叠加原理和解的唯一性定理

来源：力学酒吧（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。

叠加原理和唯一性定理是弹性力学求解的两个基本原理，前者使复杂问题的问题简化为几个简单问题的叠加，唯一性定理则保证了使用逆解法或半逆解法求解时的唯一性。人们对于叠加原理的认识最早来源于对振动的叠加现象，并最终成为弹性理论的一般原理。利用叠加原理，可以方便的证明弹性力学解的唯一性定理。

1742年，Daniel Bernoulli (1700-1782，丹尼尔·伯努利，就是发现流体力学中伯努利原理的伯努利）在研究两端夹紧的弹性振动带（备注：或者是弦）问题时声称，他可以同时听到两个不同振动模态的声音。他说：“两种声音同时存在，并且非常清晰…这也难怪，因为两个振荡并不相互增强或阻碍；的确，当振动带以某一模态振荡时，它对于另外一个模态总可以视为一条直线而不产生任何影响...在我们检查过的自由振动带中，我通常可以同时感知三到四个声音。”

我们知道，当一条弦振动时，一阶模态没有节点（不算两端的夹紧约束），二阶模态有一个节点，三阶模态有两个节点，以此类推；这些模态可以用周期不同的正弦函数来表示，丹尼尔的观点就是任何一个弦的振动都是由这些基本的振动模态叠加而成。

不过，1742年偏微分方程还没有被发现，丹尼尔的叠加只能算是他想象中的叠加，并没有进行数学上的严格证明。1749年，Jean-Baptiste le Rond d'Alembert（达朗贝尔，1717-1783）推导了弦振动的微分方程，围绕弦振动微分方程的解，d'Alembert，Leonhard Euler（欧拉，1707-1783）和Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）等人进行了深入的研究。

Euler 和Lagrange 并不认可丹尼尔有关振动可由简单模态叠加的观点，Euler 认为一条曲线可以由无数多个正弦函数组成是令人怀疑的，认为“无限看起来会毁坏构图的本质”（大科学家有时候也会想当然）。这一问题在科学家之间展开了持久的争论，直到1822年Joseph Fourier (1768-1830) 发表The Analytic Theory of heat（热的分析理论）完善了傅里叶级数，人们才逐渐接受了叠加原理。

关于弹性板的叠加原理，德国著名物理学家和音乐家、声学之父Ernst Florens Friedrich Chladni（克拉尼，1753-1827）发表了Entdeckungenüber die Theorie des Klanges（声音理论中的发现），发明了一种用沙子展示弹性板的固有模态方法（1787年），为弹性板的叠加原理奠定了基础。克拉尼用琴弓去拉一块覆盖沙子的金属板，当板发生弯曲直至共振时，沙子在振动作用下向表面静止的节点线集中，并最终勾勒出节点线。这些线条形成的图案就是现在所说的克拉尼图形。

惠斯通 (Charles Wheatstone, 1802-1875) 在1833年发表的On the Figures obtained by strewing sand onvibrating surfaces, commonly called acoustic figures（声音的图像，用沙子来展示振动表面的图形）中将弹性理论中的叠加原理归功于韦伯兄弟，威廉·韦伯 (Wilhelm Eduard Weber, 1804-1891)，以研究电磁学而著名，哥哥恩斯特·海因里希·韦伯 (Ernst Heinrich Weber, 1795-1878)，德国著名物理学家和生理学家，并于1825年带领弟弟在莱比锡出版了《Wellenlehre, auf Experimente gegründet》（基于实验的波的理论）一书（生理学家的哥哥带着电磁学家的弟弟研究弹性振动理论，给出了叠加原理！？），在这本书中提出了弹性板振动的叠加原理。

叠加原理一般被描述为：对于线性系统，由两个或更多载荷产生的变形，可以先求出单独加载下变形的总和，同时一个满足叠加原理的系统也被称为线性系统。在数学上线性被定义为同时满足加法原理和乘法原理，即，设有函数F(x)，如果该函数为线性函数，则充要条件为

在线弹性理论中，平衡方程、几何方程、物理方程均为线性方程，同样也满足加法原理和乘法原理，即满足叠加原理。弹性力学中叠加原理被描述为：对于同一个弹性体，分别受到两组（或多组）不同的体力、面力和已知位移的作用，当弹性体在这些载荷和已知位移同时作用下，其应力、应变和位移解为每组载荷和已知位移分别作用所得的两组（或多组）解之和。设

需要注意的是，弹性力学问题的线性特性不仅包括基本方程的线性性质，同时也包括边界条件的线性性质。在线性基本方程和线性边界条件下，可以将一个复杂的问题分解为若干简单的问题来求解。这也是一个考虑体力的弹性力学问题可以分成无体力的齐次方程和有体力的特解问题的原因，从这个意义上讲，叠加原理也可以被认为是“分解原理”。

弹性力学的半逆解法和逆解法，可能从不同的假设出发进行求解，一个问题是，这样从不同假设出发求出来的解是唯一的吗？基于叠加原理，1883年，Gustav Robert Kirchhoff（基尔霍夫,1824-1887) 在Vorlesungen uber mathematische Physik MathematicsPhysics（数学物理讲座）中给出了弹性力学解的唯一性定理。基尔霍夫采用了反证法来证明该定理。

设有一弹性体受面力和体力fi 的作用，σ'x ···τ'xy ···ε'x ··· γ'xy ···u'x ···是它的第一组解，σ''x ···τ''xy ···ε''x ··· γ''xy ···u''x ··· 是它的第二组解，它们都满足弹性力学基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）和边界条件，即：

显然，若将σx =σ'-σ''x ···τxy =τ'xy =τ'xy -τ''xy ，视为一组新的解。它所对应的是无体力、无面力、边界无位移状态，这样的弹性体必将是一个理想的自由体。它所对应的应力状态必然是一个无应力状态，由无应力状态将导出应变、形变位移均为0，即

这就证明了原来所设定的两组不同的解，完全相同。弹性力学解的唯一性定理为求解弹性力学问题所采用的各种方法（如逆解法和半逆解法）提供了理论依据。弹性力学问题求解一般比较困难，如果能找到一组解满足基本方程和边界条件，那么根据解的唯一性定理，这组解就是该问题的解。不过，虽然弹性力学的解是唯一的，但可以有不同的表达式，但这些不同表达式，最终应统一于相同的值。

参考文献

[1] S.P. Timoshenko. Theory of elasticity.

[2] 徐芝纶. 《弹性力学》（第5版）. 高等教育出版社

[3] http://www.bcamath.org/documentos_public/courses/1_Course2012Chapter1WavesHistoryApplications.pdf

[4] Isaac Todhunter. A History of the Theory ofElasticity and of the Strength of Materials. P410-411