跳跃和跑步的力学分析

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

跳跃不仅是跳高、跳远运动的基本动作，也是球类，尤其是排球运动员的基本功（图1）。从力学观点分析，跳跃是人体解除地面约束转变为腾空状态的过程。地面约束是单侧约束，就是只限制物体朝一侧的运动，而另一侧完全自由。约束是通过约束力实现的，当地面对物体的约束力减小为零时约束即不存在。若物体在解除约束的同时具有向上的速度，就能脱离地面跳起。

图1 原地跳跃

为有助于了解跳跃过程，将刚体简化为质量集中在质心Oc 处的质点。与一个弹簧连接成简单的弹簧－质点系统（图2）。将其置于地面但不与地面固定，向下压缩弹簧突然松手，观察质点在弹簧反力作用下向上运动和离地跳起的过程。设质点的质量为m，弹簧刚度为k，以弹簧在重力mg 作用下的平衡位置为原点O，Oc 相O 点的变形为坐标x，建立动力学方程：

图2 跳跃过程的简化模型

方程中的重力项mg 已和静平衡状态的弹簧力平衡而消去。将弹簧向下压缩a 距离后放开。以t=0时刻的坐标x(0)=-a，速度v(0)=0为初始条件。令ω=(k/m)^1/2，解出

质点的速度v 和加速度w 分别为

从图3表示的速度和加速度变化曲线可看出，开始起跳时质点突然以初始加速度 aω² 向上运动，桌面对弹簧的法向约束力FN 随加速度w 的变化而改变：

图3 起跳过程的速度和加速度变化曲线

图3的曲线显示加速度w 在起跳后逐渐降低，从正值降为负值，加速变为减速。若在T 时刻，加速度降到与重力加速度的负值相等，即w(T)=-g 时，所产生的向上惯性力恰好与重力相抵消，使法向约束力FN 等于零，约束即被解除。若此刻质点具有向上的速度vs=v(T)，则离地跳起。因此，FN (T)=0和v(T)>0是物体离地跳跃必须满足的两个条件缺一不可。实现w(T)=-g 的必要条件是初始加速度w(0) 的最大值aω² 必须大于g，令质点的速度v 和加速度w 公式中w>g，则初始时刻的约束力 FN(0)>2mg。即，蹬地力必须大于二倍的物体重量。

人体原地跳跃的过程与此相似。将躯干简化为质点，与模拟下肢运动的弹簧连接。膝关节的肌肉收缩产生的张力控制膝关节角度的变化，使下肢从静止的下蹲状态突然伸展，带动躯体以初始加速度w(0) 垂直向上运动，然后逐渐从正值减小为负值。当上述FN(T)=0和v(T)>0两个条件同时满足时，人体即离地跳起。为满足 FN(0)>2mg 条件，运动员伸展膝关节的动作必须有足够的爆发性。实践经验也表明，缓慢地伸展躯体绝不可能让自己离地跳起来。

起跳后的腾空阶段能够到达的最大高度是衡量跳跃运动的最重要指标，而最大高度h 取决于人体在起跳过程中耗费的总能量E。将起跳速度记作vs=v(T)，则有

起跳速度vs 等于加速度w 在 (0,T) 区间内的积分。因此，不仅取决于初始加速度 w(0)，而且与伸展时间T 有关。为保证在伸展阶段内有充分的时间使速度得到积累，解除约束的时间T 不能过早。过分急剧的加速度变化率无助于提高腾空高度。作为极端的特例，若w(0) 的变化速度趋于无限大，则在到达-g 以前的伸展时间趋近于零。于是躯体在开始伸展的瞬间即解除约束，离地速度vs 和腾空高度h 均等于零。运动员能根据训练过程中积累的经验，优化其膝关节的伸展过程，以达到最佳的跳跃效果。

原地跳跃只是最简单的跳跃模式。跳远、跳高、三级跳，乃至跑步运动的每一次腾空都属于带助跑的跳跃。与静止状态下开始蹬地的原地跳跃不同，在助跑的带动下运动员以碰撞形式用力踏地。即使踏地过程极其短暂，所产生的碰撞冲量也足以使速度产生突变。腾空后的初速度为垂直离地速度与水平助跑速度的合成。优秀的运动员能依据训练中取得的经验控制腾空速度的大小和角度，以取得跳远或跳高的最佳成绩。跳水运动员能借助由跳板变形获得的初速度提升腾空高度，延长腾空持续时间以高质量完成各种高难动作。

以上关于跳跃的力学分析既适用于生物体，也适用于夯土机、机器人等能跳跃的机械。一般情况下，任何生物体所能提供的能量与本身的质量成比例，即E~m。将能量公式两边的m 约去，则能达到最大高度h 的估计值与质量无关。观察不同大小的生物体，其跳跃的最大高度大致相同，都在以米为度量单位的同一个数量级。运动员如此，袋鼠和青蛙如此。甚至称为跳跃冠军的跳蚤，尽管跳跃高度是自身长度的一百多倍也不例外^[1]。

在体育运动里，竞走和跑步都与跳跃有关。竞走运动严格要求步行过程中双足不能同时离地，即不能出现跳跃。跑步则相反，每次踏步均导致跳跃，以产生双足同时离地的腾空状态。在文章《步行与竞走的力学》一文里曾对竞走运动做出解释。如运动员能保持等高度步行的理想状态，垂直方向的质心加速度必不可能出现。则足底的法向支承力恒保持与重力相等，踏地时不会发生碰撞，就能完全避免跳跃发生。人体的重心如上下波动，所产生的惯性力使地面支承力也相应地波动，离地现象即可能出现。因此，竞走运动员在步行过程中必尽量保持重心的高度不变，从而形成臀部周期性扭动使左、右髋关节联线的中点保持高度不变的特殊竞走姿势。

跑步运动中，单足支承阶段和双足离地的腾空阶段交替进行。在支承阶段结束时，支承足必须离地跳起。因此与竞走运动相反，跑步运动员要尽量加强踏地冲击。根据以上分析，蹬地力的初值 N(0) 必须大于二倍体重才可能解除约束离地跳起。实际上跑步运动员踏地时的强烈冲击所产生的蹬地力远超过此临界值。优秀的赛跑运动员能控制其下肢的踏地和伸展动作，以产生最大和方向最佳的离地速度，使随后的腾空阶段产生最大的前进距离。由于步长明显增大，跑步运动的动态稳定域远大于步行运动。为使地面有足够大的摩擦力以实现稳定的跑步运动，运动员必须穿着钉子鞋来增强鞋底与地面的摩擦。在起跑阶段，运动员必须以最快的反应速度从静止状态迅速转为运动状态，仅靠摩擦力已远远不够，必须利用起跑器的反推力实现对运动员的驱动。

关于跳跃运动更深入的分析可参考文献^[2]。

参考文献：

[1] 武际可. 跳蚤应当与人跳同样的高度. 力学与实践，2008，30（3）

[2] 刘延柱. 跳跃运动的定性理论. 力学学报，1994, 26 (4) : 477-482

原文注：改写自

　　刘延柱，周祥玉. 原地跳跃的动力学问题. 上海交通大学学报，1987, 21 (3) : 93-99

　　刘延柱. 单足跳跃的定性分析. 力学与实践，1995, 17 (2) : 19-21

　　刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版), 3.3节. 北京：高等教育出版社，2018）