从最基本的最小板厚公式谈起
一、引言
规范最小板厚公式可能是船舶海洋工程规范中，最普通和不起眼的一个公式。作为一名具有多年有限元分析工作经验的老司机的你或者刚刚接触有限元分析的新手，有没有对规范公式有过疑问呢？今天笔者带小伙伴们一起用梁系理论结合有限元工具来研讨一下板厚公式，相信会让大家有所收获。
二、看公式
先上板厚公式，按梁系分析的老规矩，大家准备好尺和笔。
DNV的板厚公式（DNV-OS-C101）:
ABS的板厚公式（ABS MODU Pt.3）:
如果你是个细心人，又是个对书本知识过目不忘的小学霸，在看了公式之后，你可能会有这样的发现：
1. 规范中的板厚公式的“中心思想”是“板的弯曲”，且比课本上的公式要简单的多。有兴趣的同学可以翻阅船舶结构力学书上“筒形弯曲”的章节。规范也没有明确区分“柔性板”、“中性板”、“刚性板”。
2. DNV规范和ABS规范公式，虽然长得不太一样，但经过简单的变形可发现它们的形式是一致的，都是板格几何尺寸和载荷（压头）的函数。但进一步可发现两者有个“巨大”的不同，那就是DNV的板厚公式中，包含global design stress σjd（即平台的global响应），而ABS规范则没有。需要注意的是，不同规范之间是不能做直接的对比的，因为它们处在不同的安全格式体系中。即别因为一个板厚或者单独的公式就判别谁的要求高或低，规范之间原则上也不能“混用”。
这里，笔者对这两点给出解释，希望能引起大家更多思考。
1. 规范中虽然没有直接应用“筒形弯曲”理论，但DNV规范（以及船舶共同规范）中应用了“板条梁”理论。筒形弯曲运用的是板条梁的复杂弯曲，即考虑梁轴向力的影响。但由于轴向压力将不利于梁的侧向承载而轴向拉力将有利于梁的侧向承载能力，且轴向力的作用对边界条件十分敏感，考虑到船舶海洋工程结构物受力的多种可能性，规范并没有从直接从这里入手。笔者将从板条梁的角度来分析板厚公式。
2. 关于“柔性板”、“中性板”、“刚性板”的区分，由于规范中一般都有对基于工程应用、焊接等经验的无脑“最小板厚”要求，所以利用柔性板来承担侧向载荷的设计，目前在船舶海洋工程领域还未得到什么应用。此外，较薄的板的屈曲能力也很弱，也太不适合船舶海洋工程结构。【友情提醒，较薄的板的屈曲能力需要结合有限元（非线性有限元）来校核，市面上的屈曲校核公式一般都不太适用，后面有机会笔者会写一篇相关的文章供讨论】
3. 关于板厚公式中包含global响应的问题。这个涉及到“角色”问题。写规范的人，大多是从“校核”角度来思考的，公式本身考虑global响应是正确的，因为很显然，global响应大的地方，板已经有了较大的中面应力，对其侧向承载能力肯定是有影响的。在设计的时候，可采用螺旋的方法，先假设一个global响应，比如100MPa，再根据压头来确定初始板厚，再通过global分析得到global响应。通过研究那些应力明显超过和小于100MPa的地方来调整和优化设计。
三、凿规范
说了那么多，要上点干货了。我们来先推导DNV板厚公式，再用有限元来验证。对于侧向承载的板，取单位宽度的“板条梁”进行分析。这里边界条件可根据载荷的对称性，取成“两端刚固”，如下所示。
对于两端刚度，受均布载荷的梁，其弯矩的分布在两端最大。设板格的短边长为s，均布压力为p，则端部的弯矩M为ps2/12，在跨中为ps2/24。弯矩除以剖面模数得到弯曲应力，而板条梁的剖面模数W为t2/6 (书上板条梁弯曲还考虑了相互之间的约束，和泊松比有关，弹性模量用D代替，因影响不大我们可以认为弹性模量仍然为杨氏模量E)。
