探究薄板的纵向屈曲

一、背景：

在一些船舶，例如客船和客滚船的结构设计中，经常接触到比较“薄”的板。而目前规范对于板的屈曲校核普遍采用较为“统一”的方法，并未对“薄板”与“厚板”做区分。那对于“薄板”，我们现有的规范适用吗？笔者最近读到一本书《Trends in Analysis and Design of Marine Structures》，书中文章结合试验，研究了薄板的屈曲性能，很有意思。笔者结合自己对屈曲、薄板屈曲的理解和大家一起对这个问题做一次讨论。

二、问题：

近年来，随着规范越来越复杂，计算工况越来越多，屈曲校核过程有“流程化”、“无脑化”的趋势，用工程软件自动加载、校核而后看“红绿灯”是常规操作。借“薄板”这个话题来重新思考一下屈曲问题，相信会有所收获。同样的，课本知识   梁理论   有限元的组合拳是我们分析和研究的利器。

在展开讨论之前，有几个问题可以帮助大家思考：

1） 多厚是“厚”，多薄是“薄”？

2） 书本如何推导板格的纵向屈曲？

3） 规范是如何规定板的屈曲能力的？

这里，笔者抛砖引玉给出一些参考。

问题1）：首先板的厚与薄是相对的，我们要引入合适的无量纲参数作为比较。从书本中可知一般情况下纵骨架式板格的（欧拉）纵向屈曲应力可表示为：

t为板厚，s为骨材间距。可见，t/s是一个直接平方关系影响屈曲强度的无量纲数。板的厚与薄应该从t/s来考虑。而船舶海洋工程结构物，s一般在500mm到800mm的范围，常规t从5mm到30mm的范围。规范中对屈曲问题，考虑到建造、初始缺陷、焊接应力、破环案例、材料等等因素，公式也复杂一些。规范的无量纲参数β考虑了材料的屈服应力和杨氏模量：

可见，s一定时，t越小，β越大。一般油船、散货船的β都在3以下，而客船、客滚船的β可达3~5甚至更大到6。我们可以以β = 3为线区分所谓的“薄”和“厚”。

另外，需要注意规范定义的初始缺陷的上限亦以s为基准（而不是t，如下图所示），为s/200。这点比较容易被忽略，但它是屈曲分析的一大前提，后面将展开讨论。

问题2）

翻阅书本可知，板的稳定性问题是分两步走的，临界（弹性）屈曲和后屈曲。

板的临界屈曲求解是从板的中性平衡微分方程（即板在面外载荷q作用下的弯曲问题）入手的。然后考虑板的中性面受压力和剪力，并令q=0，求解板的平衡解。这与求解压杆稳定性，从梁的复杂弯曲入手，套路是一样的。

公式推导这里不再列举，这里是笔者自己对书本内容的工程理解，仅供参考和讨论，也欢迎指正理解不到位的地方。

（1）     板在中面受压时，除了在受压方向上的中面“压缩”这个“解”之外，（数学上）在一定条件下还能“触发”面外方向上的“解”，即板“拱”或“凹凸”起来。

（2）     这个条件由压载荷的值达到一定大小后“触发”。压杆表达为欧拉力公式，板表达为欧拉应力公式，弹性范围内是仅和几何和材料弹性模量、泊松比有关的值。

（3）     与中面压缩这个解不同，面外方向上的“解”一旦触发，板格即失去稳定性。这个可以从两方面理解，首先在数学求解上得到的只是板面外变形的“形式”，对其具体“幅值”，求解过程并无直接“限制”（可以通过引入能量法来做一定约束）；从刚度上理解，板一旦出现较大的面外变形，其面内的“轴向刚度”会失去作用，而换由板的“弯曲刚度”来抵抗面内载荷，而弯曲刚度是比轴向刚度要小得多。

（4）     书本上这部分内容是从数学推导出发的，理论上适用性很广，并无“厚”和“薄”的区别。

板的后屈曲性能是区别板和压杆屈曲的重要特点，即临界屈曲后的“应力重分布”。当板格的β较大时（即所谓薄板），板格容易发生弹性屈曲，若板的边界能提供有效支撑则板格能够继续承载，此时载荷主要由靠近边界的“有效宽度”来承担直至屈服，如下图所示。

书本上将一般情况下的有效宽度假设为两边各0.22s。笔者认为其不一定适用于薄板的情况。根据截面Type III（参考DNV-OS-C101， Appendix A）的要求，取板厚的某个倍数，如15倍左右的板厚比较适合。

问题3）

书本和规范中对于不考虑应力重分布的板，其临界应力σ_cr的计算分两步，先计算欧拉应力σ_E，它仅和几何及弹性模量E、泊松比ν有关。若σ_E /σ_y<=0.5，则σ_cr =σ_E，若σ_E /σ_y >0.5，则做修正得到σ_cr。即：

