Mathematica实例——利用Mathematica演示量子力学中的波包演化

1背景介绍

在量子力学中，一个粒子对应一个在时空中演化的波函数，与经典力学中仅仅具有质量、位置、速度等属性的点粒子有很大不同。这种"波粒二象性"常常给初学者带来理解上的困难。我们利用Mathematica软件对一维情形下的几个经典量子力学问题进行了数值模拟，包括高斯波包在自由空间的传播和扩散、遇到刚性边界时的反射、遇到势垒或势阱时的反射和透射，以及在谐振子势场中的准经典振动。Mathematica具有强大的符号和数值计算功能，以及简单易用的Manipulate控件，这使得我们可以快速实现代码并方便地演示结果。我们将展示量子波包在不同势场中随时间的演化，这有助于对量子力学的物理图像和基本概念的理解，也为更进一步的探索提供启发。

2物理模型和模拟设定

一维空间中，单粒子波函数的动力学由薛定谔方程

描述。在给定空间势场和初始波函数后，波函数的后续演化就完全确定了。为了方便，这里我们取“自然单位”，将方程中的物理常量和取为1。这样，方程变成，取最简单的一阶欧拉格式，可以写出差分方程

，当时间步长足够小，差分方程的迭代就可以近似给出薛定谔方程的解。其中，对空间的二阶偏导也要用差分格式

来代替。公式(2)(3)就是数值模拟用到的核心方程。

在模拟中，我们使用高斯波包作为初始波函数。一个归一化的高斯波包可以写成

。容易看出，的概率密度是以为中心，以为方差的高斯分布。实际上，其动量表象波函数也具有对称的形式，概率密度|是以为中心，以为方差的高斯分布。因此，高斯波包具有明确的物理意义，我们可以把它大致想成一个具有坐标，动量的“准经典”粒子，只是其坐标和动量的分布有一定的弥散，体现了量子力学中的不确定原理。我们可以期待它的演化行为既具有一定的“经典性”，也有一定的“量子性”，从而更好地体会量子力学与经典力学的区别和联系。

为了进行模拟，我们需要合理的边界条件。我们将高斯波包置于区间中，认为区间之外的波函数为零，这相当于把粒子放在的一维盒子中。可以预期，当波包的空间局域性较好，且波包中心距离边界较远时，波包的演化与其在自由空间中的演化差别不大，模拟结果也证实了这一点。另外，我们可以对模拟过程涉及的一些特征尺度进行估计。高斯波包具有特征波长，因此空间离散步长需要满足；其特征能量，在设定势场时应以作单位；同时，特征能量也给出一个内禀时间尺度，时间离散步长至少要满足，考虑到一阶欧拉格式的稳定性较差，需要进一步减小，以迭代稳定为准（可以用波函数是否保持归一化来判断迭代的稳定性）。最后，我们设定波包中心初始位于，并观察其大致移动到这个过程，这样一来，时间窗口，迭代次数。

3程序设计和代码实现

利用Mathematica，我们可以得到非常简洁的代码实现。值得注意的是，在处理差分方程时，需要把波函数的实部和虚部分开迭代，才能保证稳定性，也就是需要避开复数的计算。我们猜测这与一阶欧拉格式的稳定性较差有关。如果改进差分格式，应该可以直接用复数进行计算。

在上面我们已经得到了一系列波函数概率分布的“快照”（每迭代200步记录一次），使用Mathematica的Manipulate控件，可以很方便地将结果演示出来。

上面的代码会生成一个可以拖动的动态交互控件，我们可以方便地看到不同时刻的波包形态。

4结果演示与讨论

(1)波包在自由空间的传播和展宽

取，波包就在自由空间传播，演化过程如下图所示。我们可以看到波包基本上呈匀速移动，并且在传播过程中不断展宽。

实际上，自由空间中的可以严格解出，容易得到波包的中心位置，波包的方差变化。我们可以把数值结果与理论解进行比较，可以发现还是符合得比较好的，如下面所示。两者之间的偏差可能来自于边界条件的影响。

(2)波包遇到刚性边界时的反射

在处设置一个刚性边界，例如取时，时，可以看到波包在遇到边界时强烈震荡，然后被反射回来。仔细观察可以看出，波包差不多回到原来的位置，说明这个过程中波包的动能没有变化，只是动量反号。

(3)势垒的散射（隧穿效应）

在处放置一个宽为，高为的势垒，可以观察到波包与势垒的散射。可以看到，波包与势垒相互作用后，最终劈裂成了两部分，一部分是透射波包，继续向前传播，另一部分是反射波包，反向传播回来。这就是量子力学中的隧穿效应，粒子有一定几率越过势垒，发生隧穿。如果改变势垒的形状，还可以进一步研究隧穿几率与势垒形状的关系。

(4)势阱的散射

我们将势垒改成势阱，就得到波包与势阱的散射问题。这里是在处放置了宽为，深为的势阱，可以看到，波包遭遇势阱后发生劈裂，最后也是分成透射波包和反射波包。这表明了量子力学的一维散射问题的一般性：不论是势垒还是势阱，对量子波包来说都像一个“障碍物”，有一定的透过率和反射率。这与经典力学是很不相同的，在经典力学里，一个粒子要么动能高于势垒而透过势垒，要么动能不足被势垒反射回来，而势阱则根本不会成为障碍物。

(5)波包在谐振子势中的准经典运动

令，我们就得到了非常熟悉的谐振子势。非常有意思的是，在谐振子势中，波包表现得很像“真正的”经典粒子：不但在做周期性振动，而且波包本身不再随着时间增加而展宽，其局域性得到了很好的保持，而局域性正是经典粒子的重要特性。这种准经典运动的发生并不是显而易见的，背后有着非平凡的物理，实际上，我们可以认为谐振子势和高斯波包都具有某种特殊性，它们的“因缘际会”才导致了这一现象的发生。

5总结

通过这个简单的模拟，我们可以看到很多有趣的量子物理现象。由于本文的初衷不是要探讨物理问题，这里没有进行深入讨论。实际上可以研究的情形还很多，比如周期性结构对波包的调制（滤波）。总之，Mathematica是非常好用的计算和演示工具，特别适合实验性的探索和快速的原型设计，推荐大家多玩多探讨！

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