【JY】振型求解之子空间迭代

简介

    子空间迭代法是把迭代法和瑞利-里兹法相结合并交替使用的一种方法，既利用瑞利-里兹法来缩减自由度，又在计算中利用迭代法使振型逐步趋近其精度。子空间迭代法中首先选定n个（n<N，N为体系的总自由度数）试向量，对这n个向量同时进行迭代，通常结构的自由度成千上万，而所需求解振型不过数十个，子空间迭代方法不需要全局求解，而是点到即止。子空间迭代方法以迭代法求得的向量作瑞利-里兹法向量，在用瑞利-里兹法求n个近似特征对，这归结为解退化了的子空间里的特征对问题。这种方法能同时求出模较大的一些特征值和相应的特征向量，也能在迭代过程中应用Rayleigh-Ritz原理进行加速。因此，同时迭代法比乘幂法更便于进行自动计算，而且加快了收敛速度，它是求解大型、稀疏矩阵特征值问题的最有效的方法之一。

1. 利用了瑞利-里兹法缩减了自由度。

2. 利用了迭代快速逼近精确解。（通常迭代2-3次，可以得到满意的解）

    在n维空间的n个特征向量中，选取前面s（s<n）个特征向量，这s个特征向量定义的空间称为原n维空间的一个子空间。对前s阶振型选s个假设的规格化向量，即

    经过了这一次的调整，相当于在振型原空间中，在变换一个“小振型子空间”，巧妙的利用了振型求解缩减自由度的能力。

从结构动力学中可知道，圆频率的平方计算公式如下：

    根据上述公式和瑞利商的性质（等比例缩放并不会影响瑞利商的值，即圆频率不影响）可得，原系统的圆频率等效为下式：

   其中，广义刚度、广义质量是s个自由度的矩阵：

   再根据瑞利商的性质，求解系统的圆频率：

    这样，问题归结为求上述方程这个新的s×s阶矩阵的特征值问题，而不是原来n×n阶矩阵的特征值问题。由于s<<n，因此求上述方程比较容易。由此可见，瑞利-里兹法起到了缩减自由度的作用。解得s个特征值就是原体系前s个自振频率平方的近似值。将求出的每一个自振频率，代回可求得对应的特征向量，从而得到体系的前s个近似振型：

Step1：生成一个迭代式，得到一个n(自由度)行s(需知振型数)列的矩阵。

（注：首步初始形状矩阵可任意生成一个非零矩阵~）

Step2：将生成的振型矩阵的各个位移模都进行标准化(即将各向量中位移的最大模化为1，做一个比例变换。)

   本案例采用的是【JY】主成分分析与振型分解 中的计算案例，计算串模型为8层楼，每层质量m=10 t，每层楼刚度k=10^8N/m，依次计算前6阶振型和周期。

特征值法计算：

子空间迭代法：

SAP2000瑞利法计算：

Etabs特征值法计算：

    上述对比结果几乎一致，说明计算方法得到较好的论证，子空间迭代法用在串模型计算振型周期上显得大材小用，但在三维结构模型计算时便可大展身手，详情可以看下在软件讨论系列中的【JY|STR】求解器之三维结构振型分析 。