对NS方程的重新思考

荡漾的小船产生水波，高速飞行的喷气机产生湍流。数学家和物理学家相信，对纳维叶-斯托克斯方程的理解，可以找到对风和湍流的解释和预测。虽然这些方程在19世纪就被提出，但我们对它们仍知之甚少。我们面临的挑战是在数学理论做出实质性的进步，从而揭开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程背后中的秘密。

——克雷数学研究所

○ 当两种流体以不同的速度越过彼此时，会出现复杂的不稳定性。数学家想要证明Navier-Stokes方程可以预测在每种情况下会发生什么。 | 图片来源：Quanta Magazine

纳维叶-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（简称NS方程）在流体力学界就相当于经典力学中的牛顿三大运动定律，它们描述的是气体和液体的运动在不同的环境里会如何演化。正如牛顿第二运动定理描述一个物体的速度在外力作用下会如何改变一样，NS方程描述了流体的流动速度是如何受到压力、黏度等内力以及重力一类的外力所影响的。这些方程的历史可追溯到19世纪的20年代，现已被广泛的用来模拟从海流、到飞机起飞后的湍流、再到流经心脏的血液流动等各个领域。

当物理学家认为这些方程的可靠性就如实锤一样实时，数学家却对它们投以十分谨慎的目光。在数学家眼中，这些方程的运作似乎并不对。他们想要证明的是这些方程是真的可靠的：无论是什么流体，也无论对其流动的预测发生在多远的未来，这些方程的数学仍保持正确。而这种愿望已被证明是非常难以达到的。因此，NS问题被列为七个千禧年大奖数学难题之一。

为了解决这个问题，数学家尝试发展了许多方法。 在去年9月，普林斯顿大学的数学家 Tristan Buckmaster 和 Vlad Vicol 在网上提交了一篇论文，引发了大家对一个问题的思考，即多年来数学家用来探寻NS方程问题的一种主要方法，是否有成功的可能性。Buckmaster 和 Vicol 发现，在某些假设条件下，NS方程对物理世界的描述不一致。

Buckmaster 说：“我们正在尝试弄清楚出这些方程中的一些固有问题，以及为何我们很可能必须得重新思考这些问题。”

Buckmaster 和 Vicol 的研究表明，当我们将NS方程的解设定得非常粗略时（好比草图之于照片），方程的输出便开始失去意义：对同一流体，从相同的初始条件开始，可能会出现两个或更多的非常不同的终态。如果这种情况发生的话，就意味着这些方程就不能可靠地反映我们想要描述的物理世界。

失效的方程式

为了说明这些方程会如何失效，可以以海流的流动为例。在它的内部可能有许多个交叉水流，以不同的速度和方向在不同的区域流动。这些交叉水流在不断变化的摩擦和水压的作用中相互作用，并决定着流体之后的流动。

数学家用一幅能告诉我们流体中每个位置的水流方向和大小的图来模拟这种相互作用。这种被称为向量场的图是流体内部动态的写照。NS方程将这种写照更提升了一个层次，它能准确地告诉我们向量场在随后的每个时刻会变成什么样子。

○  风的向量场图示：在每一点上，风都有一个特定的方向和大小。 | 图片来源：Windy.com

这些方程描述的流体的流动就好比牛顿方程预测的行星在未来的位置一样可靠，物理学家一直在用它们对流体运动进行模拟和预测，得到的结果与实验结果相符。然而，对数学家来说，他们需要的不仅是轶事证实，还需要证明这些方程是不能被违反的：不管起始于哪个向量场，也不管预测的是多么遥远的未来，这些方程总会且只能给你一个独一无二的新向量场。

这就是千禧年大奖问题的主题，它探讨的问题是NS方程是否对所有时刻的所有起点都有解。这些解必须为流体中的每个点的流动提供精确的方向和大小。以无限精细的分辨率提供信息的解被称为“光滑”解。一个光滑解能让向量场中的每一个点都有与其相关的向量，使流体可以“平稳地”在场内流动，而不会陷在那些无从知道下一步该往哪移动的没有向量的点上。

光滑解是物理世界的完整写照，但从数学上讲，它们可能并不总是存在。研究NS方程的数学家们担心这种情况出现：假如我们正在运行NS方程，并观察向量场会如何变化。过了一段时间后，方程显示流体中的某个粒子正以无限快的速度移动——问题便来了。NS方程涉及到的是对流体中的压力、摩擦力和速度等性质的变化进行测量，它们取这些量的导数。我们无法对无穷大的值进行求导，所以说如果这些方程里出现了一个无穷大的值，那么方程就可被认作为失效了。它们不再具有描述流体的后续状态的能力。

