有限元在游乐设施中的应用-计算模型与单元选择

1 概述

由于游乐设施运行的特性，更快、更高、更安全的游乐设备成为发展趋势，原先主要依靠传统力学计算，理论计算分析已经难以解决日益复杂的产品结构的受力，人们可以借助于计算机求得复杂的解析解。

因此现在的游乐设施设计鉴定中的计算书，须借助计算机进行有限元计算完成，利用有限元软件，构件有限元模型，得到复杂结构的受力和变形，求得关键部位和零部件的安全系数，以对整套产品的安全性能进行相对准确的评价，但在游乐设施产品的模拟分析计算中，计算人员通常会被众多纷繁复杂的单元类型弄花了眼。

采用的计算模型和单元类型的选择，跟你要解决的问题本身密切相关。在选择单元类型前，首先你要对问题本身有非常明确的认识，然后，对于每一种单元类型，每个节点有多少个自由度，它包含哪些特性，能够在哪些条件下使用，要结合自己的问题，选择恰当的模型和单元类型。

游乐设施的有限元分析中，是否全部采用实体单元？是否要和实际模型完全一致？什么样的解析解才是可以采信的？

2 建立数学模型

有限元软件对游乐设施的零件和装配件的几何模型进行分析，该几何模型必须能用正确的、适度小的有限单元进行网格划分。对于小的概念，并不是指它的单元尺寸，而是通过网格中单元的数量来表示。

这种对网格的要求有着极其重要的含义，通常情况下，需要修改CAD几何模型以满足网格划分的要求，这种修改可以采取特征消除、理想化、清除的方法（simulation基础教程P2）。

特征消除：指合并或消除在分析中认为不重要的几何特征，如圆角、筋板等；

理想化：理想化是更具有积极意义的工作，它可能会偏离CAD几何模型的原型，如将一个薄壁模型用一平面来代替。

清除：清除有时是必须的，因为可划分网格的几何模型必须满足比实体建模更高的要求，清除几何模型中小的间隙、干涉等。

对CAD模型进行修改，不只是为了达到网格划分这一单一目的。通常情况下，对能够进行正确网格划分的模型采取简化，是为了避免由于网格过多而导致分析过慢，甚至不能计算或计算出错误的解析解。

3 单元的种类

网格划分，更精确地说应该称为离散化，就是将一数学模型转化为有限元模型以准备求解。作为一种有限元方法，网格划分完成两项任务。

第一，它用一离散的模型替代连续模型。因此，网格划分将问题简化为一系列有限多个未知域，而这些未知域符合由近似数值技术的求解结果。

第二，它用一组单元各自定义的简单多项式函数来描述我们渴望得到的解 (例如位移)。对于使用者来说，网格划分是求解问题必不可少的一步。

网格划分是将连续的模型剖分成有限单元，这个过程中所创建的单元类型取决于几何模型的类型和设计分析的类型。有限元中常用四种单元类型：一阶实体单元，二阶实体单元，一阶壳单元和二阶壳单元(其他还有梁单元，质量单元等)。

一阶实体单元：一阶实体单元在体内沿着面和边缘模拟一阶（线性）位移场，一阶(线性)位移场命名了该单元的名称.即一阶单元。如果读者能够从材料力学中回忆起应变是位移的一阶导数，那么应变(从位移的导数中求出)和应力在一阶实体单元中均为常数。每个一阶实体单元包不含中间节点，每个节点有3个自由度。

 图1显示了一个使用一阶实体单元构成的管形几何体，显然用直线和平面模拟曲面形的几何模型是失败的。

图1 一阶实体单元

二阶实体单元：二阶（高品质）实体单元模拟了二阶（抛物线）位移场以及相应的一阶应力场（注意抛物线形函数的导数是线性函数）。二阶位移场命名了该单元的名称：二阶单元。每个二阶实体单元包含中间节点，并且每个节点有3个自由度。

当单元因加载而变形时，如果单元需要模拟曲线型几何模型，则二阶单元的边和面就可以是曲线形。二阶实体单元如图2所示。

图2 二阶实体单元

  一阶壳单元：类似于一阶实体单元，一阶壳单元沿其面和边模拟线性位移场，以及常数应变和应力。当单元变形时.一阶壳单元的直边仍保持为直线。每个一阶壳单元有3个节点(分布在角点上)，并且每个节点有6个自由度，这意味着它的位移可完全由3个平移分量和3个转动分量描述。这个结果类似于之前用一阶单元模拟曲面形几何体的不精确的结果，如图3所示。

图3 一阶壳单元

二阶壳单元  二阶(高品质)壳单元模拟二阶位移场和一阶(线性)应力场。每个二阶壳单元有6个节点:3个角点和3个中间节点。在划分网格过程中，当单元因加载而变形时，如果需要模拟曲线形几何模型，二阶壳单元的边和面就可以模拟曲线形状。二阶壳单元如图4所示。

