弹性力学物理方程

来源：力学酒吧（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。

我们知道，弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。其中，物理方程表征了材料在发生变形时应力与应变之间所满足的关系，因此，也被称为应力-应变关系。因其反应材料的本质特性，也被称为本构关系，在弹性力学中简化为广义胡克定律。弹性力学旨在构建固体变形的一般规律，本文将从数学连续性的角度出发，考察在三维空间一般情形下的应力-应变关系，并讨论如何由一般情况导出广义胡克定律。

在三维空间一般情况下，考虑剪应力互等定理，一点处的应力状态和应变状态可由6个独立的应力分量和6个独立的应变分量唯一确定，它们分别为

认为应力分量为应变分量的一般函数，设

这就将每一个应力分量写成了关于6个应变分量的多元函数。我们以σ1 为例来考虑，只要函数f1 为光滑连续函数，利用多元函数泰勒级数展开，可得

其中，(f1)0 表示弹性体的初应力，不考虑初应力，即 (f1)0=0。上式只展开到一阶项，更高阶的项表示在余项R(ε) 中，由于弹性力学中考虑小变形假设，余项R(ε) 中表示高阶无穷小项，忽略高阶无穷小之后，上式将变为应变分量的一次函数，并且函数对各应变分量的一阶导数在初始状态也应为常数，设

因此，式

可近似写成一次函数

为了方便描述，我们做如下标记：

对应的当σy 按照下式进行泰勒级数展开，

并忽略二阶以上的高阶无穷小时，也可以得到类似于下式的方程，

并标记其系数为

类似地，所有的应力分量都利用泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶无穷小，都可以写成下式的形式。

将应力分量和应变分量各自排成一列成为列阵，即

因此，三维一般情况下，应力-应变关系可以表示为矩阵形式

这里，[C] 为物理方程的系数矩阵，共36个常数。可以看出，当系数矩阵中所有常数均不为0时，所有6个应变分量都会影响任何一个应力分量，这将意味着剪切应变不仅会引起切应力的改变，还会引起到正应力的改变；同样，线应变的改变不仅会引起正应力的改变，也会引起切应力的改变。反过来，应力对应变的影响也类似的耦合在一起。具有这样特性的材料被称为极端各向异性材料，这样的材料在任意方向上都将表现出不同的力学性能。

不过，即便是极端各向异性材料，系数矩阵的36个常数也并非完全独立的。我们知道，当压缩一个线性弹簧时，外力做功等于弹性势能的增加量，为

这里，E 表示弹性势能，F 为外力，S 为位移。将这一定义应用到弹性微元体上，若应变分量的改变量为ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6，则微元体的应变能（成为应变能密度）改变量为

上式中假定了材料为线弹性材料。并且e 表示应变能密度。引入张量记号，上式可写为

在张量体系中，具有某一项中有两个相同的下标时，称之为哑标，表示进行求和计算，将上式展开后，即为

再回到应力-应变关系矩阵形式，针对于每一个应力分量，利用哑标可写为

这里，有一对下标j，表示需要求和。即上式展开后，可写成

当i 从1变化到6，所有的应力分量均可表出。现在把上式代入到

得

同理，应变能密度也可写为e=1/2σjεj，将σj=Cjiεi 代入，可得

由于相同的应变分量应该引起相同的应变能密度，因此上两式应该相等，即有Cji=Cij，这说明物理方程的系数矩阵具有对称性，因此物理方程中的系数矩阵应该为对称矩阵，即系数矩阵为

所以，极端各向异性材料物理方程包含21个独立的常数，对角线两侧15对常数对称相等，36-15=21。结合三维一般情况下应力-应变关系矩阵形式公式可知，C11 表示ε1(εx) 对σ1(σx) 的贡献系数，C12 表示ε2(εy) 对σ1(σx) 的贡献系数，C13 表示ε3(εz) 对σ1(σx) 的贡献系数，C14 表示ε4(γxy，剪切应变) 对σ1(σx) 的贡献系数，以此类推，可知系数矩阵中各系数的意义。

图1 关于xoy 平面对称两个对称坐标系

仍考虑应变能密度e，将e=1/2Cijεjεi 展开后，有

假设材料上任意一点A，设其在坐标系 (a) 中的坐标为 (x,y,z), 则在坐标系 (b) 中坐标为 (x,y,-z)。假设A点在坐标系 (a) 中z 方向的位移为w，则在坐标系 (b) 中z 方向的位移为-w。考察几何方程，

可见，在两个坐标系中，位移w 求导，两个坐标系中反号，位移量对z 求导，两个坐标系中反号。因此，六个应变分量在两个坐标系中，只有ε5(γyz=əv/əz əw/əy) 和ε6(γxz=əu/əz əw/əx) 会变号，其它均保持不变。然而，A点的应变能不会因为坐标选取不同而不同，因此，为了保证应变能相同，在下式中

含有一次ε5 或ε6 的项，其系数应该为零。因此，有

系数矩阵可记为

这样，对于物理方程系数矩阵，其独立的21个常数又减少了8个，共有13个独立常数。

如果某一材料有三个弹性对称平面，如图2所示，设空间任意点A 在坐标系 (a) 中的坐标为 (x,y,z)，在坐标系 (b) 中的坐标为 (x,-y,z)，在坐标系 (c) 中的坐标为 (-x,y,z)，在坐标系 (d) 中的坐标为 (x,y,-z)，因此，对坐标求导后，在两对称的坐标系内，互为相反数。位移分量u、v、w 在各自的对称坐标系下也会反号。

