数学与人生的智慧

这篇文章来自我4年前写的一篇文章，现在修改后重发。原本名称是《数学思维对我做人和做事的影响》。

   我是数学系毕业的。30多年过去，数学公式忘得差不多了，大学的题目都不会做了。但幸运的是，很多思维方式却留下来了，影响了我一生的价值观和方法 论。

1、先确定存在性、可行性，再求解。

数学家研究问题时，先研究解的存在性、求解的可行性，再求解。这种思维方式对创新工作意义很大。从事创新工作时，用户理想的需求往往是不能实现的，需要对用户需求进行变通后才能解决。从事创新工作的人要善于分析问题的可行性，而不是急急忙忙地动手去做。前期走得太急，容易迈入不归路。

例如，建立数学模型的时候，很多人的想法是：“努力地做到精度足够高”。我的思维方式则是：先设法研究一下，精度的极限能多有高；如果精度没有办法特别高，该如何办？很多人没有这样思考，不考虑客观条件、只想着提高精度。于是，就去做了做不成的事。花了大量时间，最终还是失败了。

孔子说：“从心所欲不逾矩”。我的理解是：要知道什么做不成，才能做什么成什么。

2、指数函数。

一张纸对叠50次的厚度，接近从地球到太阳的距离。当某件事情进入指数发展的时候，其结果将会是非常惊人的。摩尔定律的发展引发智能革命，就是这样一种逻辑。

工具的发挥，值得关注。“工欲善其事，必先利其器”。数字化技术，本质上就是工具。从事工具性研究的时候，开始的效果可能非常有限。但发展潜力却往往非常巨大。现在的高科技，往往都经过了“合抱之木生于毫末”、不被人重视的阶段。

其实，数字化技术的本质往往就是工具，甚至可以说是“工具的工具”。未来引发的变化，可能就是“倍增的倍增”。

有智慧的人，一定要善于把握事物的发展潜力，才能抓住机会。“勿以善小而不为、勿以恶小而为之”。伟大的科技成果，就是一点点地发展起来的。我们被卡脖子的高科技，本质上都是在发展的过程中慢下来的。科技不能“跨越式发展”，但是却可以发展得更快。

伟大的科技工作要十年磨一剑。我发现，人们在认真研究一件事情的时候，知识的增长就符合这样的规律：开始的时候，认识的发展很慢。但认识到了一定程度，各种联系都看清楚了，认识往往会爆发式增长。

所以，做科研的人没有必要过于关注什么时候能够得到什么结果。你需要关注的是：每隔一段时间反思一下，是不是有新的进步。只要一直有进步，就会有“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的时候。

3、微积分与非线性

世界是非线性的，非线性非常复杂。因为它非常复杂，我们探索一辈子，都只能看到一点点。但是，非线性的局部却往往能用线性逼近。现实中的问题往往没有那么复杂，想得太多反而没有办法取得进展。

要做成一件事，往往可以从简单的做法入手、从局部入手，逐渐走入全局、走入复杂。这就是微积分给我们的智慧。很多人用复杂的非线性模型建立局部模型、做了很多无用功，就是缺乏这种智慧。当然，这条“弯路”可以用来发 论文，但这却是我不耻的事情。

“凡事有度，过犹不及”。这句话是道德经的精髓，也就是数学中所述的非线性。在我看来，道德经讲的,是大时空的发展的规律、是认识遭遇边界的表现。事物发展到一定的程度，往往要走到规律适用的边界、往往要出现拐点，从而从线性走向非线性。

从一个科技工作者的角度看，我国的科技发展，正面临一个伟大的拐点。这个拐点，就是从跟随走向创新。过去的许多做法，逐渐变得不合适了；过去的一些经验变得不灵了。我非常痛心地看到：几十年前的一些思维方式，还在主导着我国的科技界。一些过时的制度，正在把大家往沟里面带；一些思维僵化的学术权威，在祸害年轻一代。

社会发展的拐点也非常多。比如，在传统的农业社会，人口往往是指数增加；进入现代社会之后，人口进入指数减少的阶段。这一规律的变化，对社会、城市发展带来极大的影响。过去许多正确的思维方式，现在变得错误了。另外，信息技术的发展，也需要我们重新思考，应该如何发展我们的城市。

