我的德国汉诺威大学土木工程有限元学习史

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作者优秀: 优秀教师/意见领袖/博士学历/特邀专家/独家讲师
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汉诺威大学 university of hannover

导读：受仿真秀平台邀请，我于9月2日分享了一堂线上公开课《有限元分析在岩土工程中的应用概述》，目前在仿真秀官网和App支持回看。其中，我以自己不多的储备与国外求学经历分享了我对这一话题的一些浅薄的看法。荀子曰：“青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水。”又云：“君子生非异也，善假于物也。”若为诸君所假，吾将不胜欣喜。

一、我的土木工程有限元学习史

回想起来，学习有限元的经历几乎伴随着我在德国求学的整个过程。

汉诺威大学土木工程专业的硕士课程里的五门必修课，其中两门课与有限元相关, 固体力学、有限元方法在静力学与动力学中的应用(Finite Elemente Anwendungen in der Statik und Dynamik，以下简称FEA)。再加上我被要求在两学期内补修两门本科课程：弹性力学 (Elastomechanik)与数值力学(Numerische Mechanik)。

于是，对我而言的必修课中有限元七占其四。弹性力学为有限元打基础，数值力学讲授线弹性有限元，固体力学（Festkörpermechanik)与FEA这两门课则讲授非线性有限元。

所以我和我的同学都戏称，汉诺威大学应该改称汉诺威有限元大学。

N教授与M老师是我有限元方面的启蒙老师。毫不夸张地说，是M老师把我领入有限元的大门，耐心地听我用蹩脚的德语提问，一点一点地讲解。从线弹性有限元的Patch-Test, Jacobi Matrix到塑性力学的 Newton-Raphson, Return Mapping。

在另一门有限元的必修课FEA中，对几乎所有的非线性有限元内容进行了全方位讲授，其中重点讲授几何非线性。犹记得每周四下午15:45 在R教授深入浅出的讲授下，我学到了由欧拉杆压杆稳定问题引申出的Verzweigungsproblem (engl. Bifurcation Problem)，由Von Mises 桁架引申出的Durchschlagsproblem (engl. Snap-through Problem) 等等。

汉诺威大学读书馆

二、有限元经典案例: Patch Test

有限元法的实质，是一个基于能量法（如Ritz 方法&Galerkin 方法）配合弱形式基于各种实际情况假设近似求解平衡偏微分方程的工具。口试时被N教授问到的有关有限元的第一个问题是：有限元方法的优点是什么？当时我回答：通过网格的精细划分可以极其精确地模拟几何形状。N教授当时宽容地笑笑，换了更简单的问题继续提问。

后来逐渐明白，N教授想听到的答案是“有限元使用了弱形式弱化了平衡方程，使得平衡条件只需要在积分意义上满足，从而可以选择次数更低的形函数求解偏微分方程，同时所有的力亦均可以等效节点力替代，大大降低了求解难度”。

下面以有限元经典案例Patch Test为例，拿出有限元里的一小部分内容来示例，即如何计算等效节点力。

实体单元的弱形式平衡方程可表示为：

式中左侧表示内力虚功，右侧则分别为体力虚功及面力虚功。

Patch-Test是在一个平面应力状态的正方形板(边长为l，板厚为d)，同时在右侧两个面加均布荷载q0，左侧则分别施以滑动支座，如图1所示。

图1 Patch Test 示意图

若以解析解求解易知，此时的应力为。应变为 , 。同时，Patch Test亦可如图2所示建立有限元网格，该网格以二次形函数的三角形单元进行网格划分。在本例中，边长 =10cm，板厚 =1cm。均布荷载 =60kN/cm，所用材料为钢，其杨氏模量 =210GPa, 泊松比 =0.3。

图2 Patch Test 网格节点示意图

图3 二次形函数的三角形单元

图3所示的三角形单元形函数为：

面力的等效节点力可表示为：

式中

为雅可比矩阵的值。

以6号单元为例，作用于它的均布荷载为：

图4 单元(5号&6号)的投影及等效节点力计算

计算等效节点力的前，需用雅可比矩阵对单元进行投影，使之适用于单元的自身局部坐标(参见图3，图4&图5)。

故而6号单元的等效节点力计算如下：

6号单元的等效节点力为：

式中d为板厚，d=1cm。

作用在6号单元上三个等效节点力之和为：

三力之间的关系为：

相同过程对3号、4号及5号单元如法炮制(如图4&图5)，并组装（Assembly，如图6）

图5单元(3号&4号)的投影及等效节点力计算

图6 单元的组装(Assembly)

最终各节点的等效节点力为：

施加等效节点力，计算。

图7 施加等效节点力后的Patch-Test

得到 kN/cm2(如图8)，与解析解 = kN/cm2相符。

图8 应力分布图

应变的解析解为：

应变的数值解与解析解亦相等(如图9)

图9 应变分布图

总之，在本例中，使用有限元的弱形式计算得到的等效节点力取得了与解析解同样的效果，证明了弱形式在本例中的正确性。

三、土木工程有限元分析入门

为了增进与土木工程有限元分析研究人员和理工科学子进一步交流，9月9日19时《超级话题》第十三期，我与老中铁设计孙智道老师将在仿真秀土木工程行业群，畅聊《土木工程有限元分析入门》学习历程、学习方法、学习资料和学习案例等。以下是课程安排，诚邀理工科学子和土木工程有限元分析研发人员进群沟通交流，并为200名用户提供直播回看和资料下载。

本期主题

土木工程有限元分析入门

《如何成为年薪30-50万的土木工程师》

本期嘉宾

曹舒瀚博士仿真秀专栏作者
汉诺威大学岩土工程研究所研究员

曹舒瀚，现为汉诺威大学(Leibniz Universität Hannover) 岩土工程研究所 (Institut für Geotechnik) 研究员，在读博士。主要研究方向为浅基础在循环荷载作用下循环变形的数值模拟。授课内容包括土动力学、地下特种结构与填埋场技术、岩土工程数值模拟等研究生课程。