通过《一线工程师Ansys Workbench工程应用之——初识别应力集中与应力奇异》一文，大家对应力集中与应力奇异有了初步的了解，图惜再次提出几个问题，读者读完此文，一定会有自己的答案。

问题1：什么是应力集中系数？

问题2：如何判断应力集中区域是否满足静载荷下塑形材料的强度要求？

问题3：如何对应力进行线性化处理并分类判定？

问题4：如果使用子模型对应力奇异进行处理？

问题5：如何使用理想弹塑性对应力集中进行分析？

塑性材料材料是指试件拉断时的伸长率＞5%的材料，如钢、铝合金、黄铜等。脆性材料是指试件拉断时的伸长率≤5%的材料，如灰铸铁、玻璃、陶瓷等。

常见塑性材料拉伸时的应力应变曲线如下图，对于没有明显屈服阶段的材料如T10A，一般将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，表示为σ0.2 。

脆性材料无屈服强度，拉断时达到强度极限，应力应变曲线如下图

对于塑形材料，一般使用屈服强度σs作为强度计算基准，而对于脆性材料，一般使用强度极限σb作为强度计算基准。

塑形材料许用强度[σ]=σs/n

塑形材料许用强度[σ]=σb/n

对于安全系数n的取值，机械设计中对于静载荷中的塑性材料可取n=1.2~2.5，对于静载荷中的脆性材料可取n=2.0~3.5，特殊情况可取更高的值安全系数。下表为孙训方第五版《材料力学》中的摘录表。

而在JB4732-95中对塑性材料的静载荷建议取安全系数1.5。

在应力集中的相关书籍中说到：塑性材料因具有屈服阶段，当应力集中处的最大应力max达到屈服极限s时，仅此局部产生塑性变形，只有荷载继续加大，尚未屈服区域的应力才随之增加而相继达到s。因此，塑性材料在静荷载作用下，可以不考虑应力集中的影响。

但是在实践工程中我们需要判断到底多大的集中应力是可以忽略的，而多大的应力又是不能忽略需要重新优化设计的。

在此可借鉴ASME Ⅷ或JB4732-95等压力容器的相关规范，将应力进行线性化分类处理。

压力容器设计规范的发展史，是一部技术进步史。最早起源于美国机械工程师协会ASME Ⅲ《核设施元件建造规则》，该协会于1968年发布了ASME Ⅷ压力容器规范体系。此后30年，各国纷纷参照ASME Ⅷ制定了本国的分析设计规范。

我国石化行业最早于1971年开始应用分析设计规则，在JB4732之前也曾多次应用分析设计方法，校核工程中的某些重要容器。1995年我国颁布了JB4732-95《钢制压力容器分析设计标准》，相关行业在2000年以后大规模实施此标准。

规范中将应力分为了薄膜应力、弯曲应力、峰值应力。其中薄膜应力就是平均应力。在静力学中，我们只关心薄膜应力与弯曲应力，在规范中指出满足以下条件，便可认为强度符合静载荷强度要求：

A：薄膜应力≤1.0[σ]

B：薄膜应力 弯曲应力≤1.5[σ]

而峰值应力可能是疲劳裂纹源，仅在疲劳分析中才有意义，在静力学中无需考虑。

以上是针对塑性材料的静载荷强度判定，而对于脆性材料，只要集中处的应力超过了强度极限，便会产生裂纹，便是不合格。

实例1 Q235材料的带孔矩形板长宽高尺寸分别为100x50x5，孔径5mm，一端固定一端施加150MPa的拉力，许用强度170MPa，分析强度是否满足要求。

Step1 建模。

新建静态结构算例，本例模型可使用1/4平面模型进行分析，在DM中建立如下平面模型。

在Mechanical中将模型设置为2D分析、平面应力，厚度设置为5mm。

Step2 分析前设置。

（2）网格划分，对模型进行网格划分，总体网格尺寸4mm。一般在有曲率处，要得到较精确的解，每个网格的跨度角不超过10度，此处1/4圆弧跨度90度，需要至少划分9份网格，由于是应力集中处，图惜建议按5度跨度角划分，即划分为18份网格。划分后如下图。

（3）边界条件设置，面的右边施加150MPa的X方向的拉力。

Step3 计算与后处理。

（1）结果初步判断。

X方向的法向应力如下

下图为材料力学对带孔矩形板的解析解。可以看到在X方向，最大应力出现在孔洞边缘，为无孔截面应力的3倍。而本例通过WB计算集中应力为152Mpa，说明计算较为准确。

（2）应力线性化处理与分类

通过以上的集中应力452.8MPa的结果，很多工程师会直接给出不合格的结论，并通过加厚板材等方法使集中应力下降，其实这不是优化的设计方法。在此借鉴ASME或JB4732等压力容器的相关规范进行处理。

