深入理解数值计算网格(4)--万能的四面体

在三维分析中经常用到四面体，六面体，金字塔等三维实体网格，其中四面体因为其容易自动化生成，适应性好，数值计算方便等优点，在多物理场三维有限元分析中得到广泛应用。

几何特点

通常我们拿到四面体的是四个点的坐标，利用点可以计算出边，面的数据，在计算中要保持数据的一致性，即点，边，面的顺序要有固定规律。

以面为例，通常按照右手规则，三点顺序连接成面的法向量要一致朝外。

四面体计算中经常要用到任意四面体的体积和四面体角度

以上指标的计算方法C 源码可在 www.cae-sim.com 下方资源下载

网格质量评估

除了常见的最大边，最小边，最大角，最小角等。还有以下四种评估指标：

1.Aspect ratio：取得最大的边长A，取得最短的高度H（高度定义为一个顶点到对面的距离）。最大边长除以高度：A/H即为Aspect Ratio

2.坍塌比：

计算公式：(H/Sqrt(A))/2.14

H为顶点到对面的高度，

A为顶点对面的三角形面积，

坍塌比范围为0到1,1是正四面体，0为完全坍塌

3.二面角

六条边，每条边关联两个面的夹角，总共有六个角

通常取最大最小的二面角评估网格质量

4.扭曲度：

单元体积与相同大小外接球条件下的理想四面体体积之比

计算公式：实际体积/理想体积

正四面体值为1

常见的四面体几何错误包括：

1.自由点，边，面，

2.重复的点，边，面和实体

3.四点共面

4.相邻两点距离或Aspect ratio超过数值计算误差

对于高阶单元，四面体网格的几何和质量计算方法相同。

网格质量是如何影响仿真精度的

几乎所有书籍解释就是网格质量差，会造成误差大，计算精度不够。

但其实网格真正对仿真精度的影响来自两方面：网格密度和网格分布。

看一个场景：假设现在网格已经最优，达到最理想状态，我们将其中两个相邻网格加密，使其网格质量变差，但其实仿真精度并不受影响，只是网格分布变差，网格密度增加。

换句话说，除去数值计算误差，网格质量并不直接影响仿真精度！而是差质量的网格造成网格整体密度不够和分布不合理！

自由度

在网格技术中，我们经常提到自由度，其实自由度是有限元的概念，而非网格，自由度是在单元上的一种属性。一个自由度表示一个计算变量。比如热分析单元每个顶点上只有一个自由度，即温度；而位移则至少有XYZ三个自由度，考虑到旋转，则有更多自由度；电磁场至少有电场XYZ，磁场XYZ六个自由度。

此外对于相同拓扑的网格类型，也可以根据自由度的个数来定义不同的单元，比如四面体单元在ANSYS中至少有Solid185，Solid187，Solid92等。

形函数

求解应力应变，以节点位移为形函数参数的单元：

一次线性单元和二次曲线单元

其中L为体积坐标，三维单元的体积坐标可以参考任意一本有限元理论方面的书籍。

三次高阶四面体单元

以上图片来自于 朱伯芳《有限单元法原理与应用》

电磁矢量四面体单元

电磁矢量四面体单元高阶形函数

图片来自于金建铭 《The Finite Element Method  in Electromagnetics》

四面体和六面体之争

之前看过很多关于六面体和四面体的争论，大意上是说六面体要优于四面体，在网格选择上尽可能使用六面体。

从有限元理论上看，六面体确实只需比四面体更少的网格，就能达到更高的精度。但是对于实际工程中的模型，一方面自动化六面体生成和加密都比较困难，需要更多的手工操作，耗时耗力；另一方面六面体在很多计算中有更多限制和要求，比如自锁沙漏等现象，要人为加密网格或者缩减积分，需要一定的工程经验；最后各个领域的要求不太一样，一般CFD流体计算中六面体偏多，在无法生成六面体的地方需要混合四面体网格，热仿真对网格拓扑要求不高，电磁很少用到六面体，一般的争论在结构仿真中，而结构仿真大多一般用1,2维单元，体单元在局部位置分析较多。

综上所述，其实并不存在六面体和四面体哪个更好的问题，只是对于实际的工程问题，基于工程师的的经验，计算资源，仿真类型，需要选择合适的单元。

主流开源，商业网格引擎都提供了对四面体的支持。包括GMsh，Netgen，tetgen，phg，CGAL，VKI，meshgem，Simmetrix等等。

另外有过一份关于全球公开的四面体网格开源和商业软件的总结，并不是最新。

复 制链接到浏览器中查看：

http://www.robertschneiders.de/meshgeneration/software.html