如果这样推到下去，M/W <= σpd1 , 即ps2σpd1 /12 <= 1*t2/6，得到：
似乎和DNV规范公式颇有差距，DNV的公式可近似表示为：
规范的要求值要低许多。有没有很惊喜？是我们的梁系分析有什么问题吗？其实不然，在梁系分析中，有一个“进阶”版本叫“塑性刚架分析”（类似线性有限元进阶成非线性有限元），引入了“塑性铰”的概念来分析梁系的极限承载能力。塑性铰可以理解为梁系的剖面在弯矩下达到“全塑性”的状态（塑性铰的弯矩不能再增加，但类似简支，可以继续转动），对于板条梁来说，其塑性剖面模数为Wp为t2/4 （之前的W为弹性剖面模数t2/6）。板条梁端部的弯矩大，其端部将先进入“塑性铰”的状态。此时，板条梁可作为两端“简支”的梁，继续承载直至梁的跨中也进入“塑性铰”的状态，梁才达到所谓的“极限状态”（也称机构）。
状态1（板条梁从弹性加载到两端形成塑性铰的状态）
状态2（板条梁从两端性铰继续加载到跨中形成的状态）
有分析可知，当板条梁的两端和跨中都形成塑性铰时，对应的载荷即为最大设计载荷。此时，塑性铰处的弯矩为ps2/16，塑性剖面模数Wp为t2/4，于是：
与公式相符合。大家可试着计算一下梁在状态1和状态2时的加载比例为3：1，能算清楚说明梁系的基本功很赞了哦。可见规范这里对于板的弯曲，其容忍度很大呢。关于这点，我们在最后讨论。
四、有限元
熟悉笔者套路的小伙伴应该知道，有限元分析总是在笔者文章的最后一部分登场。做有限元分析或者研究，先要问自己几个问题。
1） 我们要看什么应力成分？多大的网格合适？
2） 问题的主线是什么？验证强度（应力水平）？刚度？载荷位移曲线？
这里我也自问自答一下，抛砖引玉，没有标准答案。
1）我们要看的是板的表面应力，因为涉及到塑性铰，要用到非线性有限元。至于网格的大小，需要能正确体现出板弯曲应力沿着板条梁跨长上的分布，可由线性有限元来研究。
2）问题的主线是研究状态1和状态2这两个过程，它们之间的主要关联是跨中刚度的变化。状态1下的刚度应为状态2的5倍，可从载荷位移图上观察。
以下为线性有限元单元表面应力的结果，短边长为800。我们可以观察网格尺寸分别为200，100和50下的弯曲应力分布和“理论线”的差异，决定网格尺寸（线性单元）。
Mesh 100：
Mesh 200： Mesh 50：
可以看到，如果短边方向只设4个单元时，误差是比较大的。这里问大家一个问题，如果短边方向只设一个线性单元时，也就是船舶局部舱段模型经常采用的s x s网格，结果会怎样？
接下来，我们可以简单地定义理想弹塑性材料来逐步加载了，我们可以得到施加的载荷同跨中挠度关系的曲线（载荷位移曲线）。从曲线上可以明显发现斜率的突点，且前两段直线的斜率的比是接近5：1的，非线性有限元较好地模拟了从状态1到状态2的过程。在三个塑性铰形成后（云图中的红色代表进入塑性阶段），板格还能继续承载的原因是来自刚性边界条件的中面效应。
五、小结
本文虽然研究的对象很普通，但研究方法用到板条梁、梁理论、刚架分析、有限元等工具。实际工程中，也有需要通过有限元来验证板的弯曲能力（板厚）是否足够的情况。希望本文对大家有所帮助。更多地梁系和规范的讨论欢迎关注笔者在仿真秀的课程：
“海洋平台强度分析 - 工程师进阶课程”，同时也欢迎大家和笔者讨论规范和工程问题。
