最难解的数学方程之一

物理学是一门包含许多方程式的学科，这些方程描述了从微观世界的粒子的行为到宏观宇宙的演化。在所有的物理方程中，有一组在数学上被认为极具挑战性，还被克莱数学研究所列为七个“千禧年大奖问题”之一，它们就是用来描述流体如何流动的纳维叶-斯托克斯方程（简称NS方程）。

在《对NS方程的重新思考》一文中，我们提到了关于NS方程的一些重要研究进展。如果说我们能从新的研究中得到什么启示的话，那就是这一问题比预想中的还要困难。水流通过软管，是我们熟悉的不能再熟悉的现象，然而为什么描述这类现象的方程在数学上比理解爱因斯坦场方程还要困难？

这其中的原因，便是湍流。湍流是指一个有序流动的流体（液体或气体）变化成看似不可预知的漩涡，例如香烟头升起的一缕青烟在空气中扩散开来，河流绕着石头，以及牛奶和咖啡的混合，生活中有许多熟悉的现象都与湍流有关。然而，熟悉并没能孕育出知识，毫不夸张的说：湍流是物理世界中最难以理解的部分之一。

对量子力学做出巨大贡献的物理学家维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）曾经说过：“当我见到上帝时，我想问他两个问题：为什么会有相对论？为什么会有湍流？我相信他一定会有第一个问题的答案。” 这个故事虽然很可能是杜撰的，却描述了大多数科学家对湍流的感觉。

一个非湍流的例子是一条平稳的河流，这条河流的每一部分都以相同的速率向相同的方向运动。湍流就是这条河的断裂，它让不同部分的河流以不同的速度向不同方向运动。物理学家首先将湍流的形成描述为是平稳流动的涡流，然后是在该涡流中形成的小涡流，再是小涡流中形成的更细微的涡流，一直分化，从而使得流体分裂成许多离散的部分，相互作用、各自移动。

○ 图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

科研人员想要了解的是一个平稳的流动是如何分解成湍流的，以及如何模拟已产生湍流的流体在之后的形状演变。但千禧年大奖要求数学家解决的是更为谨慎且基础的问题：证明方程的解永远存在。换句话说，就是要探寻方程是否能从任何起始条件开始，对任意流体进行无限的描述。

普林斯顿大学的数学家 Charlie Fefferman 说：“第一步就是要试图证明这些方程可以产生一些解。 虽然这并不能让我们真正理解流体的行为，但如果没有这一步，我们就什么都不知道。”

那么你如何证明解的存在？我们可以反过来，从思考什么能使方程解不存在开始。 正如在上文中所说，NS方程涉及到的是对流体中的压力、摩擦力和速度这些量的变化。数学家担心这种情况的出现：我们正在运行这些方程，在一段时间过后，方程出现一个正以无限快的速度移动的粒子。这就导致问题来了，因为我们无法计算出一个无限值的变化（换言之，我们无法对无穷大的值进行求导）。数学家把这种情况称为“爆炸”（blowup），在爆炸的情况下，方程失效，解也不复存在。

证明爆炸没有发生（且解决方案总是存在）等同于证明流体内的任意粒子的最大速度，需维持在有限的数量以下。其中在流体中最重要的量是动能。

当我们使用NS方程对流体进行建模时，流体会具有一定的初始能量。但是在一个湍流的流动中，这些能量可以发生集中——即动能不是均匀分布在河流上，而是可以在任意小的涡流中聚集，而理论上，那些在涡流中的粒子可以加速到无限快的速度。

上篇文章中提到的数学家 Vlad Vicol 表示：“随着我们的研究进入越来越小的尺度时，动能对解的控制作用会越来越小。我的解可以做任何想做的事情，但我也不知该如何去控制它。”

数学家们根据能在无限小的尺度上失效的程度来对像NS这样的偏微分方程进行分类，NS方程就处于所有类型的极端。这个方程的数学难度在某种意义上是它们应该描述的湍流复杂性的一个精确反映。

Vicol 说：“当对某一点进行放大时，从数学的角度来看，就会失去与解相关的信息。 但湍流所描述的正是如此——动能从大的尺度向越来越小的尺度转移，所以它需要的就去放大。”

○ 由手机APP“Wind Tunnel”制作的湍流图。 | 图片来源：Quanta Magazine

每当我们从数学角度谈论物理方程时，很自然的就会想要知道：这些会改变我们对物理世界的看法吗？经过近200年的实验，我们可以清楚地看出这些方程是有效的：由NS方程预测的流动与实验中观察到的流动总是相符的。如果你是一个实验物理学家，或许这样的一致性就已经足够了。但数学家想要知道的不仅仅是这些——他们想要知道我们是否可以一直遵循这些方程，准确地看到对有着任意初始配置的流体是如何发生瞬时变化的，甚至能精确定位湍流的开始。

Fefferman 说：“流体的行为带来许多惊喜，理论上说这些惊喜是通过那些描述流体如何运动的基本方程来解释的，但从能告诉我们流体如何移动的方程到对流体实际移动的任意描述，仍然非常神秘。”

来源：“原理”