SPH算法简介: 数学基础
SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)算法是一种流体模拟算法，他的特点是简单快速，可以用在例如游戏这样的实时的交互软件中。SPH 算法虽然简单，但要完全搞明白其中的原理和实现方法，也不是易事，写这个系列希望能全面介绍一下相关的内容，如果你搜索到这里，可以仔细看一下这个系列，希望能帮到你。
烟雾、海浪、水滴…，这些司空见怪的自然现象其实有着非常复杂的数学规律，对于流体的研究，有两种完全不同的视角，分别是欧拉视角和拉格朗日视角。欧拉视角的坐标系是固定的，如同站在河边观察河水的流动一样，用这种视角分析流体需要建立网格单元，还会涉及到有限元等复杂的工程方法，一般用在离线的应用中。而拉格朗日视角则将流体视为流动的单元，例如将一片羽毛放入风中，那么羽毛的轨迹可以帮我们指示空气的流动规律。
SPH 算法是典型的拉格朗日视角，它的基本原理就是通过粒子模拟流体的运动规律，然后再转换成网格进行流体渲染。
在正式开始之前，需要把 SPH 算法涉及到的相关数学概念介绍一下，这些概念基本上都是大学数学中的内容，所以不用紧张，翻翻书就能想起来。标量场和矢量场
如果空间区域内一点 ，都有一个确定的数量 ，则称这个空间区域内确定了一个标量场，如果空间区域内任意一点 ，都有一个确定的向量 ，则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如，液体中的密度，就是标量场，而速度，就是矢量场
偏导数
哈密顿算子
哈密顿算子 在流体力学中是如此重要，以至于很多地方将这个符号作为流体力学的标志，所以这里要着重介绍一下，所谓“算子”，就是那种不能单独存在，必须和其他符号放在一起的一种数学符号，例如微分中的那个 。哈密顿算子的定义如下
哈密顿算子有很多有趣的特性，它本身虽然并不是一个矢量，但很多运算确实可以把它视为一个矢量，例如把它作用在一个标量场 上，那么
这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法，得到的 是一个矢量场，称为 的“梯度”，顾名思义，梯度的含义就是标量场 A 在某处变化快慢和方向，比如一个标量场 是一座高山在 处的高度，则 H 的梯度是该高山在某处陡峭的程度，并且方向指向高处。
而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场 上，得到的 称为矢量场 的“散度”，散度的计算和矢量的点积运算相似，得到的是一个标量场。
散度的意义也很明显，就是描述一个矢量场“发散”的程度，例如下面的两个矢量场，左边的有很大的散度，而右边的散度为 0。
