第2篇 网格 让我来形容你的美

    网格，有限元分析之基础。

    前文已经介绍，节点是构成有限元的最小基本元素，节点的有序排列连接可以构成网格（亦称之为“单元”）。Ansys软件内有众多单元，按单元用途分，有link180杆单元，shell181壳单元，solid186实体单元等，按单元形状分，有三角形单元，四边形单元，四面体单元，六面体单元等。睁开读者的清澈双眸观察网格，软件为我们提供的不同的网格只是形状不同而已，但网格的根本含义是什么，有限元小白们却很少关注。下面笔者就以一维杆单元为例为读者揭开网格的神秘面纱，使读者一睹网格的绝世容颜。

    在开始介绍之前，我们不妨先回顾一下第1篇文章结尾，笔者曾提及有限元给出的位移结果是节点的位移，而节点以外的位移需要通过形函数进行表达。在介绍网格内涵之前，笔者先带领读者认识一下网格的形函数。

    以图1杆单元为例，有限元结果求得了i、j两点的位移，那i、j两个节点之间的其它部位的位移该如何得知？

                                                                                     图1

    我们不妨先设一个函数，如公式1：

    公式1想表达的是：杆单元任意一点的位移是杆长x的函数，但这个函数有一个问题，就是有两个未知量，即a0和a1，所以我们需要先将这两个未知量求出。

    根据已知条件知：

    由公式2可知，当x=0时，位于i节点，描述的是ui位移，当x=L时，位于j节点，描述的是uj位移。故公式2经过移项改写成公式3：

    通过公式3已经求得了两个未知量a0和a1，现在将公式3代回到公式1得：

    整理、归类得公式5：

    公式5中ui之后的系数（1-x/L）及uj之后的系数x/L即称之为“形函数”，公式5的含义是：在求得ui和uj后，杆单元内任意一点的位移与ui和uj两个节点的位移量有关。

    在上篇文章案例中，我们已得知ui=0mm，uj=0.00095mm，uk=0.0019mm。为了验证公式5正确性，利用本式验证第1篇文章案例中j节点的位移。已知ui=0mm，uk=0.0019mm，x=100mm（j节点的位置位于杆的中间），L=200mm，将已知条件带入公式5求uj，结果如公式6：

    通过公式5求得的结果与上篇文章uj的结果是一致的。

    公式5的导出对有限元理论意义重大，因为我们不仅需要根据公式5插值得到节点以外的场量（位移、应变、应力等物理量），而且还需要根据公式5利用最小势能原理导出线性静力学的典型方程。

    公式5除了可以插值得到其它部位的位移，也可以通过对位移函数的一阶导数导出应变，进而求解应力，进而验证上篇文章末所述：位移解是基本解，应变和应力为派生解。如公式7：

    文章到此，我想聪明的读者已经知道网格的数学含义。从图形看，一根线体被划分成杆单元后，软件从图形上给出的是一条线，而有限元理论在后台生成的实际是公式5。当然，公式5仅仅是一维杆单元的形函数，对于梁单元、壳单元以及实体单元，有限元理论在数学上给出的试函数（如公式1）是不一样的，在图形上给出的则是不同的形状（三角形单元、四边形单元等）。

    综上所述，笔者想要表达的是“网格，让形函数来形容你的美！”