书本中，对于考虑应力重分布的板格的极限强度σ_u，表示为：

船舶共同规范CSR的定义为：

海工规范以DNV-RP-C201为例，形式上也基本相同（ϒ_M为大于1的材料系数，一般为1.15）：

三、试验（数据引用于参考的文章）

参考的文章中，对一组矩形盒子经行了静压溃试验。试验尺寸和结果，以及CSR规范、有限元的评估结果如下，σ_y = 350MPa。

 由于CSR规范和有限元的结果都大于试验值的结果，参考文章提出了当前船舶CSR规范和有限元结果都会高估所谓薄板屈曲性能的结论，并对规范做了进一步修正。

四、讨论

从公式出发

终于到了自由讨论环节。笔者有意在展示试验数据前，先介绍了诸多书本上的内容作为铺垫，作为接下来自己分析的参考。直观上，对文章的结论有些补充想法。

首先，CSR共同规范作为油船、散货船规范，虽然高估了试验结果，但值得注意的是这个误差似乎很稳定（至少比有限元的结果稳定）。再有，在非线性有限元计算中，关于初始缺陷的问题没有具体的介绍，试验前应仔细量取“初始缺陷”，并在有限元分析中充分考虑。

我们先来考虑σ_cr、书本上σ_u以及海工规范RP-C201的计算结果及其相互比较如下：

从下面比较的结果看，书本和CSR规范虽然都“高估”了，但公式中没有包含安全系数，并且所谓“误差”的百分比相对比较“稳定”。从带安全系数的RP-C201（1.15的材料系数）的结果来看结果是可以接受的。另外，可以明确的是应力重分布对薄板屈曲性能的贡献很大，因为σ_cr明显低于最终得到的屈曲强度。

从有限元出发

笔者对M-250模型，基于DNV-RP-C208，采用弧长法做了有限元压溃分析，并研究初始缺陷的影响。由于模型的长宽比为2，所以第一阶段模态（即两个半波，临界应力120MPa）为主要初始缺陷模态（Model1）。同时，还关注一个半波的模态（Model2，临界应力130MPa），因为它是焊接变形的常见形态。初始缺陷的幅值取s/200=1.25mm和s/100=2.5mm两个来分析其敏感性。

Model 1的结果

Model 1得到的结果，从结构极限状态的形式来看十分接近试验观察的现象。采用1.25mm和2.5mm的初始缺陷幅值，结果比试验分别大18%和12%。注意到若采用规范的安全格式，得到的结果应除以ϒ_M=1.15，则误差仅为2%和-3%。

Model 2的结果

Model 2得到的结果，从数值上接近（略高于）Model1的结果，但从结构极限状态的形式来看与试验观察的现象有所不同。

Model 3的结果

为了进一步分析初始缺陷的敏感性，可以引入Model3作为Model1和Model2的组合。沿着长边，板格的初始缺陷可直观地表达为下图。计算结果表面Model3的结果是接近Model1的，由此可知Model2的初始缺陷对结果影响不大（不敏感）。

五、综合讨论（梁理论登场）

经过了书本、规范和有限元讨论，我们对薄板屈曲的疑问是否得到解答？

笔者觉得通过有限元分析，可以明确对于β较大的板格，板的后屈曲强度（应力重分布）是问题的关键。

在本例中，应力重分布的结果是将截面“均匀承载”状态转变为板格的支持边界，即四个L梁主要承载的状态。30年前的规范中，有下图来说明这个问题。事实上，板格能否实现或者多大程度上实现应力重分布，主要取决于板格的支撑条件。在本例中，板格的边界实际上就是由如图所示的L梁来支持的。当L梁承担越来越多从板格上“转移”过来的载荷而达到极限/屈曲状态时，整个截面即达到极限承载能力。L梁的尺寸可以简单地根据上文中提到的Type III截面来考虑，本里中可取L33x33x2.9。L梁可取Cuvre C来计算其Column Buckling的强度。

本例中，L梁的屈曲强度约为85%x350=297.5MPa，设L梁之间的板格的屈曲强度为σ_cr =100MPa。则总的屈曲强度为153MPa。考虑ϒ_M=1.15的安全系数153/1.15=133MPa，这与RP-C201的结果几乎相同。可见用梁理论也可以验证屈曲强度的结果。

六、小结

综上所述，对于薄板的屈曲问题，因为临界应力较低，其问题的重点已经不在于板，而是支持板的筋和桁材。对于纵骨架式，纵向的力主要由筋来承担，横向的力主要由桁材来承担。而板（薄板）的主要“任务”是承担面内剪切载荷。筋和桁材是不承担面内剪切载荷的，它们只是作为板的“屈曲边界”而起作用。由书本可知，板的剪切临界屈曲强度要比单向屈曲强度要高出许多。

延申问题

这里给大家提几个延申问题，有兴趣的朋友可以思考一下。

1）在有限元Model1中提到有限元屈曲模态分析得到的临界应力为120MPa。而之前的理论结算得到的是100MPa。这是为什么呢？有限元得到的结果有没有问题？

2）规范定义的初始缺陷（变形）的量级为s/200，而一般常规s/t大约在50~60，意味着初始缺陷相比板厚要小许多。而薄板的s/t往往在80甚至100以上，即初始缺陷可以达到板厚的一半。如果初始缺陷的假设合理，对薄板来说是否意味着焊接的残余应力也格外重要？

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