4、追求简单

学数学以后，对问题的复杂性有了很深的认识，知道复杂的东西想不清、容易出错。所以，我搞技术时一直强调复杂问题简单化。这里的道理是：客观世界比我们的脑子要复杂，人是经常犯错的。只有尽可能地简单化，人类才能认清世界的本质，才能看得比别人更远一些。

最近有个说法很流行：“用第一原理的观点看问题”。这就是要求从最根本的简单原理看问题。因为只有这样，才能看到社会和技术发展的拐点，也才能看得比普通人远一些，也才能抓住别人看不到的机会。

不喜欢简单的人，不是真正热爱科学的人。但理解“简单”的内涵，却需要有较高的科技素养。

5、变化中的不变性

“变化中的不变性”是数学家特别喜欢研究的东西。其实，世间所谓的规律，就是“变化中的不变性”。爱因斯坦的相对论，反应了质能守恒，就是一种不变性。

我做工业大数据分析时，常常故意找一些特殊的数据，让某些要素发展变化，看某些特征是不是存在。这种做法，帮我发现了很多的规律。

“日光之下无新事”。我们在从事创新工作时，往往是继承基础上的创新。比如，爱因斯坦的相对论并没有否定牛顿力学：相对论认为，牛顿力学在低速下就是成立的。相对论是继承基础上的发展。

“从古知兵非好战”，善于创新的人，往往要尽量避免不必要的创新。如果不能和过去的理论融合，往往就是荒唐的。所以，创新者往往会设法找到“变化中的不变性”。

6、严密与自洽

学过数学，思考问题的严密程度会增加。

搞数学的人，喜欢刨根问底，把道理想清楚。这个习惯，我毕业后一直保留着。我不喜欢ANN、模糊数学，因为这些“学问”不讲道理。现在人工智能和大数据中，有很多不讲道理的东西，必须保持清晰的头脑。当然，我的否定也不是完全否定，而是要明确其局限性。

在科学发展的过程中，一个小小的缺陷可能会导致整个理论体系的崩塌。旧的理论是这样，新的理论也是这样。作为理论工作者，思维的严密性就成了基本功。

所有的创新工作，都要辩证地否认前辈。而前辈的观点不是那么容易地就能否认的。有批判能力的人、有自我批判精神的人，才有资格建立自己的理论。否则，往往就是胡扯八道。

7、分类与变换

我的大学老师陈维新先生曾说：从某种意义上说，数学就是研究分类的学问。

  我发现，我们在深入思考问题的时候，其实就是在分类。分类不仅是“分”，也有“合”。“分”是看差别，“合”是看共性。在分与合的过程中，人类的认识就可以深入了。

比如，要清晰地认识从自动化、信息化和智能化，要找到其中的共性，如控制论的思想。这就是“合”。通过“合”，我们能借鉴过去的经验和知识、预测未来的发展方向。同时，又要看到发展过程的差异，比如“从感知到认知”，这就是“分”。通过“分”，知道现在的重点是什么。

再如，人工智能有很多学派，把学派的差异搞清楚，这就是“分”。在此基础上，需要找到一个能够概括各个学派、便于综合运用的视角，才能让知识实现互补。这就是“合”。

智能化的很多方法和思路，要处理热乎和机器的关系。把人的做法、对人的管理方法、人类获取知识的方法，借鉴到机器的逻辑中来，这就是“合”。而人和机器的分工要有一个合适的界面，这就是“分”。

分类的一个重要作用就是跨界的借鉴。越是搞创新，借鉴前人的经验就越是显得重要。智能化是一场决策革命。而决策的基本逻辑，2500年前的孙子就已经阐明了：“知己知彼百战不殆”。网络化、数字化推动智能化，恰恰就是这个逻辑。

8、虚实穿越

实数空间解决不了的问题，在复数空间往往能解决，并可以把结果返回实数空间、解决实数空间的问题。

人生中会遇到很多实和虚的问题。比如，金钱、官职、学位、职称是“实”的；而人的信誉、能力、公信力、心情、知识往往是“虚”的。过于关注实惠的人，往往没有大的出息；在“实”的空间中失去的东西，在虚的空间中却可能得到回报。这就是所谓“吃亏是福”。

