利用Mathematica求博弈、优化问题，以及复杂公式化简

很多博弈或者优化问题都可以归结为求某个函数的极值（最大值或者最小值），使用Mathematica可以方便地求解该问题，无论是解析解还是数值解。求解过程基本可以分为两步：   

1）原函数对自变量求一阶导并令其为0，然后求解方程。如果是多变量，就要对每个自变量求导并令其为0，然后联立求解；

2）原函数对自变量求二阶导（对于多变量，就是求海森矩阵的值），将第一步得出的解代入。如果二阶导大于0，那么就是极小值，如果二阶导小于0，那么就是极大值。

需要注意的事项是：如果第一步求得多个解，那么就需要将所有解代入原函数，然后比较哪个是真正的最大值或者最小值。

利用Mathematica求博弈、优化问题

以下以函数SigmaP为例：

其中，自变量为x和y。当函数比较复杂的没有解析解的，可以一样的数值求解，无非是用NSolve[]替换Solve[]。

SigmaP对x求导为：

由于该模型比较简化，所以此式比较简单。如果式子比较复杂可以加上Simplify[]命令化简。同样地，SigmaP对y求导为：

令dSigmaPdx=0求得:

令dSigmaPdy=0求得:

将x代入y，或者将y代入x均可求得x以及y，但是直接联立以上两个方程求解是更快的一种方法。

联立

dSigmaPdx=0

dSigmaPdy=0

求得：

可以看出有三组解，并且都非常复杂。可以用Simplify[]命令化简，但是非常慢，所以下边介绍一种不常用的方法。

复杂公式化简

我们观察到上图中有很多重复的项，所以可以对其做代换为（para1和para2可以替换成任意变量）：

结果为：

我们发现又出现了一些新的重复项，再将其代换为（para111和para112可以替换成任意变量）：

结果为：

此时可以看出公式已经相当简化了。这种简化了的公式是可以写进文章的，像之前那种有几百项的公式肯定是没办法的。

最后必须要将以上的解代入二阶导，才能确定解是原函数的最大值还是最小值。二阶导也可以做上面的代换：

最后,有相关需求欢迎联系我们.

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