来源:刘延柱科学网博客,作者:刘延柱。
图1 刚体相对动量矩坐标系的姿态
设刚体相对 (O-xyz) 各轴的主惯性矩为A、B、C,将动量矩矢量L 直接向 (O-xyz) 各轴投影,分别等于Ap、Bq、Cr。导出
令以上两组公式各项相等,得到ψ、θ、φ 的一阶微分方程组:
其中,ν=L/C,σ=(A-C) /A,ρ=(B-C)/B。作为刚体运动的数学模型,一阶微分方程组比欧拉方程简单得多,实际上是以动量矩守恒的首次积分代替了动力学方程。令一阶微分方程组中第1式与式第3式相除,消去时间变量t,得到仅含θ 和φ 的自治的一阶微分方程:
从上式中积分得到θ(φ),代入一阶微分方程组中第3式和上式消去θ,即导出椭圆函数形式的解析积分,与雅可比从欧拉方程解出的结果相同。
上式也可用于定性分析。利用相平面的奇点理论,在 (θ, φ) 平面内分析刚体绕主轴转动的稳定性。令上式的分子和分母同时为零,共确定6个奇点Sj (j=1,2,⸱ ⸱ ⸱,6),分别对应于刚体绕3个惯性主轴正负方向的稳态转动。利用对奇点类型的判断,确定刚体绕主轴转动的稳定性条件。
图2 动量矩坐标系相对惯性坐标系的姿态
设M 为刚体上作用的对O 点的力矩,依据动量矩定理dL/dt=M,列出
考虑 (O-XYZ) 坐标系牵连转动对刚体角速度的影响,在下式中
应增添动量矩L 进动产生的角速度增量,改为
为简化表达,其中与和
相乘的括弧内α、β、ψ、θ、φ 的三角函数组合以省略号表示。令动量矩矢量L 在 (O-xyz) 各轴上的投影分别与Ap、Bq、Cr 相等,且利用下式消去
和
导出
其与
组成以L、α、β、ψ、θ、φ 等6个状态变量的一阶微分方程组,作为欧拉方程的替代。
以刚体在粘性介质中的运动为例,设阻尼力矩M 与角速度ω 之间满足线性关系:
将下式代入到上式中,
变换为对 (O-XYZ) 各轴的投影,再代入式
设刚体的自旋角φ 和进动角ψ 均快速变化。令上式在φ 和ψ 的每个变化周期内平均化,得到L 和和
的平均值:
表明阻尼力矩的平均效应使刚体的动量矩L 的模减小,而平均方向仍保持与Oζ 轴一致。
参考文献:
[1] 刘延柱. 欧拉情形刚体定点运动新解. 上海力学, 1981, 2 (3) : 52-55
[2] 刘延柱. 刚体的拟Euler-Poinsot运动. 固体力学学报, 9, 1988 ,4: 294-302
[3] Liu Yanzhu. The development of the dynamics of rigid body with state variables. Acta Mechanica Solida Sinica, 1990, 3 (3) : 307-314