多物理场与数学(2)：热学
多物理场与数学(2)：热学
今年四月，hw公开了一种新的芯片堆叠专利，该芯片封装结构包括：基板、至少一个桥接板以及至少两个第一芯片。
这种设计简单讲就是用面积和空间换性能，降低对高端工艺芯片的依赖。在这种结构中，同等空间内热源增多，增加了散热的难度。
“回答为何能源研究领域越来越需要物理与化学理论时，任正非表示越来越多的能源将消耗在芯片上，所以散热和发热机理可能是电子技术最核心的竞争力”
“公司主航道就是要攻克大信息流量的疏导，大数据里最大的困难就是发热，硬件工程、电子工艺最大的问题就是散热。有位专家说，未来 50%的能源将消耗在芯片上，散热和发热机理也可能是电子技术最核心的竞争力。芯片的发热是没有任何价值的，发出多少热，就要散出去多少热，发热和散热是同样重大的科研科技。所以发热机制与散热问题是大数据传送的关键挑战，我们需要加大投入研究”
电子产品中芯片温度过高是人们最常预见的产品失效原因之一。除去各种外力因素，几乎所有电子芯片失效的直接原因都是封装温度过高。阿伦尼乌斯公式指出：芯片在正常工作温度范围内每上升10摄氏度，其运行寿命减半。
在 一篇文章入门热学有限元（点击链接查看） 一文中简要介绍了热学基础知识，本文继续从数学和研发角度聊聊热学相关内容
1.数学相关
2.求解器开发
3.扩展
1.数学相关
热力学第一定律：
一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量和外界对它做功之和。
热力学第二定律：
热量会从温度较高的物体传导至温度较低的物体，而不是相反。
热力学第三定律
绝对零度时，所有纯物质的完美晶体的熵值为零。
三种传热方式:
传导，对流，辐射（2019年发现了第四种传热方式：真空声子传热）
热传导：接触良好的物体之间或者物体内部由于温度不同而产生的热交换；
热对流：物体和周围介质之间发生的热交换
热辐射：物体以电磁波的形式和周围发生的热交换，辐射不需要介质，真空中可以进行传播。
1.1.热传导
热传导方程最早出现在法国数学家傅里叶所著的《热的解析理论》一书中，该书提出了三维空间的热方程也是一类偏微分方程。
均匀介质中三维热传导偏微分方程如下
其中：
u为温度和时间的函数
t为时间
a方为由密度，热容，热传导系数组成的常数项
f为热源
∆为拉普拉斯算子
该方程完整描述了热传导过程中，温度随时间，坐标以及热源变化的规律。
其中：
当t无变化时，方程退化为无时间项的稳态方程；
当没有热源时，方程退化为无f项。
既无时间t，又无热源项f，方程退化成拉普拉斯方程。
热传导方程物理含义明确，其方程式中随时间，坐标变化函数只包含只有一个自由度的标量温度，是偏微分方程中最简单的形式。因此也是研究偏微方程的理想对象，其各种数值计算方法有限元，有限差分等入门教程的也都是以热传导方程为主。
1.2.热对流
利用质量守恒、动量守恒、能量守恒可以推导出二维热对流的控制方程，三维类似。
t为温度函数（区别热传导方程中的时间）
u，v为速度
第一项为流体温度随时间的变化
第二，第三项为对流项
等式右边为扩散项
其中：
当流体速度为0时，方程退化为无热源的热传导方程
为稳态问题时，无非稳态时间项
可以看出热对流方程形式和NS方程相同，热对流本质上是个流体力学 热学的耦合问题。热对流更多时候是作为CFD问题来处理。
1.3.热辐射
电磁波能够传递能量，热辐射主要是指由于热原因产生的电磁波辐射。辐射传热是指物体之间相互辐射和吸收的总效果，当物体与环境处于热平衡时，其表面上的热辐射仍在不停进行，但其净辐射传热量为0。
电磁波打到物体上会产生反射，吸收和穿透。当物体产生完全吸收时候，该物体称为黑体辐射。关于黑体辐射，一般教科书上都有明确的计算公式。印象比较深刻的是热辐射数值和温度的四次方成正比，这个最早应该是实验得到的，不展开描述。
一般来说，热传导和热对流需要介质，热辐射不需要。
1.4.热声子
这是2019年的新发现和提出的新理论，其主要内容是发现声子可以在真空中实现热传递。
参考链接：
https://www.nature.com/articles/d41586-019-03878-6
属于前沿科学，其理论验证，工程化都需要时间。
2.求解器开发
对于稳态问题，以平面三角形单元为例。三角单元形函数推导参考：
边界条件
热学边界条件可以加在几何点线面上，也符合常用的三类边界条件，但在软件中更多的使用便于业务使用的方式，比如
1. 固定温度
2. 热流率，对流等
3. 热流密度
3. 热生成率
可参考下文中关于边界条件的介绍（点击）
其实不管怎么变通，都是基本三类边界条件的变形。
基本流程也是组装单刚矩阵，总刚矩阵，加装边界和荷载，生成AX=B形式，最后求解温度场X。
3.扩展
3.1. 瞬态问题
瞬态求解可以由稳态拓展而来，其主要区别是加了时间积分项。在求解过程中需要指定时间步长。步长太短，不仅浪费计算资源，还增加数值扰动概率；步长过长，无法反映温度场真实梯度。
时间积分通常采用"Crank-Nicolson"以及“Backward Euler”方法。
3.2. 热应力耦合
热应力耦合是最简单的多物理场耦合，一般采用弱耦合方式。即先计算出温度场，然后将温度作为荷载加载到模型上进行结构应力仿真。该方法简单有效，在之前求解器开发中，验证比使用强耦合方法精度还高。强耦合理论上精度很高，但实际中很多假设条件不成立，参数设置不当反而容易导致误差很大。
其它关于热学内容
3.3. 非线性
3.4. 相变
3.5. 电路热分析
3.6. 热辐射分析
3.7. CFD传热散热分析
3.8. 微观领域热分析
热学本身来讲是非常成熟的，在有限元方法中由于基函数是标量，也是最容易求解的物理场，但是在实际应用中和其他物理场结合，涉及到材料，非线性，相变之类就变得相当复杂，几乎每个都是一个研究大项。比如芯片热分析，发动机高温热分析等等，具体不再展开。
介绍了热学相关的数学理论及基本知识，最后推荐几本相关书籍
