有限元方法为何偏爱高斯积分

有限元中用高斯积分(Gauss)较多,有些参考书会着重介绍高斯积分，譬如王勖成老师的《有限单元法》中会有专门一节。有限元方法为何偏爱高斯积分？个人总结有以下两个原因：

一) 积分复杂

采用等参坐标构造的等参单元刚度矩阵几乎得不到显式表达式。高斯积分很方便得到单元刚度矩阵。

二) 克服剪切锁定等问题

在实际问题中如深梁、厚板、厚壳等考虑剪切行为的单元中会出现所谓的剪切自锁，也包括一些体积自锁、膜自锁等单元中的应用。这些出现所谓自锁的单元，用少于完全积分所要求的积分点个数时，可以发现其对自锁能起到缓解作用。减缩积分的概念也容易理解，即采用少于精确积分点个数的积分。比如平面四边形等参数单元求节点位移时采用4个积分点，求单元应力时采用一个积分点。在二维、三维单元中，插值函数会有不同方向多项式的组合，也包括被积函数最终形式可能不是多项式，但仍然采用高斯积分。减缩积分带来的零能模式或沙漏，数值上可以理解为矩阵的奇异性，这就涉及到减缩积分点的布置，譬如在某一个方向采用完全积分，另外一个方向采用减缩积分，或者所有方向统一采用减缩积分。

当然还有另外一条技术路径避免剪切自锁，以假设应变为代表，强制对产生自锁的应变进行假设，然后可以仍然采用完全积分进行计算。引入的假设应变相当于添加了约束，可以用约束变分原理来实现。相对于减缩积分避免一些自锁问题，假设应变 完全积分有数值性能相当好单元，譬如在板壳中，MITC这类假设应变壳单元是性能极优异的单元之一。

声明：来源于数值分析与有限元编程