结构振动加速度分析的来龙去脉
在做楼盖竖向振动舒适度分析的时候，我们经常要计算振动加速度。算的案例多了，就会发现，加速度计算，多数情况下，其实是一笔糊涂账。
概况来看，三方面因素导致加速度计算结果存在较大的离散性：1）模型处理层面：结构边界条件、材料弹性模量取值、梁的刚度放大系数、梁与板是否顶平等；2）荷载与激励：荷载取值、人行激励的加载点、加载数量（单人or多人）、加载方式（是否考虑随机性）、人行激励频率取值等；3）结果判别方面：加速度是看瞬态结果，还是稳态结果。
上面提到的问题，今天都不讨论。如果对这些问题感兴趣，可以翻看本号的一篇旧文《楼盖舒适度判别的深度解析》。
今天，我们讨论一个最简单的单自由度结构的振动问题。
1、振动频率为3.0Hz的单自由度结构
首先，构造一个单自由度结构。一根跨度为6m，截面为250mmX250mm的混凝土简支梁，材料为C30；梁跨中作用一个集中力，大小为59.592kN，梁只提供刚度，集中力提供质量，该单自由度结构竖向振动频率为3HZ。
图1 单自由度结构
图2 竖向振动频率3.0Hz
2、单自由度结构-余弦激励
我们在梁跨中作用一个余弦时程。
F(t)=0.35cos(2π·3t)
图3 简谐时程激励
分析得到激励点的振动加速度时程曲线如下, 最大加速度为0.574m/s2.
图4 振动加速度时程曲线
2.1 单自由度的时域分析
上述单自由度的简谐振动问题，我们求解的其实是强迫振动的加速度幅值。
强迫振动的位移时程可以表达如下：
动力幅值等于静力位移（ust）乘以动力放大系数（Rd），当共振时，即beta=1.0，阻尼比定为5%, 则Rd=10.
按上述公式计算位移幅值：
位移动力放大系数Rd=10，加速度在位移的基础上二次求导，放大系数为（6π）^2，最终我们计算得到加速度幅值为1.613e-4x10x(6π)^2=0.573m/s2，与SAP2000计算结果（0.574m/s2）一致。
2.2 单自由度的稳态分析
SAP2000也提供了稳态算法。根据激励时程，我们在频率3.0HZ附近定义一个稳态函数，然后按稳态分析计算激励点的加速度幅值。
图5 稳态函数
图6 稳态分析得到的加速度副值
根据稳态分析得到的加速度幅值为0.576m/s2,与时程分析基本一致。
2.3 单自由度的频域分析
有意思的是，SAP2000 V21版在时程分析时，除了常规的模态法和直接积分法，还给出了频域法。频域法得到的计算结果为0.5758m/s2。
图7 弹性时程求解类型的频域法
图8 加速度时程曲线-频域法
对单自由度简谐振动，频域解也不难得到。
首先将荷载在其频域上展开：
则总响应为：
将y(t)用傅里叶转换来表示：
最后，我们得到一个频率上的转换关系
当发生共振，阻尼比取5%时，加速度幅值关系为：
同样地，与时域分析法类似，可以得到加速度幅值为0.573m/s2.
根据上述推导，我们不难理解SAP2000弹性时程中频域分析法的基本步骤：
1）对外荷载x(t)做傅里叶变换，得到荷载的傅里叶谱X(w);
2）根据外荷载傅里叶谱X(w)和复频响应函数H(w),得到结构反应的频域解U(w)；
3）应用傅里叶逆变换，由频域解U(w)得到时域解u(t).
理论上，频域分析法与直接积分的时域法等效。
2.4 结论
1）针对单自由度的余弦激励时程，我们采用时域分析、稳态分析、频域分析，并结合手算，均得到基本一致的加速度幅值。
2）加速度幅值大小与结构的静态位移、荷载角频率、结构阻尼比相关，当结构发生共振，结构阻尼比取5%，则加速度幅值为：
所以你看，结构共振，相当于一个动力放大器，它将静态位移放大10倍，将静态加速度也放大10倍。如果阻尼比为2%，则放大系数为25倍。
3）在上面的案例中，激励时程峰值仅相当于单自由度质量的0.587%，即使阻尼比为5%，得到的加速度幅值为0.576m/s2,远大于规范限值。
3、单自由度结构-人行激励
接下来，我们将荷载替换为人行激励，行走激励荷载函数参考《建筑楼盖结构振动舒适度技术标准》5.2.1条，但激励频率取为1.5Hz
按照上述公式，得到的激励时程如下所示：
图9 人行激励时程
然后我们分别按三种方法计算加速度幅值。
3.1 时域分析
加速度幅值为0.253m/s2;
图10 时域分析加速度时程
3.2 稳态分析
先定义稳态函数，然后得到三个频率点的加速度幅值分别为0.021m/s2、0.230m/s2、0.021m/s2。
手算加速度幅值与SAP2000计算结果基本一致。
图11 稳态函数
图12 稳态函数计算的加速度幅值
从激励函数来看，函数后两阶相位一致，与函数第一阶相位相差π/2,将三个频率点加速度幅值进行组合，sqrt（0.021^2 (0.230 0.021)^2）=0.2519m/s2.
3.3 频域分析
时程分析类型选择频域法，得到的加速度幅值为0.2529m/s2。
图13 频率分析得到的加速度时程
上述三种分析方法，得到的加速度幅值基本一致。
3.4 结论及人行激励取值讨论
1）在上述案例中，人行激励函数第二阶频率与结构自振频率相同，因此在第二阶频率得到最大的加速度幅值。虽然荷载幅值仅为第一阶函数的40%，但加速度幅值为第一阶的11倍。
2）进一步，我们将结构频率调整为4.5Hz，此时，激励第三阶频率将与结构发生共振。此时，各激励频率点的加速度幅值如下图，前三阶加速度幅值为1：2.8：16.3。
图14 结构频率4.5Hz-稳态分析
3）根据上述两条讨论，选择人行激励函数时，激励函数频率点应尽量包含结构自振频率点。最优选择为荷载第一阶频率与结构共振，其次为第二阶频率与结构共振，再次为第三阶频率与结构共振。
4）舒适度技术标准对人行激励频率点的取值，建议如图15所示。这条规定让不少工程师困惑，如果结合本文的讨论，我们将很容易理解该规定的含义。
图15 激励频率取值-舒适度技术标准
比如结构振动频率为3.6Hz，荷载频率首先应该选择1.8Hz；结构振动频率为6.0Hz，荷载频率首先应该选择2.0Hz。
5）根据舒适度技术标准，人行激励频率范围为1.6~2.2Hz，则结构自振频率在1.6~2.2Hz，3.2~4.4Hz，4.8~6.6Hz时，我们均可以找到一个可以共振的激励频率。
6）如果结构自振频率没有落在上述三个频率范围呢？比如2.8Hz，2.8/2=1.4<1.6,应该取1.6Hz；同时2.8/1=2.8＞2.2，也应该取2.2Hz，究竟是1.6Hz计算出来的加速度更大，还是2.2Hz更大呢？
对单自由度结构，我们知道加速度幅值为：
Rd与关系如下图所示：
图16 频率比与Rd关系曲线
手算复核，这两条激励（1.6Hz和2.2Hz）计算的加速度幅值非常接近，在不好把握的情况下，建议这两条激励均进行计算。
接下来，我们会继续对此问题进行深入研究。
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