跟着Comsol学习电磁学-静电场

平行板电容器之间的电位云图

之前我曾在直播以及多个地方提到过，在Comsol软件中，所有的物理场都被实现在一个统一的用户界面下。因此当你掌握了Comsol的基础软件操作以后，它很适合用来学习其他物理场。

尤其是，Comsol官方还提供了图文并茂的多物理场仿真百科。

口说无凭，这篇文章仍然是一篇学习笔记。我们这就来跟着Comsol的多物理场仿真百科和案例库，一起入门学习一下电磁学。

我知道我很菜，我是个外行，电磁学有正经的大学课程来教。毕竟我的本行是学固体力学的。我这么菜肯定难免有写错的地方，所以欢迎指出我的错误。但如果感觉不小心被我蠢到了……那只好烦请读者多多担待。

控制方程和场变量

对于一个陌生的物理场，首先要了解的是它最主要的场变量有哪些，以及这些变量之间有啥关系，也就是控制方程。

虽然我们目前还完全看不懂，但，先跟着Comsol的百科，把这些控制方程列出来：

麦克斯韦方程组的微分形式

这老些字母我们一个都不认识。但不管怎么样，我们知道倒三角符号 ∇ （不知道字库里有没有它），这东西读作 nabla，可以简单理解为求偏导的操作。跟nabla做点乘和叉乘，分别代表散度和旋度。（高等数学里学过的，还记得吗？是不是感觉都还给老师了？）等式右边有两个对时间的偏导，所以……这四个方程，就分别描述了 H、E、D、B这四个物理量，随空间和时间的变化规律。

这四个物理量分别指什么呢？

哦。好的。只是用一组陌生的汉字给这些陌生的字母起了名字而已。我们现在仍然不能确切地知道它们各自都是什么。从名字大概能看出来，电场E、电位移场D两个变量和电有关，磁场H、磁通量B两个变量和磁有关。

电磁学的各种特殊情况

在实际应用中，我们很少需要考虑可能发生的所有电磁现象。相反，我们往往是通过分析各种特殊情况来获取对电磁学更实际的理解，其中包括静电、恒定电流、静磁、准静态交流电、电感现象、微波工程和光学。

Comsol电磁学简介

很有道理，接下来我们应该从这么几种特殊情况入手，来慢慢理解电磁学的物理现象。

所以，主要有哪几种特殊情况呢？

XMind制图。不用幕布是因为需要右边那个箭头和括号。

信息来自Comsol多物理场仿真百科。

静电学-平行板电容器

直接看静电学的方程看不太懂，我们就结合着仿真案例来看。

首先，Comsol关于电磁学的物理场，在AC/DC模块下。和上面思维导图一样，有电场电流、磁场、电磁场、电磁热、电磁力等分类。

在案例库中可以找到最简单的capacitor_dc案例。打开跟着这个案例，了解一下静电场仿真分析的相关知识。

首先，它的 几何模型 是几个圆柱体。上下两个圆形平板组成电容器，外面一圈代表整个空间。图中隐藏了几个面，以便看清内部结构：

材料部分，其他区域为空气，两个平行板之间为玻璃Glass。是什么材料不重要，重要的是看看需要什么材料参数。

可以看到，只有一个 相对介电常数，是有效材料参数。换句话说，做静电场分析，材料本构只需要这样一个常数。

物理场，这里用的是静电，Electrostatics。它的因变量是电势，V。

好，先不往下看了。到这里，我们来学习一下 静电学的控制方程。它的因变量为什么是电势V，以及它为什么需要相对介电常数作为材料参数。

静电学-控制方程

自由空间中的静电

空间中的电场，是一个矢量场。电场E是加粗的矢量，是空间坐标的函数。

自由空间中的电荷密度为 rho，它与电场的关系式为：

注意，这里面左侧的电场E是一个矢量场。\nabla算子对矢量做点乘，是求矢量的散度，将得到一个标量场。所以等式右侧是标量。

分子 \rho 是电荷密度，分母 \epsilon_0 就是介电常数了。但这个还不是上面材料参数里面的相对介电系数，它是一个自然界的物理学常数，叫自由空间的介电常数。

只有这样其实还不够，但我们还能隐约记得大学物理课上曾讲过，电场是一个无旋场：

根据旋度的定义，电场无旋意味着绕电场内任何一个闭合路径走一圈，电场向量在闭合路径上的环路积分都为零。换句话说，一个（微小到不足以影响电场的点电荷）从空间内的一个点出发，随便走一圈回到起点，电场对它做的功都为零。

既然这样，无旋场就可以定义一个标量作为电势。（负号是传统约定）

（其实就是说，所有的无旋场都可以这样定义一个标量势。其实重力场也可以这么定义重力势，只不过在地表，单纯向下的重力场太稀松平常了）

平行板电容器案例-画出的电场E矢量图

对应截面上的电势V。因为是标量，所以能画出云图。

二维绘图组，还可以搞个等值线。

两个式子结合来看，因为电场无旋，所以对于所有标量形式的电势 场，它的梯度肯定也是无旋的。（废话）

所以，我们知道，只需要求解一个标量形式的电势 场变量，就能得到整个区域内的电场分布。整个问题的控制方程就只需要：

现在搞清楚了矢量场 电场E和标量场 电势场V，但还没搞清材料本构关系里的那个相对介电系数是什么。上面式子里的 \epsilon_0 它毕竟是物理学常数，不是随材料变化的。

电介质材料中的静电

Comsol百科里，写了这样一段话：

总之，就是真空中的电场和一些材料中的电场分布不太一样。比如空气就是一种电介质，玻璃又是另一种电介质 对吧。为了描述电介质中的电场分布，还得引入两个新的场变量。一个矢量场 极化矢量P，一个标量场 极化电荷密度 \rho_p。

先别忙着记笔记，这俩变量太麻烦了，一会儿就把它们干掉。

诶，这又是E又是P的，太麻烦。我们把它定义成一个新的基本量吧。就叫它电位移场 D。

这样，静电方程就简洁了：

进一步，假设线性电介质材料（类比固体力学中的线弹性材料），这是静电学中最简单的本构关系，D和E之间差一个相对介电常数。

从而有：

这就是我们在Comsol界面上看到的 相对介电常数 在控制方程里的作用。它确实出现在本构关系里。

放大来张特写。

平行板电容器案例-边界条件与结果

刚才我们简单讲过了这个案例设置的几何与材料。它的边界条件同样很简单：外表面零电荷条件。两块平行板，上侧板电势（电压）为1V，下侧板接地，电压为零。

这样就可以了。稳态求解器，没啥可改的。求解结束就可以画云图啦。

红色是电场E的矢量图，蓝色是电位移场D的矢量图。

相对介电常数乘上去还是很不一样的哈~