首先明确我们关心的截面，由于最大应力出现在X方向的孔边，所以我们关心的是A处的截面而不是B处的截面。

基于A边添加一条路径：右击Model——插入——构造元素——路径，通过两点创建路径，坐标都选择全局坐标系。两点可以通过选择点创建，而可以通过输入坐标创建。将路径重命名为A边。

添加路径上的线性应力。由于我们关心的是X方向的应力，所以此处添加X方向的路径上的线性应力结果：右击求解——插入——线性化应力——法向。

在属性中设置路径为“A边”，应力方向为X方向。

在结果中将自动显示薄膜应力、弯曲应力等值，忽略峰值应力和总应力，我们只看薄膜应力与薄膜 弯曲应力。

由上图可知，最大薄膜应力为166.5MPa<170MPa，薄膜 完全应力最大为204.4MPa<1.5[σ]=255Mpa，所以我们可以认为此零件满足此工况的静载荷强度要求。

本例我们采用了X方向的法向应力作为校核对象，读者当然也可以使用冯米斯等效应力作为校核对象。

注意：本例也可计算应力集中系数，应力集中系数指应力集中截面的最大应力与平均应力的比值，即

它反应了应力集中程度，是一个大于1的数。截面尺寸变化越急剧，角越大，孔越小，应力集中程度就越严重，因此，结构上应尽量避免带尖角的孔和槽，而且圆弧半径尽量大一些。

本例中，A截面平均（薄膜）应力为166.5MPa，最大总应力为452.8MPa，则应力集中系数K=452.8/166.5=2.72，与解析解相近。

实例2 Q235材料的阶梯轴，大轴直径50长20，小轴直接30长50，台阶凹角处圆角R3，许用应力170MPa。固定大轴端面，对小轴端面施加10000N向小的力，估算强度是否满足要求。

Step1 建模（略）。

Step2 分析前设置。

按默认网格划分，本例网格设置为3mm，圆角处网格设置为0.5mm。

边界条件如下。

Step3 计算与后处理。

查看圆角处的集中应力，等效应力图如下

红**域完整覆盖了2层单元，说明无需再加密。

分析最危险截面为台阶处圆角尾端截面，应力在竖直方向上分布不均。制作此截面的竖直方向通过圆心的路径。

路径上的线性等效应力如下：

截面平均应力为27.24MPa≤1.0[σ]，薄膜 弯曲应力最大为137MPa≤1.5[σ]，满足静载荷强度要求。

此截面应力集中系数K=253.1/27.24=9.3。

对于应力奇异，也可以通过线性化应力分类方法进行强度估算。此时截面的最大峰值应力与最大总应力是不准确的，不能作为判据。

实例3 Q235材料的直角L形板，竖边长50，横边长35，宽20，厚10，许用应力170Mpa，固定上端面，对右端面施加2000N向下的力，分析强度是否满足要求。

Step1 建模（略）。

Step2 分析前设置。

按默认网格划分，注意厚度方向使用至少3层网格。本例网格设置为3mm。

边界条件如下。

Step3 计算与后处理。

分析最危险截面，可以制作如下两种路径，分别重命名未路径1和路径2。路径均在宽度方向的中心面。

添加这两个截面的线性化等效应力，路径1与路径2的线性应力如下图。

可见薄膜应力均小于170MPa，薄膜 弯曲应力均小于255MPa。估算结构满足静载荷强度要求。

注意：使用线性化应力分类方法处理应力奇异需要谨慎，因为随着网格细化，薄膜应力与弯曲应力都会有所变化，而且与解析解也有一定出入，所以只能作为估算值，不能作为最终值。

在结构计算中，若计算结果显示出应力奇异现象，但实际工程中修改整个模型重新计算会增加很多工作量，我们只想修改局部特征并计算此局部，Ansys Workbench提供了子模型处理技术。

子模型技术基于圣维南原理，采用的切割边界法就是把子模型从较粗糙的网格模型中切分出来，整个模型的切割边界即为子模型的边界条件。子模型必须要求切割边界远离应力集中区域。

