单自由度振动系统及传递函数

来源：声振测试（ID：gh_21d5ab08b079），作者：于长帅。

工程上很多实际系统可以抽象为单自由度问题，使其问题简单化，例如图1机床固定到基座上，基座和机床之间可以抽象为单自由度问题，图2为无人机激光雷达悬挂在无人机支架上，无人机支架和激光雷达系统可以抽象为单自由度系统。

图1

图2

弹性元件可理解为弹簧刚度系数，弹簧刚度系数的物理意义是使弹簧产生单位位移所需施加的力，弹性元件假定弹簧是无质量的，假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围。

弹簧并联的等效刚度，是并联弹簧刚度之和。

弹簧串联后的等效刚度如下图所示。

惯性元件，由牛顿第二定律可知，惯性元件会产生惯性力的作用，如下图所示。

阻尼元件，阻尼系数是使阻尼器产生单位速度所需施加的力，性质如下图所示。

这里我们把结构中呈现出来的全部阻尼都近似为一般粘性阻尼，把上面的时间域方程变换到拉氏域（复变量p），并假定初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：

或

其中，Z 为动刚度。

变换上两式可得传递函数的定义

该传递函数是个复值函数，如下图所示。

上文中讨论了拉氏域中单自由度系统的输入和输出之间的关系，这种关系也可以在频域或时域中表达。沿频率轴 (jω) 算出的传递函数叫做频率响应函数 (FRF)，简称频响函数：

频响函数则完全由传递函数推导得来。对于稳定的线性定常系统，令σ=0, 则s=σ jω=jω，系统的频率响应函数H(ω)=R(jω)/E(jω)。显然，频响函数是传递函数的特例，其只是简单地将传递函数的复变量s 用jω 替代得到的。

(1) 极点

在上式中，右端的分母叫做系统特征方程，它的根即为系统极点。

我们来看一下传递函数在S 平面上的极点分布与原函数的波形对应图。注意，由于传递函数H(s) 与冲激响应h(t) 是一对拉普拉斯变换对，所以传递函数实际也表现了不同系统在面对冲激信号激励时候的响应。由此，图中预言了系统在时域h(t) 波形的特性。

从图中可看出，只有当极点位于S 平面左半平面时，系统是稳定的。而我们在机械工程领域遇到的绝大部分对象都是稳定的，所以系统3是我们研究的重点。

(2) 阻尼比和固有频率

根据上式可以得到一些重要概念，如果没有阻尼 (C=0) 则所论系统是保守系统，我们定义系统的无阻尼固有频率（单位：rad/s）为：

临界阻尼Cc 定义为使

根式项等于零的阻尼值

阻尼比ζ 为

阻尼有时也用品质因数Q 因数来表示

从

我们可以求得

的其次方程中在时域中的解

系统按阻尼值的大小可以分为过阻尼系统 (ζ1>1)、临界阻尼系统 (ζ1=1) 和欠阻尼系统 (ζ1<1)。过阻尼系统响应只含衰减成分，没有振荡趋势；欠阻尼系统的响应是一种衰减振荡；而临界阻尼系统则是过阻尼系统和欠阻尼系统之间的一种分界。实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形，欠阻尼情况下

是两个共轭复根

其中，σ1 为阻尼因子，ω1 为阻尼固有频率。

有关系统极点的另外一些表达式

(3) 留数

考虑到

和

的传递函数可写成如下形式

再展开部分分式形式，则有

这里

其中，A1 和A1*就是留数。

(4) 单自由度系统举例

考虑一个M=2kg，C=4N/(m/s)，K=5000N/m的单自由度系统，其拉氏域的系统方程为

这里Z(p)=(2p² 4p 5000) 是动刚度。

传递函数是动刚度的倒数

系统极点，即特征方程p² 2p 2500的根，是

无阻尼固有频率

或

临界阻尼

阻尼比

留数

因此，传递函数的部分分式形式为

参考文献：

[1] 沃德·海伦, 斯蒂芬·拉门兹, 波尔·萨斯. 模态分析理论与试验[M].北京理工大学出版社, 2001.

[2] 牛辉  模态空间，传递函数和频响函数的关系

[3] 百度文库，机械振动 第一章（单自由度系统的振动）