室内声学设计：房间简正模式

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我们知道好的音响器材需要获得平直的频响曲线，而其中的高音和低音扬声器的频响曲线都不是平坦，分别在低频和高频端有所衰减。为了获得整个音响系统平直的频响，需要设计分频器，将原始信号分成不同频段，然后再分配给相应频段频响平直的扬声器来发声，实现多扬声器单元的协同工作。音响设备中的分频设计常见的有二分频和三分频。

图1 高、低音单元频响示意

图2 三分频的音箱

高、低音扬声器声辐射的频响的差异是与声波的波长及扬声器的尺寸有关，尺寸大的扬声器辐射波长比较长的低频声效果比较好，而尺寸小的扬声器辐射波长比较短的高频声的效果比较好。

由于壁面的反射，房间中的声场将是驻波的形式。如果空间的几何形状不规则，声场将非常复杂，必须采用近似的方法来研究声场的特性。采用何种近似方法与房间的几何尺寸和声波的波长有关。

1. 三分频段

南京大学程建春教授^[1]在其《声学基础》一书中提出分三个频段来研究房间内的声场问题，分别是（其中V 是房间的体积，λ 是所关心的声波的波长）：

• 甚低频³√V <<λ：当声源的频率很低，以至于声波波长远远大于房间的线度（其实这时准确地应该称作腔体而不是房间），这时腔体内难以形成驻波，腔体中的声场与空间坐标无关，为均匀声场。

  
  

• 低中频³√V -(1/3~3)λ：房间的线度在 (1/3~3) 倍所关心的声波波长范围，必须用简正模式理论来分析室内声场的特征，成为波动声学方法。

  
  

• 高频³√V >>λ：房间的线度远大于所关心的声波波长，这时房间内将激发出很多简正模式，用简正模式展开的方法研究空间声场就必须求很多项之和，变得很不方便。另外，当房间的形状较复杂（如剧院等）时，简正模式本身就难以得到解析解。这时候可用统计能量法研究声场的特性，称为几何声学或统计声学方法。

因为在甚低频条件下，腔体内声场分布均匀，不存在需要进行声场设计获得均匀声场的委托，所以一般室内声学中所关注的频段为低中频波动声学范畴和高频几何声学范畴，即二分频段。

2. 二分频段

Bies和Hansen^[2]在其工程噪声控制一书中以10倍声波波长作为高低频段近似分频点：

• 低频³√V <10λ；

  
  

• 高频³√V >10λ。

3. 施罗德频率 (Schroeder Frequency)

在室内声学设计中，采用施罗德频率来区分低频波动声学频段和高频几何声学频段也是常用的方法。关于施罗德频率的知识，我们稍后再作详细介绍。

图3 波动声学和几何声学的施罗德频率分界

在高频段可以用几何声学或统计声学方法来研究，经常也把符合这种条件的房间称为赛宾房间 (Sabine Rooms)。

在运用几何声学分析室内声学问题时一定要注意，在理解室内声学的物理本质时还需要将波动声学的概念牢记于心，毕竟几何声学只是一种近似简便的方法。著名声学家库图鲁夫 (H. Kuttruff)^[2]在他的《房间声学》一书中写道：“从物理本质上讲，波动（声学）理论是最准确可靠的，因此是深入理解围蔽空间内声传播特性的根本。正因为如此，当我们使用简化方法时，应将波动理论牢记于心，才能透彻理解”。

简正模式理论是求解有限空间中声场的基本方法。简正模式的物理意义也非常明显，每个简正模式代表一个驻波模式，而每个简正模式的简正频率就是房间的共振频率，这是实验中可测量的物理量。声源在房间内激发各种简正模式，而房间内的总声场就是被激发的各个简正模式的叠加。

