动量与动能，从茹科夫斯基凳谈起
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。
茹科夫斯基凳是理论力学课程的一种实验装置，其名称来源于原苏联理论力学教材[1]。茹科夫斯基凳是一种可绕垂直轴自由旋转的转台。站立在转台上的人改变手握哑铃的双臂位置，使转台和人所组成系统的惯性矩发生变化（图1）。沿垂直轴的重力不构成绕转轴的力矩。如阻尼力矩也忽略不计，则绕转轴的外力矩为零，系统的动量矩守恒。演示过程中利用双臂的不同位置以改变惯性矩J。动量矩L 为常值时，角速度ω 与惯性矩J 成反比：
图1表示握哑铃人的3种姿势：(a) 双臂平举，(b) 双臂收缩至胸前，(c) 双臂下垂。当状态 (a) 转变为状态 (b) 或 (c)，即双臂平举变为双臂收缩或下垂时，惯性矩J 减小，转速ω 升高。反之，如状态 (b) 或 (c) 转变为状态 (a)，即双臂收缩或下垂变为双臂平举时，惯性矩增大，转速降低。类似现象已成为芭蕾舞或冰上舞台上常见的经典舞蹈动作。
茹科夫斯基凳在改变转速过程中其能量也在发生变化。利用刚体的动能公式T=Jω²/2，将上式中的角速度ω 代入，化作
因此，在动量矩L 守恒条件下，当惯性矩J 减小使角速度增大时，动能也随之增大，或与此相反。根据动能定理，质点系动能的变化是外力和内力做功的共同结果。握哑铃人在改变姿态时，外力来自哑铃的重力，内力来自双手对哑铃的握力。其中重力功Wg 的正负号很容易确定，哑铃向下运动时作正功，向上运动时作负功。内力功Wi 则必须根据握力和运动方向是一致还是相反来作出判断。外力和内力的总功为二者之和，W=Wg Wi。其正负号决定了能量是增大还是减小。具体分析以下两种情况：
情况一：惯性矩减小，输入功为正值，角速度和动能均增大。
状态 (a) 转变为状态 (b)，即双臂平举变为双臂收缩，重力功Wg=0。为克服离心力使哑铃产生向内运动的加速度，握力与运动的方向一致，内力功Wi>0。总功W>0。
状态 (a) 转变为状态 (c)，即双臂平举变为双臂下垂，重力功Wg> 0，为使双臂产生下垂的加速度，握力必小于重力，所作的负功小于重力的正功。双臂为克服离心力向内收缩所作的功为正功。仍满足总功W>0。
情况二：惯性矩增大，输入功为负值，角速度和动能均减小。
状态 (b) 转变为状态 (a)，即双臂收缩变为双臂平举，重力功Wg=0，克服离心力的握力和运动方向相反，但产生向外运动加速度的握力和运动方向一致。若后者小于前者，则总功W<0。
状态 (c) 转变为状态 (a)，即双臂下垂转变为双臂平举，重力功Wg<0，向上提升的握力必须超过重力，才能产生向上的加速度，其正功必大于重力的负功。但为克服离心力向外运动的握力作负功，仍能满足总功W<0。
上述茹科夫斯基凳实验表明，质点系的动量与动能是两个不同的概念。动量或动量矩守恒，动能很可能不守恒。动量的变化只能由外力或外力矩引起，内力不能改变动量或动量矩。动能的变化来自外力或内力所做的功。就改变系统动能的效果而言，外力与内力并无区别。
1958年，美国首个卫星探险者一号 (Explorer-1) 的倾覆事件是动量矩守恒，内力导致动能不守恒的又一例子。探险者一号是一个带有4根挠性天线绕极轴自旋的细长轴对称体（图2）。按照经典刚体动力学的分析结论，不计太空中极其微弱的干扰力矩，刚体绕质心的动量矩和动能均守恒。其绕最小或最大惯性矩主轴的转动都应稳定。但探险者一号升空后，旋转轴逐渐翻转90°，最终转变为绕赤道轴旋转而失效。如何解释这一违背经典力学结论的现象，成为当时力学界的热门话题。最后讨论清楚，虽然不存在外力功，但4根挠性天线变形产生的内阻尼所做的内力功使动能趋于减小，乃是倾覆事故的根本原因。
无力矩作用的刚体定点运动在经典力学中称为欧拉情形刚体定点运动。刚体绕过定点的任一惯性主轴均可做持续的匀速转动，称为永久转动。以定点O 为原点，建立惯性坐标系 (O-XYZ)，将守恒的动量矩矢量L 作为Z 轴。设刚体为轴对称体，以z 轴为极轴，赤道平面与 (X, Y) 平面的交线为x 轴，组成主轴坐标系 (O-xyz) (图3)。
以欧拉角ψ、θ、φ 表示刚体相对 (O-XYZ) 的姿态，刚体的角速度ω 对 (O-xyz) 各轴的投影为
当刚体的极轴z 为最大惯性矩主轴时 (λ>1)，趋向于与Z 轴共线，转变为绕极轴的永久转动。如极轴为最小惯性矩主轴 (λ<1)，则趋向于与Z 轴垂直，转变为绕赤道轴的永久转动（图4）。两种情况的最终阻尼结果都是使卫星自动选择最大惯性矩主轴作为永久转动轴。此结论在航天实践中称为最大轴原则。Explorer-1卫星的倾覆事故从而得到理论解释。
关于动量和动能两种概念，哪个概念能作为运动状态合理的度量，在力学史中曾有过激烈争论[2]。法国数学家笛卡尔 (Descartes,R.) 于1644年最早引进动量概念（图5）。他受物体弹性碰撞实验的启发，认为物体运动状态的强弱取决于质量m 与速度v 两个因素，应将二者的乘积mv 作为运动状态的度量。
1686年，德国数学家莱布尼茨 (Leibniz,g.W.) 对此提出反对（图6）。他将物体的质量m 与速度平方v² 的乘积mv² 称为物体运动的 “活力” (拉丁文vis viva)，认为度量运动状态的不是动量mv，而是活力mv²。于是开启了笛卡尔派与莱布尼茨派之间延续数十年的争论。
直到1743年，法国学者达朗贝尔 (d’Alembert, J.R.) 在他的著作《Traité de dynamique》里对这场争论做了确切的总结（图7）：“ 对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活力，或者用它作用一定时间的物体的动量同样都是合理的。”
因此，这场争论只是对不同力学概念的一场无谓的争论。就物体运动状态的量度而言，笛卡尔的动量是按力作用时间的量度，莱布尼茨的活力是按力作用距离的量度。二者并无冲突。
动能的定义最终于19世纪20年代完成。法国学者科里奥利 (Coriolis, G.G.) 引进了功的概念，建立了动能定理：力对物体做的功等于动能的增量。因此，活力mv² 前面必须增加1/2，作为动能的确切定义T=mv²/2，方能使动能定理得到满足：
参考文献：
[1] Бутенин,НВ, Лунц,ЯЛ, МеркинДР. Курс теоретической механики. Москва. Наука, 1985
[2] 武际可. 力学史. 上海：上海辞书出版社，2010
（改写自：刘延柱. 关于茹科夫斯基凳. 力学与实践，2012，34(3): 63-64）
