非线性有限元初识

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了非线性有限元分析的基本概念和应用，特别是针对非线性方程的求解方法。通过弹簧杆件结构的简单实例，阐述了非线性方程的特点和求解难点。进而介绍了牛顿迭代法，该方法通过将非线性方程线性化来逼近解。对于更复杂的有限元问题，文章讨论了直接迭代法和牛顿-辛普森迭代法，并指出了它们的适用性和局限性。通过实例分析，展示了牛顿迭代法在求解非线性问题时的收敛性和可能遇到的挑战。

在有限元分析中，我们经常会和非线性打交道，如材料非线性、几何非线性、边界非线性。非线性有限元一直是有限元中较为困难的一部分，在非线性有限元中我们经常碰到诸如Nwton-Paphson迭代法，切线刚度阵等概念，今天我们就单的介绍一下非线性吧。 

1、简单实例

首先看一个简单的弹簧杆件结构，如图所示，中间节点作用一个F的力，会产生一个位移v                       

由静力平衡关系可得到

该方程为典型的非线性方程，对于这个方程，如果给定一个位移v就能求得F，如下图所示，从图中曲线可以看到非线性的含义了。图中不同k对应的曲线，可以看到k比较小时，杆内力起主要作用，呈现出几何非线性，K较大时，弹簧起主要作用，呈现出弹簧的线弹性。

 2、牛顿迭代法

但是在实际中，我们往往是不知道位移v的，而是知道F，那么给定一个F，怎么求v呢？这时候牛顿迭代法就要上场了。牛顿迭代法的思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解，具体操作如下：

牛顿迭代法图形解释

 对于非线性方程f(x)=的迭代解法有如下格式

 3、非线性有限元迭代法

虽然上文只是简单的一维问题，但是我们可以把它当做位移法有限元的原型，对于一般有限元，离散平衡方程一般具有如下形式：

 对于试探解、一般有

  该方程的求解有如下形式

（1）直接迭代法

 直接迭代法中要求K矩阵为u的显式函数，只适用于和变形历史无关的非线性问题。该迭代法每次迭代都需要对新的求逆，计算量较大，于是有了如下改进的的常系数矩阵方法

(2)牛顿-辛普森迭代法 Nwton-Paphson method

运用泰勒展开：

（切线刚度阵）

同理，也可以得到修正的Newton-Paphson 方法

 牛顿迭代法一般具有较好的收敛性，但是对于一些从小被分在二班的非线性同学，他也有很大的局限性

比如对于这个问题，牛顿只好呵呵了

  对于下面问题，牛顿直接哭晕在厕所，当然这种问题只有等我们的arc-length兄来解决了。

再来看看我们上面的问题：

蓝色曲线为精确解，红色点点为固定载荷增量下求得的位移，k=1000时，牛顿迭代法能够很好地跟踪载荷位移路径，得到所有的位移响应。而当k=100时，曲线有下降段，此时牛顿迭代法就没法得到这个区域的位移响应了。