纽约的气候四季分明，冬去春来，万物复苏。作为国际大都市，纽约的常驻人口汇集了全世界几乎所有的民族，流动人口异常庞大，宾夕法尼亚车站每天任何时刻都是熙熙攘攘，人声鼎沸。曼哈顿岛上高耸入云的摩天大厦，鳞次栉比，地面上车水马龙，川流不息。食肆酒吧，剧院商铺，琳琅满目，极尽繁华。在人口密度如此之高的小岛上，各色病毒也在肆虐生长，繁殖变异。每一年的暖冬，就意味着来年春季的流感大爆发。

每年开春，纽约地区都有流感袭击，一如四季轮回，今年依然来势凶猛。因为病毒产生了新的变异，市面上除了流感疫苗，并没有什么特效药，只能依靠自身的免疫系统来抵抗。每年流感都有不同症状，身体的所有器官系统渐次被侵袭，逐步自愈，最后锁定在最为脆弱的系统中进行持久斗争。作为教师，终日与黑板粉尘为伍，最为脆弱的器官自然是上呼吸道。在耐心等待自愈期间，只能多喝开水、多冲热水澡，同时潜下心来思考一些数学问题。

最优传输和深度学习

自然数据具有内在的模式，深度学习方法可以有效地揭示这些模式，因而取得了巨大的成功。数据中一种普适的模式可以被概括为流形分布定律：一类自然数据分布在高维背景空间中的低维流形附近。因此，数据可以用流形上的概率分布来描述。深度学习具有两个基本任务：流形学习，以及概率分布之间的变换。概率分布变换可以用经典的最优传输理论来完成。

例如GAN中的生成器本质上是将高斯分布变换成实际数据分布，判别器本质上计算两个分布之间的距离。最优传输理论的核心问题就是计算概率分布之间的变换，其代价用于衡量概率分布之间距离。

依随深度学习方法的日益深入人心，大众对最优传输理论的学习热情也日益高涨。最优传输理论具有丰富的内涵，同时也是众多领域交汇的地带，例如概率统计、微分几何、流体力学、线性规划、蒙日-安培方程等等。不同的方法各有千秋，有些易于理解，有些易于计算，有些偏几何洞察，有些偏物理直觉。比如，对于深度学习而言，基于Minkowski-Alexandrov理论的凸几何解释非常适于GPU实现；对于对抗生成网络的模式崩溃问题，基于蒙日-安培方程的正则性理论给出了颇有说服力的解释；对应医学图像的注册问题，流体力学方法应用最多。这里，我们比较几何方法和流体力学方法，从而得到更为深刻的理解。

最优传输的几何方法

蒙日-安培方程和经典的Minkowski问题紧密相连，Minkowski问题是从高斯曲率和法方向重建曲面。因此蒙日-安培方程可以用几何方法来解，并且在深度学习上已经应用。

图1. 几何方法计算的最优传输映射。

如果目标区域非凸，则Brenier势能函数依然连续，但是最优传输映射非连续，这造成了模式崩溃问题。

图2. 从实心球到兔子的最优传输映射的非连续点集合（苏科华作）。

最优传输的流体力学方法

空间每一点密度的变化满足连续方程：

在这一时刻，所有粒子的动能为：

基于流体力学的方法，我们优化流场的总动能，由此同样可以得到最优传输映射。

图3. 基于最优传输映射的乳腺癌早期检查（齐鑫作）。

几何观点和流体力学观点的关系

如上讨论，我们看到关于最优传输映射的两套理论，得到两种流场，由Brenier势，得到的微分同胚群：

和极小化流场动能，得到的微分同胚群：

这里，我们只给出流体力学观点最为简单的解释，这一方向的研究也非常丰富而深刻，在医学图像领域被广泛应用。同时，基于流体力学的最优传输方法在物理仿真，计算力学，网络交通等领域也有深入的应用。但是，目前在深度学习领域，基于流体力学的最优传输尚未被涉及，主要原因在于维数诅咒。在高维空间中，流场的计算量过大，目前的算力无法承担。相比之下，基于几何观点的方法更加直接了当，非常适合深度学习的高维情形。基于最优传输理论方法对于大数据、深度学习具有根本的重要性，我们乐观相信在不远的将来，会有基于最优传输理论的专用芯片涌现，从而将深度学习进一步推进。