1. 房间简正模式理论

设矩形房间V (0<x<lx ; 0<y<ly ; 0<z<lz)，边界刚 (x=0, lx ;y ;z) 简正模式Ψλ 和简正频率ωλ 满足方程：

边界条件为：

解方程可以得到房间的简正频率公式：

式中，p、q、r=0,1,2…..为对应的x、y、z方向的简正模式数，房间的简正模态表示成 (p, q, r) 的形式。

简正模式仅沿着x、y、z轴向中的某一个方向的模式波，称为轴向波；沿两个方向的模式波称为切向波；沿三个方向的模式波称为斜向波。

图4 房间简正模式轴向/斜向/切向波模

简正模式的存在，使得房间内的声场分布出现驻波，在房间内形成声场分布的极大和极小交替变化。图5中给出了某一房间沿长度方向4次简正模式下 (4,0,0) 的声压分布，图6是对应的速度分布。

图5 某房间 (4,0,0) 简正模式下声压分布

图6 某房间 (4,0,0) 简正模式下速度分布

以一个5m*4m*3m的房间为例，简正模式的计算结果和实测结果吻合得非常好，下图是房间内100Hz以下低频部分的频率响应曲线，在简正模式对应的频率处出现声压级峰值。

房间内各简正模式下声场分布如下图所示：

2. 房间模态声场特征

图7中是某一体积为180m³房间内测得的简正模式的情况^[2]，在80Hz以下的低频部分，分别标出了各简正频率对应模式，最低的为 (0,1,0) 模式。在高于80Hz的频率，由于简正模式分布比较密，已经无法标出各简正频率的模式号。

图7 某房间内的简正模式分布

在房间内用声源激发声场，当声源停止发声后，可以看到各频率的声波的衰减情况，非房间简正模态的频率衰减非常快，而不同简正频率的衰减速率也各不相同。

图8 房间低频声场的衰减特征

下图是用COMSOL仿真软件计算给出的一个小房间在最低阶模态频率74.9Hz时的房间内的声场分布。

图9 COMSOL仿真的房间模态声场分布

3. 模态密度

在低频时由于模态频率比较稀疏，房间内声场将出现不均匀；高频时模态频率比较密，很多个模式的声场叠加在一起形成相对均匀的声场分布。我国著名的声学家马大猷院士1939年在美国声学学会杂志上发表了计算房间内的简正模式数的论文^[4]，给出了室内声学中房间模态的计算公式：

据此可以计算出房间内的模态密度：

一些ISO标准中对声学测试房间（如混响室、隔声测试室等）低频截止频率的确定基于房间的模态密度在25个左右。房间的截止频率和扩散场频率（一般要求模态密度到几百个）之间的频率范围内，是室内声场设计中需要进行模式声场处理的频段，以获得更加理想的室内声场。

4. 房间频率简并

考察一房间，取lx=3m，ly=4.5m，lz=2lx=6m。根据房间模态的计算公式，可以计算得到：

• 当 (p, q, r)=(1,0,0) 时，f100=c0/2/lx=57.3Hz；

  
  

• 当 (p, q, r)=(0,0,2) 时，f002=2c0/2/(2lx)=57.3Hz；

可以看到，(1,0,0) 和 (0,0,2) 的模态频率都为57.3Hz，两个模态的频率并成一个频率，室内声学中，把不同的简正模式具有相同的简正频率的现象称为频率简并。频率简并将使得某个频率区域内没有简正模式，而有些区域内简正模式过于丰富，造成室内声场传输特性变差，声场不均匀。

5. 房间尺寸的黄金比例

产生频率简并的原因是因为房间尺寸的简单比例关系。因此，房间设计时尺寸比例应不规则。Cox 认为房间比例尺寸可由下图确定黄金比例，图中黑色 区域是最佳的房间比例，灰色的其次。房间尺寸设计中应尽量在黑色和灰色 区域。

参考文献：

[1] 程建春. 声学原理.  科学出版社，北京，2012

[2] D.A Bies & C.H. Hansen. Engineering Noise Control, Spon Press, London, 2009.

[3] H. Kuttruff. Room Acoustics, 5th Ed., Spon Press, London and New York, 2009. pp.68.

[4] F.V. Hunt, L.L. Beranek, and D.Y. Maa (1939), Analysis of Sound Decay in Rectangular Rooms, J Acoust. Soc. of Am. 11:80-94

[5] 克来默. 室内声学设计原理及其应用. 同济大学出版社， 王季卿 等译

[6] Trevor Cox. Room Sizing and Optimization at Low Frequencies. Audio Eng. Soc., Vol. 52, No. 6, 2004