力学科普之：拉格朗日函数

来源：CubicL基础力学教学茶馆

什么叫“作用量对参量的微分”？

乍一看你或许会觉得一头雾水，不过我换个说法你就明白了：拉格朗日函数，就是单位过程内作用量的积累量。

这种描述就很熟悉了，你要还觉得迷惑，那我用这么个定义提醒你：有道是，速度是单位时间内位置的变化量；有道是，密度是单位体积内的质量。

这下，你该懂了吧？

既然如此，我为什么要给出第一种表述呢？这牵涉到之前所说的微分的问题，不过微分问题解释起来也很容易。那就是，你还记得高中物理对“瞬时速度”的定义吗？中学教材里往往会这么教你：考察某点A 或者某时刻t 的瞬时速度，可以在其周围截取一小段运动，根据小学数学里就学过的“位移/时间=速度”，便可以定义出这一小段的平均速度。然后，当我们把截取的小段无限缩小，最后搞出个无限接近零的一段位移除以这段位移所对应的无限接近零的一段时间，这就是瞬时速度。这实际上是微积分的基本思想之一，我们现在的数学书里经常使用的是柯西的那一套，什么任意小啊，什么总存在怎么怎么样啊……但实际上，对于不是数学系的人而言，这些都是吓唬人的，完全没必要这么刻板，只要你有点想象力，我告诉你五个字“无限接近零”，你肯定就理解得八九不离十了。

回到正题，关于拉格朗日函数，你完全可以仿照瞬时速度的定义去理解，只不过速度是随着时间积累位移，而拉格朗日函数则是随着过程积累作用量而已。拉格朗日函数比较抽象，也比较广泛，尽管到现在已经说你使用瞬时速度的概念去理解就行了，但你八成还会问，“单位过程”是什么？实际上这个概念并不可怕。在讲作用量的时候说过，作用量这种东西其实无处不在，不同问题里可以是不同的量，同样所谓的“过程”在不同问题里也可以有各种各样的形态。上面举的都是以时间衡量过程的例子，而实际上过程参量视问题可以变化。例如投资做生意，当你试图用最少的投资获得最多的利润时，这时你的过程参量就是你投的资金了，而作用量则可视作你获得的利润，而拉格朗日函数便是你的利润随着投资而增长的这么一个比率。

不过话说回来，对于物理问题，我们往往还是把时间当做衡量过程进行的进度的量，所以在力学问题中，拉格朗日函数一般依然是对时间而言的，结合对微积分的介绍，于是就有这个公式：S=∫Ldt。

上式中，L 就是拉格朗日函数，t 则是时间。这个式子的意思就是，作用量是拉格朗日函数随着时间积累起来的，就像位移是速度随着时间积累出来的结果一样。进一步讲，作用量的另一表达式S=∫(pdx-Edt)，两相对比，我们还可以得出：L=pv-E。

由于速度v=dx/dt（有了前面对瞬时速度的定义，这个表达式对你来说已经无压力了吧？），所以拉格朗日函数L 在力学上就是这么个玩意，再进一步使用p=mv、E=T V（T 是动能，V 是势能)、T=mv²/2这些耳熟能详的公式，还可以把拉格朗日函数化成这个形式：L=T-V。

这样，力学教材里那些概念性的东西，对你来说大致就没什么陌生的了。数学说完了，最后再用大白话重新解释一遍：拉格朗日函数就是作用量在微积分的框架下导出的一个“率”，也就是作用量随着过程的进行而积累的“积累率”。

值得说明的一点是，对于绝大多数问题（不止是物理问题）而言，最小作用量原理一旦成立就是普适的，意思是你随便摘出一段过程来都要满足这个原理，无论你把过程的起始点和终点放在哪都满足所谓的“δS=0”，在这种条件下不难理解，δS=0和δS=0是等价的，任意一段过程中作用量无一例外的取最低，这意味着拉格朗日函数同样要处处取最低。

有一个比较幽默的例子可以助你理解：考场上，如果你考了个最高分也就是满分，那你每一题都必然是满分；如果你得了个最低分也就是鸭蛋，那你每一题都必然是零分。反过来讲一样成立，如果你每一题都得满分，整张卷子必然是满分；如果每一题都零分，最后整张卷子也必然是鸭蛋。不过当然你也可以看出来，只有对于满分和零分这种极端分数，这逻辑才能成立，但是作用量本来就是以“最”字看家的，所以这对它来说是一个必然。