走近弹性力学物理方程

导读：3年前，力学酒吧公 众 号是我最初学习力学理论和有限元分析的科普平台之一，现在我仍然是张伟伟老师的粉丝。张老师不仅才华横溢、文思泉涌，而且持之以恒的在力学理论和科普分享这条路越走越宽，受到了万千用户的好评，让我仰慕已久。

在2022仿真秀主办的“力学与有限元学习月”来临之际（见上图），我们获得了张老师的授权，将在仿真秀分享他的原创力学科普文章，希望能引发理工科学子和学习型工程师朋友们共鸣。并期待张老师在仿真秀平台给用户带来一场面对面的力学科普公开课。

以下是正文：

我们知道，弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。其中，物理方程表征了材料在发生变形时应力与应变之间所满足的关系，因此，也被称为应力-应变关系。因其又反应材料的本质特性，也被称为本构关系，在弹性力学中简化为广义胡克定律。弹性力学旨在构建固体变形的一般规律，本文将从数学连续性的角度出发，考察在三维空间一般情形下的应力-应变关系，并讨论如何由一般情况导出广义胡克定律。

在应用物理方程时，我们经常听说物理方程的其它名称，如本构关系，应力-应变关系，广义胡克定律。实际上，这个名称并不完全相同，或者它们各有侧重。

称其为物理方程时，是相对于平衡方程、几何方程而言的。平衡方程表达了微元体受力方面要满足的平衡条件，几何方程表达了微元体发生变形时需要满足的几何条件。这两类方程的建立不涉及任何有关材料的性质，物理方程则补充了材料的性质，把特定材料的力和变形联系起来，反应了材料物理变形特性。

称其为本构关系时，有一种专门把材料的力与变形性能单独拿出来进行研究的意味。如材料的本构关系研究中，就不涉及材料的平衡方程、几何方程，仅仅是研究材料的力学性能。更具体一些，本构关系研究主要在于判定某种材料的本构关系含有多少个独立常数，并证明它们的完备性，以及通过实验确定出这些常数的值。

应力-应变关系是一个不严谨的称呼。例如，一种新材料在某一方向上进行了拉伸实验，得到了加载条件下的应力-应变曲线，也被称为材料的应力-应变关系。但是，这条曲线无论如何也不能称之为本构关系。为了获得本构关系，需要从不同的加载方向、以及不同的加载形式（拉伸、压缩、扭转、剪切等）对材料做全面的力学性能实验，最终获得完备的、不可约的本构常数（本构关系的系数矩阵）。这时才能称之为本构关系。

可见，应力-应变关系，本构关系，物理方程，三个概念之间有一种递进关系。在实验中通过加载测试，得到的应力-应变曲线都可以成为应力-应变关系，但还不能称之为本构关系；当对材料进行各向加载、获得全面的力学性能后，通过分析、加工可获得本构关系，算是较“全面地”掌握了材料的力学性能；本构关系可以作为物理方程，与平衡方程、几何方程一起，组成封闭的方程组，对弹性力学问题进行求解。

至于通常所说的广义胡克定律，则是对各向同性材料本构关系在线弹性条件下的一个简化。在力学中，只要提到胡克定律，就指力与变形成正比例关系。“广义”突出了材料在复杂应力状态下，以区别于单向应力状态。广义胡克定律从形式上可称为应力-应变关系，它表征了各向同性材料的本构关系，可以与平衡方程、几何方程一起，作为物理方程求解弹性力学问题。

徐芝纶. 《弹性力学》第5版. 高等教育出版社. 2016.3

(完)

者：张伟伟 仿真秀专栏作者