个相邻裂纹距离的倒数定义λ = 1/(2l)，如图9.3所示。因此，裂纹密度是表示开裂单层板损伤状态所需的唯一状态变量。注意，真实的离散的裂纹通过理论建模，因此命名为离散损伤力学（DDM）。
图9.2 在[0/±704/01/2]S层压板中±70°铺层的基体裂纹（沿0°方向施加0.7%拉伸应变）[139]
图9.3 离散损伤力学中使用的代表性单位胞元
对于横向拉伸和面内剪切损伤的DDM模型的基本要素列出如下：
1 本节中所呈现的分析用于膜载荷作用下的对称层压板。非对称层压板和/或层压板受弯情况下的公式在[126]中给出。
iii. 用于将损伤状态从未损伤状态分离出来的损伤激活函数可以写为
式中，g≤0表示未损伤域。临界能量释放率不容易在文献中找到，但是可以对可得的实验数据拟合，例如，使用[55，140]中阐述的方 法 论。
iv. 损伤阈值包含在g中，并由（不变的）材料特性GIc、GIIc表示。在损伤开始前，λ=0，并且式9.1为损伤起始准则，类似于[141]，但是没有模式相互作用。当λ=0时，使g=0的应变为产生初始裂纹的应变。一旦损伤开始后，由于下面描述的自动硬化，式9.1变为损伤激活函数。
9.2 近似值
大多数实际的层压板是对称的，最有效的利用层压板的方式是将结构设计为主要承受膜载荷[1，第12章]。因此，这里给出的是对称层压板在膜载荷作用下的解。在这种情况下
因为所有裂纹平行于纤维方向，并且在实际设计中避免厚铺层，所以可以假设裂纹贯穿铺层的整个厚度。任何小于铺层厚度的裂纹都不稳定，无论在铺层的厚度方向还是沿纤维方向[1，7.2.1节]。
为了计算由裂纹导致的层压板的刚度折减，使用变量的厚度平均值即可。厚度平均值表示如下
由裂纹引起的位移场的摄动导致面外（层内）剪应力出现。这些应力近似用贯穿铺层i厚度的线性方程表示如下
使用加权平均，从面外剪应变和应力的本构方程，可得剪滞方程[136，附录A]，
反求式9.6，层内应力可以写为用界面处位移表示的形式，如下
系数矩阵H为2(N-1)×2(N-1)形式。
9.3 单层板本构方程
开裂的单层板k的应力-应变定律与完整材料的相同，即，
式中，T-1=[T(-θ)]和T-T=[T(-θ)]T，见[1，式5.35]
9.4 位移场
式中，e是特征值数。通解可以写为以下形式
将上式代入偏微分方程，得到特征值问题
结果是，两个特征值总为0（对应式9.14中的线性项），将这两个特征值当作组中的最后两个，因此，仅有2N-2个独立解。那么，偏微分方程组的通解可以使用2N-2个独立解的线性组合表示如下
9.4.1 ΔT=0的边界条件
(a) 裂纹表面无应力
裂纹表面没有应力
(b)外载荷
平行于裂纹表面方向（纤维方向x1）的载荷由所有铺层承受
在垂直于裂纹表面方向（x2方向），仅由无裂纹（均质）的铺层承受载荷
(c) 均匀位移
对于均质对称层压板，膜载荷在厚度方向产生均匀的位移场，即，所有无裂纹的铺层有相同的位移
式中，r是作为参考的无裂纹铺层。在计算机实现中，铺层1作为参考，除非铺层1有裂纹，此时，铺层2作为参考。
9.4.2 ΔT≠0的边界条件
接下来，考虑热载荷情况，添加一个常数项到边界条件。常数项不影响矩阵[B]，而是从力向量{F}中减去，如下
这样，对于单位热载荷（ΔT=1）计算得到的应变就是对于当前裂纹密度集 合的层压板退化的热膨胀系数（CTE）。
9.5 退化的层压板刚度和热膨胀系数
因为施加的3个应力状态为单位值，对于每一个工况a，b，c，应变（式9.9）的体积平均值表示层压板柔度矩阵的一列
式中，x，y是铺层k（图9.3）的坐标。接下来，在铺层k坐标系下的层压板刚度矩阵为
