热传导有限元分析中的非线性问题

传热（又称热传导）分析是工程中常遇到的分析类型之一。传热分析通常用来校验结构零件在热边界条件或热环境下的产品特性, 可以计算出结构内的温度分布状况，并直观地看到结构内潜热、热点位置及分布。可通过改变发热元件的位置、提高散热手段、或绝热处理或用其它方法优化产品的热性能。

工厂热处理过程

随着计算机辅助工程（CAE）的发展，有限元法已成为传热分析最主要的方法。和其他分析类型一样，传热过程也有大量的非线性工况，虽然有些过程可以简化成为线性问题。但还是有很多非线性传热因素，我们是需要在分析过程之中考虑的。 

传热分析中，常见的非线性因素有三种：

随温度变化的材料属性

这是一种常见的传热非线性问题，材料性能随着温度的变化而呈现出非线性的特征。常见的非线性材料热属性有热导率（Conductivity），比热（Specific Heat），质量密度（Density），热焓（Enthalpy）。稳态问题只涉及到热导率参数，而瞬态问题则还需要考虑比热和质量密度参数。

热导率随温度变化呈非线性

随温度变化的边界条件

边界条件如果是随温度的变化而变化，那也大多呈现非线性。传热分析中常见的边界条件有：温度，热流率（Heat Flow），热流密度（Heat Flux），对流密度（Convection），热辐射（Radiation）。根据实际工况，每种边界条件都有可能表现基于温度变化的非线性。

对流密度随温度变化呈非线性

辐射边界条件

辐射是一种高度非线性的边界条件。对于平面辐射，热辐射传递与平面上绝对温度差的四次方成正比例关系。辐射的物理机制比较复杂，工程中用Stephan常数，辐射系数（Emissivity Coefficient），和室外温度（Ambient Temperature）作为边界条件输入值。由于Stephan常数为固定值（5.67032e-8 W/m^2/K^4），在WELSIM中用户只需要输入辐射系数和室外温度即可。在以后的文章中，我们会来详细讲解热传导中的辐射条件。

热辐射边界条件理论

非线性问题求解机制

上述非线性因素，既可以存在于稳态问题中，也可以存在于瞬态热传导问题中。由于有限元方法中大量使用隐式求解方法，所以非线性问题大多是通过牛顿求解器来迭代计算的。在牛顿法中，迭代子步用来得到每个牛顿迭代增量的结果，并推进下一步迭代，直到计算的残差余量（Residual）小于某个值的时候，判定收敛。线性搜索（Line Search）是一个很有用的非线性求解增强工具。对于热传率有很大改变的工况，打开线性搜索能加速收敛提高收敛性。线性搜索适用于强非线性的问题。在WELSIM中，用户不需要为非线性因素做特别设置，系统会自动判别非线性，并使用最优的算法求解。

由于非线性特征的引入，使得收敛性成为了一个重要的求解因素。对于非线性较强的模型，默认的求解器设置可能会不收敛，需要调整一些参数来保证计算的收敛。可以调整的计算参数有：

• 减小载荷步长

• 瞬态分析中减小时间步长

• 调整收敛准则和迭代次数

如果调整了很多参数还是不收敛，那么可能是由于模型的非线性过于强大，无法通过牛顿迭代法得到收敛结果。也可能是此物理问题本身就没有收敛值。幸运的是，工程中的大多数非线性传热模型都是可以收敛的。

有限元分析步骤

下面介绍如何在有限元软件中设置并求解非线性传热问题。这些设置和步骤不仅适用于本例的WELSIM软件，也适用于大多数主流商业有限元软件。

1. 定义模型中所需要的材料。如果材料具有随温度变化的热非线性，则需要在表格窗口中定义相关的数据，曲线窗口会显示相对应的曲线。

2. 设置物理和分析类型。

3. 导入模型并划分有限元网格。

4. 对于瞬态分析，设置时间步，初始条件。

5. 设置初始温度，施加边界条件。WELSIM热分析支持5种边界条件：温度(Temperature)，热流率(Heat flow)，热流密度（Heat flux），对流(Convection)，辐射（Radiation），绝热（Insulated）。1种体条件，内部生热速率（Internal Heat Generation），和一种初始条件：初始温度（Initial Temperature）。

6. 求解控制设置，包括收敛准则，迭代终止条件等。由于非线性设置的复杂性，推荐用户使用默认的设置，如果求解不收敛再调整相关参数。

7. 设置结果输出控制。

8. 求解并检验结果。

算例分析

本算例通过罐体歧管的传热分析，来了解如何定义非线性传热材料，施加边界条件，求解并获得稳态工况下的温度分布。罐内流体温度为450度，经小管流出，流体在小管中温度为100度。结构如下图：

罐体歧管结构模型

传热分析中，稳态分析需要定义材料的热传导率，瞬态分析还需要定义质量密度和比热参数。如果有热应力分析，则还需要定义热膨胀系数。如果材料的某些属性参数是随温度变化的，用户可在表格窗口中输入对应的值。曲线窗口会显示对应数据的曲线。对应材料属性的单元格也会显示特殊的表格图标，以表示此属性通过表格数据表达。如下图所示：

非线性热传导率设置与显示

导入后的模型需要划分有限元网格，WELSIM使用通用的全自动4面体网格划分。在此案例中选择Tet10。点击划分按钮，如果网格划分成功，会自动显示网格状态和数据。如图所示：

有限元网格划分完毕状态

本案例是分析表面由于温度升高和周围的环境温度进行热交换的过程，所以需要设定工件的外表面温度。创建边界条件需要的参数：选定作用区域，并赋值。

设置边界条件：选定作用区域，赋值

分析设置完毕后，点击求解进行计算。如果设置有误或者求解中断，会在输出窗口显示原因。如果求解顺利完成，输出窗口也会显示计算完毕信息。如图所示：

输出窗口显示求解完毕

同时，项目窗口中的结果节点会更新状态，绿色对号表示求解成功。

Answers节点状态表示求解成功

通过添加结果节点可以快速查看所计算的温度分布。在本例的稳态热分析中，可以得到温度分布状况，以及温度最大和最小值。如图所示，温度分布和温度最大最小值可以在不同的窗口显示，便于查看。

多个窗口中可以查看到计算结果

在本文和实例分析中，我们看到借助有限元分析工具，非线性传热分析并没有想象中的那么困难。实例定义了导热率（Conductivity）随温度变化而变化的特征，通过计算，得到了稳态状况下物体的温度分布。