Abaqus/Explicit分析重要概念（1）：稳定极限、时间增量及影响因素

本文摘要（由AI生成）：

文章主要介绍了Abaqus/Explicit求解器在非线性问题求解中的特点、时间稳定极限值的概念、确定稳定极限值的方法以及影响稳定极限值大小的因素。Abaqus/Explicit求解器适用于求解高速动力学问题和高度非线性问题，不涉及迭代，具有优秀的自动判断接触和自动求解计算的功能。时间稳定极限值是Abaqus/Explicit分析必须考虑的重要因素之一，它决定了增量步的数目和分析效率。确定稳定极限值的方法有两种：单元-单元估计法和总体估计法。影响稳定极限值大小的因素包括材料密度、材料特性、单元网格和单元类型。

Abaqus/Standard和Abaqus/Explicit求解器在求解非线性问题时，差异如下：前者需要将每个分析步分解为多个增量步，在每个增量步中进行迭代计算，涉及到收敛性问题；后者在求解包含动力特性的方程中，不涉及迭代，而是以应力波向前传递的形式求解，适用于求解高速动力学问题和高度非线性问题。由于Abaqus/Explicit求解器不涉及迭代，又提供了优秀的自动判断接触和自动求解计算的功能，很受用户青睐！

对于Abaqus/Explicit求解器，时间稳定极限值是非常重要的概念，该值决定了增量步的数目和分析效率，昨天提到的波速比的问题也与稳定极限值密切相关。因此，本节课将详细介绍稳定极限值的概念、确定稳定极限值的方法，以及影响稳定极限值大小的因素。

默认情况下，Abaqus/Explicit 在分析过程中的增量步大小完全由求解器自动控制，即自动增量步长法（fully automatic time incrementation）。Abaqus/Explicit 是显式求解器，在分析过程中是有条件稳定的，增量步必须小于某个极限值，以保证加速度在每个增量步中尽量接近常数，这样才能对速度和位移进行精确积分，此极限值称为稳定极限值（stability limit），即分析所允许的最大稳定增量步长，它是 Abaqus/Explicit 分析必须考虑的重要因素之一。为了提高求解效率，Abaqus/Explicit 在分析过程中总是尽可能选取稳定极限值作为增量步长。

确定稳定极限值的方法有两种：单元-单元估计法和总体估计法。Abaqus/Explicit 总是先根据单元-单元估计法估计稳定极限值的大小，然后在某些特定条件下跳转到总体估计法确定稳定极限值。

单元-单元估计法比较保守，它给出一个比实际的稳定极限值更小的稳定增量步长。一般情况下，模型中的各种约束和接触关系都有抑制特征值频谱的效应，单元-单元估计法不考虑这些因素的影响。

总体估计法采用当前扩张波速估计整个模型的最大频率    ，在分析过程中不断地更新最大频率的估计值。总体估计法算得的稳定增量步长往往超过单元-单元估计法算得的稳定增量步长。总体估计法确定稳定极限值    的计算公式为：

1）无阻尼系统：

2）有阻尼系统：

其中： 是临界阻尼比。对于高阶振动问题， 较大，因此稳定极限值较小，总的增量步数会非常大，这时 Abaqus/Explicit 会通过引入体积粘性（bulk viscosity）的方法来引入一个小的阻尼。

模型实际的高阶频率取决于多种复杂因素，其准确值是不可能获得的。采用保守的单元-单元估计法，稳定极限值重新定义为以下形式：

其中： 为单元的长度，对于极度扭曲的单元，一般等于最短的单元尺寸； 为材料的波速，是材料本身的特性。对于线弹性材料（假设泊松比 ），的计算公式如下：

其中：E为弹性模量； 为密度。由上述公式可以看出，影响稳定极限值大小的因素包括：

1）材料密度

密度越大，材料的波速  就越小，稳定极限值也就越大。采用质量缩放（mass scaling）技术人为地增大材料密度，可以增大稳定极限值，节省分析时间。例如，复杂模型的局部区域可能包含非常小或形状很差的单元，这些单元即使数量很少，也可能决定稳定极限值的大小。如果对这些单元进行质量缩放，可以很明显地节省分析时间。

需要注意的是，采用质量缩放技术增大材料密度会增大动态分析的惯性效应，如同增大了加载速率。如果质量缩放系数过大，会导致错误的分析结果。选择质量缩放系数的方法和选择加载速率的方法是类似的，都要保证不影响动态分析结果的精度。

在 Abaqus/CAE 中定义质量缩放的方法为：在 Step 功能模块中创建显式动态分析步时，点击 Mass scaling 标签页，选择 Use scaling definitions below，点击 Create，弹出如图1所示的对话框，其中的主要参数为：

a）Objective（目标）：默认的设置是 Semi-automatic mass scaling（半自动质量缩放），对于绝大多数分析类型都适用；

b）Region（质量缩放的区域）：默认的设置是 Whole model（整个模型），也可以选择 Set，指定需要质量缩放的单元集 合；

c）Type：可以选择 Scale by factor，直接给出质量缩放系数，也可以选择 Scale to target time increment，直接设定稳定增量步的大小。

 图1   定义质量缩放的对话框

2）材料特性

材料特性也会影响稳定极限值的大小。对于线弹性材料，其弹性模量是常数，因此材料的波速也是常数；对于非线性材料（例如金属塑性材料），随着材料的屈服，刚度会变小，导致波速减小，稳定极限值会随之增大。

3）单元网格

稳定极限值与最小单元尺寸成正比，即使模型中只有一个很小的或者形状扭曲的单元存在，都会大大降低稳定极限值，增加计算时间。为了增加稳定增量步长，加快分析速度，不应划分过于细化的网格，但同时要注意，过粗的网格会降低分析结果的精度。实际建模过程中，应在保证分析精度的前提下，选择适当的网格密度，并且应尽量保证单元形状是规则的。

Abaqus/Explicit 在 STA 文件中列出了稳定极限值最小的10个单元（图2），可以查看这些单元所在的位置，改进相应区域的网格，或在这一区域使用质量缩放技术。

图2 .sta文件中显示的稳定极限值最小的10个单元

4）单元类型

如果分析过程中增量步长超过稳定极限值，可能会出现数值不稳定现象（numerical instability），导致异常的计算结果。Abaqus/Explicit 对于绝大部分单元都能够保持数值稳定。

作者：曹金凤 仿真秀专栏作者