图4 二阶壳单元

4 单元的选择

可以从四个方面讲解：1、单元自由度不同；2、单元数量不同；3、基本理论不同，4、应用对象也不同

1、单元自由度。有限元中实体单元只有三个自由度,而壳单元有六个自由度。体单元的每个节点只有三个方向的位移和力，仅此就足够了，基本上讲体单元是万能单元，其它所有单元应用的地方都可以用体单元来代替（仅仅是理论上）。

用壳单元模拟板的受力可以很好的反映板的弯曲变化。某一方向尺度(厚度方向)远小于其它方向的尺度，如板的主尺寸与板的厚度之比大于10:1时，一般可以用壳单元进行模拟分析。用实体单元来模拟的话,如果只沿厚度方向，只有一层单元，如果实体单元还是线性的，因为线性单元的边不能弯曲，就容易剪力自锁，导致结果误差较大。

因此，如果用实体单元构建有限元模型，二阶单元至少在厚度方向划分两层，而一阶单元至少在厚度方向划分三层以上。

2、单元数量，由于壳单元是2D平面，实体是3D，所以实体单元节点比壳单元多，模型也更大，如果结果要精确，单元数量也要增加。对于薄壁结构，最好是选用壳单元，壳单元可以减少计算量，以很少的计算时间，即可获得很高精度的结果。

如果你非要用实体单元，也是可以的，但是这样计算量就大大增加了。而且，如果选实体单元，薄壁结构承受弯矩的时候，如果在厚度方向的单元层数太少，有时候计算结果误差比较大，反而不如壳单元计算准确。

3、基于理论。板壳单元基于板桥理论，满足相应的板/壳假设时就能用很少的单元数(3D变成了2D)就可以很好的获得问题的解；实体单元不引入板/壳理论的假设，直接计算位移、变形和应力。如果你选用实体单元进行求解，需要实体单元足够细才能获得比较准确的解，但是又不能太细、因为过于庞大的节点阵会给计算引入很大的累计误差以至于结果又偏离了真实值。

4、应用对象，三个方向尺寸相当的构件，或者直径变化的阶梯轴部件，建议用实体单元；而厚度方向远小于长和宽尺度的板件，用壳单元；而长度方向远大于宽和厚尺度的杆件，用梁单元。

大部分情况下要达到相同的精度时体单元要划分很小的单元和耗费大量的计算时间。壳单元和梁单元简单来讲就是在体单元的基础上分析或简化出一些更有物理意义的变量作为未知量，显著特点是在一定条件下精度能够保证而且节省大量的计算时间，但每种单元的应用范围各自有限。对于大型的结构，一般都要用壳单元和梁单元进行计算，用体单元是不可想象的，尤其要用等参元的时候。但对于单个构件，可以考虑采用体单元。但要保证厚度方向网格划分两层以上。如图5所示。

图5 实体网格划分

5、游乐设施中的应用

游乐设施有限元模型可分为二维和三维两种。可以由点单元、线单元、面单元或实体单元组成，当然，也可以将不同类型的单元混合使用（注意要保证自由度的相容性）。对模型的尺寸和单元类型的选择也就决定生成模型的方法。但总的原则是：单元越小，数量越多，准确性越好（单元解依赖节点，网格粗糙，节点分布少，就不能准确的得出关心部位的应力值，如同夏季北京的气温，你如果把平谷、怀柔的温度和市区的温度平均，给你的感官明显是不一样的）。

游乐设施主要由板材和型钢焊接而成，而且整体结构比其他机械类设备复杂，因此在游乐设施的有限元计算过程中，为了保证精度的前提下，建议尽量采用壳单元和梁单元，但对阶梯轴、耳座等单个小部件进行有限元分析，可采用实体单元，并且保证网格密度，关键部位进行细化处理。

若对整体结构采用实体单元进行分析，要保证计算精度（或者达到壳单元和梁单元的计算精度），需要网格节点的数量是惊人的，甚至是无法计算的（当年本人用工作站，仅仅用实体模型计算一个部件，就需要一个晚上的时间，若要快速计算，只能用粗略网格，这样的结果是不可信的）。完全用实体单元构件复杂的游乐设施模型，是华而不实的（相当一部分人由于不会用有限元软件构建复杂模型的壳单元和梁单元，往往采用三维绘图软件绘制实体模型，直接转化到有限元软件中进行计算，又没有工作站等大型的硬件计算条件，往往只能粗略的划分网格，甚至由于小的间隙和干涉而导致不能计算，连接部位又采取强制约束等手段，使得结果偏小，但是这样结果是可以人为调节的，不可信的）

对有限元结果的评价，不仅要看输入载荷，约束和模型，更为关键的是要查看网格（这往往是初学者所忽略的），合理的有限元结果是网格无关解，也就是说有限元的结果借助网格求得，但与网格是无关的，当网格精细化到一定程度，结果不再随着网格的变化而变化，结果是收敛的，此时才能称为合理的有限元结果。

下图是本人用壳单元和梁单元构件的摩天轮，以供参考。

作者：九妹婆婆，仿真秀专栏作者

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