图2  关于三个坐标面对称的坐标系

(a) 与 (b) 关于xoz 对称；(a) 与 (c) 关于zoy 对称；(c) 与 (d) 关于xoy 对称

类似于具有一个弹性对称面，考虑坐标系 (a) 和 (b)，同理可推出

和

因此，含有一次ε4 或ε5 的项，其系数应该为0。因此，有

再考虑坐标系 (a) 和 (c)，可推出

和

因此，含有一次ε4 或ε6 的项，其系数应该为0。因此，有

综合

可知，当存在三个弹性对称面时，与只有一个弹性对称面相比，还有四个常数为0，它们分别为

此时，系数矩阵为

这种具有三个弹性对称面的材料被称为正交各向异性材料。

设在正交各向异性材料的三个正交弹性对称面中，有一个弹性对称平面内材料具有各向同性材质，这样的材料被称为横贯各向同性材料。如图3所示的微元体在水平平面内具有各向同性性质，则对该微元体施加x 方向（如图中所示σ）的载荷和y 方向（图中垂直于σ 的方向）的载荷，其变形效果相同，即

同理，施加如图中τ 切应力和垂直于τ 方向的切应力，其变形效果也完全相同（弹性对称面的力学性能相同），即

图3 微元体模型

这意味着对于横贯各项同性材料，还将减少2个常数，系数矩阵变为

此外，对于横贯各向同性材料，C44 也不是独立的。为了说明这一点，我们讨论纯剪状态下的应变能，如图4所示

图4  纯剪应力状态

在纯剪应力状态下（图4中蓝色线表示），只有应变分量ε4≠0，其余均为0，因此，应变能密度可表示为

由于纯剪状态等价于图4红色所示的主应力状态（旋转45°后得到），有

代入到应力-应变关系的矩阵，求应变分量为

求主应力状态的应变能为

将

代入到

并考虑平面内同性，即C1'1'=C2'2'=C11，C1'2'=C2'1'=C12，则可得

使下两式相等

即可得到

这就证明了C44 不是一个独立的量，它可由C11 和C12 表出。因此，在横贯各项同性条件下，系数矩阵为

对于横贯各向同性，其独立系数为C11、C12、C13、C23、C55，共5个独立的弹性常数。

各向同性材料表示材料任意方向的性质都相同，因此在x、y、z 方向施加载荷，弹性系数相同，即

在各个平面内产生剪切变形，剪切变形系数也相等

由于材料为各向同性和正交性，y 方向线应变对σ1(σx) 的贡献系数C12 应该等于z 方向线应变对σ1(σx) 的贡献系数C13；x 方向线应变对σ2(σy) 的贡献系数C21 应该等于z 方向线应变对σ2(σy) 的贡献系数C23；再考虑系数矩阵的对称性，有

因此，各向同性材料的系数矩阵为

从中可以看出，对于各向同性材料，其独立参数只有2个，C11 和C12。结合应力-应变关系的矩阵，可得

根据拉梅给出的物理方程

对比上两式可知，

而且

和

这里E 和μ 分别为杨氏模量和泊松比，因此有时说各向同性材料包含两个常数：λ和G （它们被称为拉梅常数），有时也称各向同性材料包含两个常数为E 和μ。

在应用物理方程时，我们经常听说物理方程的其它名称，如本构关系，应力-应变关系，广义胡克定律。实际上，这个名称并不完全相同，或者它们各有侧重。

称其为物理方程时，是相对于平衡方程、几何方程而言的。平衡方程表达了微元体受力方面要满足的平衡条件，几何方程表达了微元体发生变形时需要满足的几何条件。这两类方程的建立不涉及任何有关材料的性质，物理方程则补充了材料的性质，把特定材料的力和变形联系起来，反应了材料物理变形特性。

称其为本构关系时，有一种专门把材料的力与变形性能单独拿出来进行研究的意味。如材料的本构关系研究中，就不涉及材料的平衡方程、几何方程，仅仅是研究材料的力学性能。更具体一些，本构关系研究主要在于判定某种材料的本构关系含有多少个独立常数，并证明它们的完备性，以及通过实验确定出这些常数的值。

应力-应变关系是一个不严谨的称呼。例如，一种新材料在某一方向上进行了拉伸实验，得到了加载条件下的应力-应变曲线，也被称为材料的应力-应变关系。但是，这条曲线无论如何也不能称之为本构关系。为了获得本构关系，需要从不同的加载方向、以及不同的加载形式（拉伸、压缩、扭转、剪切等）对材料做全面的力学性能实验，最终获得完备的、不可约的本构常数（本构关系的系数矩阵）。这时才能称之为本构关系。

可见，应力-应变关系，本构关系，物理方程，三个概念之间有一种递进关系。在实验中通过加载测试，得到的应力-应变曲线都可以称为应力-应变关系，但还不能称之为本构关系；当对材料进行各向加载、获得全面的力学性能后，通过分析、加工可获得本构关系，算是较“全面地”掌握了材料的力学性能；本构关系可以作为物理方程，与平衡方程、几何方程一起，组成封闭的方程组，对弹性力学问题进行求解。

至于通常所说的广义胡克定律，则是对各向同性材料本构关系在线弹性条件下的一个简化。在力学中，只要提到胡克定律，就指力与变形成正比例关系。“广义”突出了材料在复杂应力状态下，以区别于单向应力状态。广义胡克定律从形式上可称为应力-应变关系，它表征了各向同性材料的本构关系，可以与平衡方程、几何方程一起，作为物理方程求解弹性力学问题。

参考文献：

张少实, 庄茁. 《复合材料与粘弹性力学》第2版. 机械工业出版社. 2011.6

徐芝纶. 《弹性力学》第5版. 高等教育出版社. 2016.3