张量：弹性力学之数学魔术
导读：上一篇笔者给大家带来了《走近弹性力学物理方程》，本文希望和朋友们聊聊《张量：弹性力学之数学魔术》。很多人都喜欢魔术表演，魔术师可以无中生有、也可以令物品瞬间消失，这总会让人惊叹不已。张量作为描述弹性力学（连续介质力学）的重要数学工具，也有魔术般的神奇：一个简洁的公式，按照一定的规则展开，随下标个数越展越多，形成一系列的公式（无中生有）。相反方向，一系列的方程写成张量形式，又像许多物品突然变成了一个物品，其它瞬间消失。本文将从张量的定义、运算讲起，解释弹性力学方程的张量形式，体味张量作为数学魔术的魅力。小时候，我们最先学习了数量（力学中称标量），只有大小，没有方向，可直接进行四则运算。到了中学，开始学习向量（力学中称矢量），不但有大小，还有方向，向量的运算需要用到平行四边形法则、点乘、叉乘等。数量用以描述质量、温度、体积等量，向量描述的力、速度、动量等量。在弹性力学里还有一类更为复杂的量，被称为张量。如描述一点处应力状态的量就是一种张量。众所周知，定义一点的应力，需要先过该点做一假想截面，然后求该假想截面上的平均应力，当假想截面趋近于该点时（面积趋近于0），平均应力的极限即为该点的应力。但问题是过一点可做无数多个假想截面，截面方向不同，应力的取值就会不同，直接对所有截面上的应力进行描述，几乎是一件不可能的事。为此，力学家巧妙的构造出了任意斜面，如图1所示。考虑斜面及其在坐标面上的投影组成一个四面体模型。可以看出，任意斜面的方向可由它在坐标平面上的投影唯一确定，虽然斜面是任意的，但坐标面是固定的。这样，只需要研究清楚坐标面上的应力分量，就可以利用平衡条件获得任意斜面的应力分量，也就可以确定出该点处任意方向上的应力。
从坐标投影面上看，每个面上均有3个应力分量，因此，一点处的应力状态可以通过如图1所示三个坐标投影面上的9个应力分量来描述的，这9个应力分量写成矩阵的形式，称之为应力矩阵，如
有关张量所需要满足的变换规则，最早来源于黎曼（GeorgFriedrich Bernhard Riemann，1826-1866）对曲线坐标系中微分几何性质的研究。假设有一个n维空间（黎曼称之为流形），设空间任意点的坐标可表示为（x1,x2, …, xn），并以此来定义空间中任意两点之间的距离（几何性质）。由于黎曼所讨论的空间是任意的，所用的坐标系也是曲线的，因此，他认为我们只能局部的了解空间，而无法直接获得空间的整体性质。在这一指导下，他采用微分形式定义了空间无限接近的两点之间的距离（1854年），如图2 Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866
高斯的同事哥廷根学派代表人物
图3 不同坐标系下的矢量
1887-1898年，意大利数学家格雷戈里奥·里奇（Gregorio Ricci-Curbastro，1853-1925）将不变量的形式进行了深入研究，旨在寻求一般性问题有关几何性质和物理性质的不变量形式，并建立张量的一般理论。图4 Gregorio Ricci-Curbastro，1853-1925
有了张量的求和算法，“，”求导，爱因斯坦求和约定，就可以理解用张量描述的弹性力学基本方程。例如平衡方程的张量形式为本文简单介绍了张量的概念，主要目的在于帮助学生看懂利用张量写出来的弹性力学方程，实际上张量理论还有十分广阔的领域，这门学问被称为《张量分析》。它最早来源于微分几何的研究（代表人物高斯、黎曼、里奇等），“张量”（Tensor）一词，由哈密顿（William Rowan Hamilton, 1805-1865）给出。1915年左右，张量分析被用来描述广义相对论，也在此时被人们所熟知。爱因斯坦在写给意大利数学家、物理学家Tullio Levi-Civita（1873-1941）中赞叹这一数学方法：我很欣赏你的计算方法的优雅；骑着真正的数学马穿越这些领域一定很不错，而我们这样的人却不得不费力地步行。张量分析在力学中有着非常重要的地位，但绝不是仅有力学才使用了张量分析，而是在电磁学（电磁张量）、生物环境学（代表生物环境扩散速率的扩散张量）、相对论、量子力学等广泛的学科领域中，均有重要的应用。声明：本文首发力学酒吧，部分图片和内容源自网络，如有不当请联系我们，欢迎分享，禁止私自转载，转载请联系我们。 获赞 9458粉丝 20731文章 3277课程 208
