关于“结构侧向振动”的一次不成功探索
前段时间，写了两篇文章谈单自由度结构的竖向振动，文章从理论及模型计算两个维度，对比时域及频域分析结果的异同。
1、单自由度结构
结构动力学中，一个典型的单自由度结构如下：
图1
对上述结构，其侧向振动周期为T=2π(m/K)^0.5;如果竖杆为等截面直杆，假设其长度为L，惯性矩为I，弹性模量为E，则其侧向刚度为K=3EL/L^3.
假设竖杆截面为600mmX600mm，L=6m，弹性模量为3e4 Mpa,m=28.5t,计算周期为0.5s.
图2
二者的计算结果虽然基本一致，但原理不同，前者我们用的是悬臂杆的侧向弯曲刚度，后者的模拟方式其实是剪切刚度。
2、单层框架结构
我们建立一个四柱框架结构，柱子截面为600mmX600mm，框架梁截面为300mmX600mm,次梁截面为250mmX500mm，楼板厚度为100mm，板面荷载为5.0kPa（2.0kpa）,材料均为混凝土C30;柱距6.0m，高度12.0m，楼板采用刚性楼板假定。这里需要注意：框架边梁刚度放大系数取1.5。
图3
对这样一个结构，我们在楼面标高施加水平荷载300kN，得到侧向位移为44mm，所以侧向刚度为K=300/0.044=6818.2kN/m.
将框架柱的质量指定为0，此时结构质量主要集中在楼板范围，根据软件统计，楼面质量为46.1t，根据质量及刚度，手算得到侧向振动周期为0.5165s，与SAP2000计算结果0.5161s一致。
图4
接下来，我们看这个侧向刚度是怎么计算得到的？
框架结构的侧向变形包含两个方面，其一为剪切侧移变形，其二为整体弯曲侧移变形。
对剪切侧移变形，可以采用D值法计算侧移刚度。梁柱线刚度比为1.5，刚度影响系数α=(0.5 1.5)/(2 1.5)=0.571;D=12*α*i/h^2=12*0.571*187.5=1285.7kN/m;4颗柱的总侧移刚度为 4*1285.7=5142.8kN/m <6818.2kN/m.
框架结构整体弯曲变形，会在柱中形成轴力，柱子的拉压轴力组成抗倾覆弯矩，这个抗倾覆弯矩与柱底弯矩之和等于总的倾覆弯矩，即300*12=3600kN.m,与此相关的讨论在《关于侧向刚度的一些奇怪想法》中曾有提及。
经计算，柱底弯矩为496.72kN.m,柱中轴力为N=134.43kN（拉或压）。
柱轴力引起的单柱平均轴向变形为：NH/2EA=0.0747mm;
柱子轴向变形引起的楼面侧移为：2X0.0747/6X12=0.2988mm;SAP2000计算结果为0.2677mm，如果将轴力抵抗的倾覆弯矩等效为作用在楼面的水平力，其水平力为134.23kN，但按此计算侧向刚度将非常夸张，明显不合理。
图5
结构整体弯曲变形对应的侧向刚度究竟怎么计算呢（或者这个问题本身就有问题）？结构侧移刚度6818.2kN/m与D值法计算的总侧移刚度5412.8kN/m之间的差值1405.4kN/m如何解释呢？感兴趣的读者可以在留言区留言。
接着看，框架结构的整体弯曲效应提高了结构的侧向刚度，如果我们把柱顶设置为铰接，则整体弯曲效应就会消除。此时，楼面侧向变形为133.575mm，对应侧向刚度为2246kN/m，即4*3*EL/H^3，手算结果与模型计算完全吻合。
图6
3、单层框筒结构
在SAP2000中建立下图所示的单层框筒结构，在楼面标高施加水平荷载2430kN,对应侧向变形为3.32mm，侧向刚度为731928kN/m,楼面质量为1337.5t，手算结构侧向振动周期为0.2686s，SAP2000计算侧向振动周期为0.2708s，基本接近。
图7
图8
框筒结构的侧向变形，我们以后再分析，这篇文章主要讨论侧向振动问题。对单质点结构来说，只要我们根据侧向力/侧向变形得到侧向刚度，振动周期的计算基本都是吻合的。
4、多质点结构
为验证SAP2000操作的准确性，我们先从教科书上找一个已知答案的案例。
理论计算过程如下：
在SAP2000中按案例参数分别输入质量及刚度信息，计算得到前三阶周期分别为0.43268s、0.20237s、0.1363s，与理论计算结果完全一致。
图10
5、多层框架结构
1）三层框架结构
分别在YJK、SAP2000中建立四柱三层框架模型（刚性楼板假定、框柱质量为零），同时，在SAP2000中建立3质点模型。
图11
计算得到的侧向振动周期对比如表1.
表1
对比可以发现，YJK-框架模型和SAP-框架模型计算结果很接近，但SAP-质点模型第二侧向周期和第三侧向周期与框架模型结果差异较大，最主要的原因就在于：真实的框架模型，不但存在剪切刚度，也存在整体弯曲刚度，当我们采用常见的“糖葫芦串”剪切模型进行模拟时，无法捕捉到整体弯曲刚度。
图12
图a）为框架结构的第三阶侧向振动模态；图b）为3质点结构（link单元模拟）的第三阶侧向振动模态；图c）为3质点结构（杆单元模拟）的第三阶侧向振动模态。
图13为YJK给出的结构振动信息，可以看出，本示例结构对称均匀，不存在斜向振动及平动与扭转耦联的情况。
图13
下图给出YJK的层质量及层刚度信息。红框括号中的数值即为各层的质量源（D 0.5L），绿框为层刚度信息。
图14
2）12层框架结构
在YJK中建立图15所示的12层框架结构，采用刚性楼板假定，结构质量按YJK默认真实模拟，侧向振动周期对比如表2所示。
图15
对比发现，YJK框架模型与SAP-多质点模型前三阶振动周期比较接近，但高阶振型周期差异越来越大，以致无法接受。
6、多层框筒结构
严格来说，常规的“糖葫芦串”剪切模型并不适用于框筒结构。以下只是为了对比差异。在YJK中建立12层框筒结构（图16），采用刚性楼板假定，结构质量按YJK默认真实模拟，将YJK计算的侧向振动周期与SAP2000多质点模型计算的侧向振动周期对比，结果如表3。
图16
对比发现，对以弯曲变形为主的多层结构，采用常规的多质点“糖葫芦串”剪切模型进行模拟时，其高阶振型的误差将会非常大，且明显大于框架结构的差异。
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