实例4 在上文实例3中，L形板在直角处出现了应力奇异，本例使用子模型将直角处修改为R3圆角，进行局部修改与计算。

Step1 子模型项目建立。

点击实例3项目的下三角形——**，**出一个新算例（可重命名）。

使用DM修改副本的模型，设置直角处的圆角。切割边界应远离应力集中的圆角区域。DM修改时不能对模型进行重命名等操作，否则可能无法识别子模型。

Step2 分析前设置。

（1）网格设置。经过以上设置，进入子模型算例的Mechanical中，设置圆弧处网格≥9份。

（2）边界条件设置，子模型的边界条件是从上一级继承而来的，无需单独设置，所以此处删除所有边界条件。

 继承边界条件设置：回到WB主页面，将上一级项目的第6栏“求解”拖入子模型项目的第5栏“设置中”，便完成了边界条件的继承关系。

再次进入子项目的Mechanical，发现特征树中的边界条件设置中多了“子模型”，右击它——插入——切割边界约束。在属性中选择上切割面。

同样设置，插入右侧和切割面的约束。

Step3 计算与后处理。

插入等效应力结果如下图。默认的应力红**域完整覆盖了2层单元，可以认为网格细化合理，计算精度满足要求。

可以看到最大等效应力为361.5MPa，此处是应力集中处，读者可以使用线性化应力分类方法评定此处强度是否满足要求。

在路径1~3处的线性等效应力分别如下列图。可见截面2处的等效应力是最大的。但是平均应力与薄膜 完全应力均满足静载荷强度要求。

注意：由于子模型技术基于圣维南原理，所以难点在于确定切割边界，如果切割区域过小，没有远离应力集中区域会使计算结果不准确，如果切割区域过大则又失去了子模型简化的意义。所以工程师应当谨慎使用子模型技术，如果使用子模型，也有必要对全模型进行验证。

在2002年之后修订的ASME Ⅷ中，引入了弹塑性分析方法，ASME QME-1-2002也全面引入了弹塑性分析方法。

我国的新一代规格正在修订中，将在不远的将来颁布。

弹塑性分析方法不需要把应力线性化与分类处理，能给出唯一的判定结果。

弹塑性分析常用极限载荷方法，假设材料为理想弹塑性材料，通过非线性分析得出结构能承受的极限载荷。

理想弹塑性模型的应力应变曲线如下图，当应力达到屈服强度时，将不再增加，而应变将无限增加，而屈服强度对应的载荷即为极限载荷。

在WB中，可以设置材料为双向性各向同性强化，然后将切线模量设置为0，即完成了理想弹塑性材料的设置。在极限载荷分析时，由于要突破材料的屈服强度，所以计算是非线性的，而且结果不收敛，我们只需要读取倒数第二步的数据，其值便是极限载荷。

实例5 对实例1进行理想弹塑性分析，求处极限拉力？安全系数取1.4，求安全拉力？

Step1 建模。此处直接**案例1的算例。

Step2  材料属性设置。

进入工程数据中，新建材料取名为Q235理想弹塑性。添加塑形——双线性各向同性强化。设置杨氏模量2e5MPa，设置泊松比0.3，屈服强度235MPa，切线模量0。

Step3 分析前设置。

（1）对称，网格等都继承算例1中的设置，无需修改（详情查看实例1）。

（2）边界条件设置。

此处可以先预估极限载荷，板的截面积为A=50x5=250mm²，极限载荷Fs=A*σs=58750N，此处取比极限载荷稍大的值60000N，让计算结果突破屈服点。由于采用了对称模型，载荷力也取一半即30000N。对于不好估算的模型，读者可以先取一个值进行计算，通过计算结果来估算。

对于非线性计算，需要分子步，本来设置初始子步，最小子步，最大子步均为100。设置输出控制——存储结果在=指定的循环率，表示每个子步都存储结果数据。

设置子步时需要注意，最小子步≤初始子步≤最大子步。初始子步表示第一子步将从哪里开始，比如本例初始子步为100，表示第一子步载荷为30000N/100=300N。最小子步与最大子步控制了计算子步的总数量：最小子步≤计算子步的总数量≤最大子步。

Step3 计算与后处理。

添加等效应力结果，计算后程序将报错，这是因为应力突破屈服点后出现了应变无穷大不收敛情况。我们需要读取等效应力的倒数第二步结果，时间参数显示0.87834，此数据便是极限载荷的百分比参数，对称模型的极限载荷Fs=0.87834*30000N=26350N。（注意全模型极限载荷为2Fs）

右击此行——创建结果，便会在特征树中创建此子步的等效应力的结果，右击——评估所有结果，便可以看到达到此子步的载荷时的应力云图，零件已经处于屈服极限载荷临界值了。

如果安全系数取1.4，那么对称模型安全载荷为Fa=26350/1.4=18820N。（注意全模型安全载荷为2Fa）

写在最后，本文的方法与理论大部分是从张强教授和周炬教授处习得，在此致敬两位老师。由于图惜的水平不足，难免会在上文出现很多纰漏错误，恳请指正批评。