有智慧的人，往往不是太在意“实”的东西，但很注重“虚”的积累。“虚”的积累，往往会带动指数增长的模式；也不会为自己树敌。如果能找到一条“从虚变实”的途径，就容易得到更大的成功。这就是老子“不争”的智慧。

9、互为因果、反馈增强

世界上有很多让人想不明白的事情：先有鸡还是先有蛋？人说：“艺高人胆大、胆大人艺高”：到底是先有胆大，还是先有艺高？

所有的这些问题，往往都会归结到一类问题：这是发展的结果。比如：世界上原本没有鸡、也没有蛋。现在的鸡和蛋都是生物进化、一点点发展的结果，而不是突然一下子就产生了。

微分方程，其实就是用来描述这类发展过程的。

世界上有一种矛盾，叫做互为因果。矛盾的表现，往往是多方互相制约，看起来是不能解决的。

而现实中，这些矛盾却是可以解决的。但解决的方法并不是一步到位。解决矛盾的智慧在于：推动矛盾的逐渐缓解。“用发展的办法解决问题”，恰恰也是改革开发40年最重要经验。

在操作层面的办法，是建立一个适合良性发展的环境，让矛盾逐渐缓解，事情越来越好。所以，我最担心的也是环境的恶化。

如果在企业界、官场、学术界形成一种逆向淘汰的环境。久而久之，市场上会充斥着劣质产品，官场和学术界会剩下一批溜须拍马、不学无术之徒。于是，什么荒唐的事情都会发生。

所以，世界上任何其他国家都没有办法阻止中国的发展。如果能阻止的话，只能是那些内生的奸商、政客和砖家等精致利己主义者。。

10、确定性与不确定性

我曾经发现了一种现象：人类智慧的高低，往往体现在对概率和不确定性的认识。世界很伟大、个人很渺小，我们生活在一个不确定性的世界中，智者是善于把握概率的人。

有些人士喜欢钻牛角尖、追求确定性、绝对正确。我们做创新的人，没有100%的确定性。过度追求确定性就没有创新，必须要学会用概率思考。这样我们就能理解：很多决策虽然结果是不好的，但在理性上却是正确的决策；反之，过度理性的决策，未必能得到好的结果。同时，要想逼近确定性，需要花大量的时间去获得信息——而实践的过程，本质上就是获得信息的过程。这件事展开来，可以谈到我对博弈和孙子兵法的理解。

信息技术的发展，为人类带来了极大的机会。从本质上说，就是因为信息能帮助人类减少和正确地应对不确定性。而要理解现代工业及其发展规律，也可以从确定性的角度去看问题：确定性是工业人追求的目标，不确定性则是工业人技术创新的机会。

11、构造条件

一个数学结论能否成立，关键是给了什么前提条件。现实中，很多理想没法实现，其实不是能力不够，而是前提条件不满足。这个时候，聪明人不会硬来。善于创新的人，会把很多的精力放在构造条件上。这就叫做“退一步海阔天空”。

铁人王进喜有句名言：“有条件要上，没有条件创造条件也要上”。工业人的智慧之一，就是创造条件。通过创造条件，把复杂的问题变得简单，就容易推进了。

我们知道：创新往往发生在条件不太理想的时候。因为条件理想了，创新的机会也就失去了。所以，善于创新的人，往往要善于创造条件。

12、用辅助线破解困难

   困难的问题，往往加一条辅助线就完成了。辅助线的作用，本质上是把论证和计算分成几个部分。把困难的问题拆开来。我感觉，技术创新之难，往往在于“把登天的问题变成登山”的问题。这就是把问题分解，难度就会降低到可操作的程度。

在创新的过程中，经常遇到难以克服的困难。这时的处理方式之一，就是分步骤去做、化解困难。比如，在推进智能化的过程中，我就主张：

先人做，在机器做。不要在开始的时候就急于追求无人化，而是确保流程的可行。当运行顺利之后，再推进无人化、少人化。

用人明白的道理，让机器做得更好。这个主张的含义，就是把智能化的工作分工：人类获得知识，机器运用知识。这样就避免了机器学习的困难。

先做成、后做好。不要追求一步到位，而是要先跨出第一步，再追求做得更好。当然，这样要求如果再深入一点，就是要为今后的持续改进奠定基础。

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