续前节：《线性声学基本现象》Chapter 14 - 声在耗散介质中的传播-Biot理论

多孔介质骨架的力平衡方程为：

其中，是骨架的弹性应力张量，是表征流体对骨架所施加的相互作用力项。

多孔介质流体相的力平衡方程为：

其中，是流体相的各向同性应力张量，是表征骨架对流体所施加的相互作用力项。

流体-骨架间的相互作用项是两个分量的和。第一个分量代表粘性力，与骨架和流体之间的速度差成正比。第二个分量代表是惯性力，与骨架和流体之间的加速度差成正比。于是，该相互作用项可以进一步写成：

常量和与Biot参数相关:

在频域，固、流两相各自的力平衡方程写成如下形式：

或者：

需注意到：

通过将替换成其定义式，则流体相的力平衡方程进一步简化为：

或者：

通过将上式带入到公式（14.43）中，则固体相的力平衡方程可以进一步简化为：

或者：

其中，

• Q是流体的绝热体积模量；

• 是流体通过试样的净流量；

• 是试样的体积变形；

• 是比奥参数，假定等于1。

  
  

第一个本构方程一般写成:

或者：

弹性骨架的本构关系将应力张量分解为流体压力和固体应力两个分量。该本构关系可以写成：

且有：

其中，和是Lamé常数。

将上式代入到本构方程(14.55)，有：

其中，有：

将上两式代入方程（14.57）中，则有：

是在仅由受相同应变张量作用的骨架材料构成的均匀固体中发生的应力张量。

或：

上式为一个密度为的弹性固体的力平衡方程，其耦合了骨架应变与孔隙中的流体压力。

对流体相的频域力平衡方程方程（14.47）求取散度，有：

并且，从流体相的本构方程（14.52）求解出，有：

上述两个方程的右边必然相等。通过将上两式各乘以后相减，得到：

或者：

识别与比奥方程相关的平面波解是有意义的。由于比奥方程具有各向同性的特征，因此可仅考虑沿着轴x₁传播的平面波。于是，所有的场变量都是独立于轴x₂和x₃的：

将上述表达式代入比奥方程中，则得到下列代数方程组：

上式代数方程组可以得到八个非零解，每一个解都代表一个沿着轴x₁在多孔介质中传播的平面波。这八个解是成对出现的，即若是一个解则也是一个解。因此，这八个解包含四个不同的平面波类型，每一个平面波类型都沿着轴x₁的正反两个方向传播。

令等于零，则得到方程组（14.69）的前两对非零解。等于零后，方程组（14.69）的第一、四个方程被消去。因此只需求解方程组（14.69）的第二、三个方程，得到如下结果：

• 沿着轴x₁的正反两个方向传播的横波:

其传播速度为。

• 沿着轴x₁的正反两个方向传播的横波：

其传播速度同横波的一样。

方程组（14.69）的另外两对非零解则代表纵波。令等于零，则方程组（14.69）的第二、三个方程被消去。因此只需联合方程组（14.69）的第一、四个方程，消去得到如下方程：

只有在的一元二次方程的判别式等于零时，才是非零的。关于的一元二次方程的两根为：

其中，

因此，得到如下结果：

• 沿着轴x₁的正反两个方向传播的慢纵波（或固体纵波）:

其传播速度为：

事实上，对于充满轻流体（比如空气）的多孔介质，该慢纵波表现出较大的固体 位移，而流体 位移则几乎与固体 位移成相反相。为了证明这一点，我们必须用公式(14.47)计算，但是该计算很繁琐，因此这里不详细描述。粘性力引起的耗散使得这些慢纵波衰减得很快。由于惯性作用的影响比流、固势能更重要，所以传播速度较慢。即使慢纵波只在短距离内传播，也必须在边界条件中考虑它们，例如在反射和折射过程中。

• 沿着轴x₁的正反两个方向传播的快纵波（或流体纵波）：

其传播速度为：

对于轻流体(比如空气)，该快纵波表现出较大的流体 位移，而固体 位移通常与流体 位移一致。论证这一点同样需要计算，这里也不做详细描述。粘性耗散对快纵波不那么重要。由于固体 位移的低振幅，惯性作用的影响是适中的。这也解释了高传播速度的存在。这些快纵波可以在较远距离内传播，并与横波一起将声波从声源向远处传播。

图14. 9：聚氨酯泡沫的材料属性.

图14. 10：在弹性多孔材料中传播的三种平面波的位移:慢纵波衰减最快;快纵波和横波均能传播至较远的距离.

图14. 11：弹性多孔材料中不同类型平面波的复数声速.

在微观层面上，多孔介质是由连接孔隙的小导管组成的复杂网络结构。流体的体积模量Q和流阻R受粘性和热效应的影响较大，它们随频率的变化是通过微观模型(micro-models)来定义的。这里我们采用经典的Johnson- Champoux-Allard模型。

其中，

• 是大气压（101,325 Pa）;

• 是定压比热与定容比热的比（1.4 [-]）;

• 是普朗特数（0.71 [-]）;

• 是流体动力粘度（1.84·10⁻⁵ N·s/m²）;

• 是热特征长度（[m]）；

• 是粘性特征长度（[m]）；

• 是静流阻（[Nm^-4s]）;

  
  

这些值对于标准状态下的空气是给定的。特征长度按如下定义计算：

• 热特征长度是多孔介质中空气体积与空气表面积之比的两倍：

是流体和骨架之间产生热交换的尺度。

• 粘性特征长度如下：

其中，为等效流体中的宏观速度场。是粘性耗散发生的尺度。

在低频时，流体的体积模量Q趋向于其等温值。在高频时，它趋向于绝热值。