同时，失效也是一个预示着方程中失去了某些应该描述却没能描述的物理世界。Buckmaster 说：“这也许意味着方程没能捕获到真实流体的所有效应，因为在真实流体中，我们不会看到粒子以无限快的速度运动。”

如果谁能找到NS方程绝不发生失效、或能确定让其失效的条件，谁就解决了NS方程难题。数学家对着一问题的其中一个研究策略，就是首先放宽它们的解的一些要求。

从弱到光滑

当数学家研究像NS这样的方程时，他们有时会从扩大对于解的定义开始。以NS方程为例来说，光滑解要求的是最大化信息量，它们要求在与流体相关的向量场内，每个点都存在一个向量。但如果我们放松这一要求，比如只需要能够计算某些点上的向量，或者只需对向量的计算进行估算呢？这样的解称为“弱”解。它们让数学家对一个方程的行为有个大致个把握，而不需要做找光滑解的所有工作。从某些角度来看，弱解比实际的解更容易描述，因为需要知道的信息更少。

弱解是以渐弱的状态出现的。如果将光滑解看作是一张有着无限精细的分辨率的流体数学图像，那么弱解就像是这张图片的32位、16位或8位版本，取决于你想要的微弱程度。

1934年，法国数学家 Jean Leray 定义了一类重要的弱解。在Leray的解决方案中，与其使用精确的向量，他用的是向量场的小邻域中的向量平均值。 Leray证明，当解可以采取这种特殊形式时，我们总能求解NS方程。换句话说，Leray解不会失效。

Leray的发现为解决NS问题开创了一个新方法：我们可以从Leray解开始（因为知道Leray解总是存在），再看看是否能将Leray解转换成想要证明为永远存在的光滑解。这个过程就类似于从一张粗糙的图片开始，再试图基于这个基础往上添加信息，以获得一个更真实的完美图像。

Buckmaster 说：“一个可能的策略就是要证明这些弱的Leray解是光滑的，如果能证明它们是光滑的，那么就解决了这一千禧年大奖的难题。”

还有一点，NS方程的解对应的是真实的物理事件，而物理事件的发生是单向的。因此，方程应只有一组独一无二的解。如果你得到了好几组可能的解，那就意味着方程失效了。

○ 图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

正因如此，只有在 Leray解是独一无二的情况下，数学家才能够用他们来解决千禧年问题。非唯一的Leray解将意味着完全相同的流体从完全相同的起始条件开始，可能终结于两个不同的物理状态——这在物理上是不对的，同时这也意味着这些方程没能真正描述它们应该描述的东西。Buckmaster 和 Vicol 的最新研究成果首次证明了，对某些定义下的弱解来说，情况可能就是如此。

多层世界

在他们新发表的论文中，Buckmaster 和 Vicol 考虑的是比Leray解还要更弱的解，与 Leray解具有相同的平均原理，并同时额外放松了一个被称为“能量不等式”的要求。他们使用一种叫做“凸体积分”的方法，它起源于数学家约翰·纳什（John Nash）在几何学方面的工作，并在最近被引用到流体研究中。

通过这种方法，Buckmaster 和 Vicol 证明了NS方程的这些非常弱的解是非唯一的。他们展示了如果从一个完全平静的流体开始，例如摆放在床边的一杯水，会有两种情况可能发生。第一种情况是显而易见的：水始于静止并永远静止。第二个情况是匪夷所思的，但在数学上却可行：即水开始静止，但在半夜突然爆发，然后又回到静止。这证明了方程解的非唯一性。

Buckmaster 和 Vicol 证明了NS方程存在的许多非唯一的弱解。在一定程度上，弱解可能会变得非常薄弱，以至于它们停止了真正意义上对光滑解的模仿。如果是这样的话，那么 Buckmaster 和 Vicol 的结果或许不能走得太远。

De Lellis 说：“他们的结果当然是一种警告，但是你可以认为这是对弱解的最弱见解的警告。在NS方程中，有许多能让我们对更好的表述报以期许的层面（更强的解）。”

Buckmaster 和 Vicol 也在从“层”的角度思考，他们将目光瞄准了 Leray 解，证明它们也允许多轨物理学，即同一处境下的相同流体可拥有不止一种形式的未来。

Vicol 说：“Tristan和我认为，Leray解并非唯一的。虽然我们现在还没能证明这一点，但我们的工作正在为如何解决这个问题奠定基础。”

来源：“原理”