力学分析之：柔性牵引

来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆 河南理工大学教授。

冲车，又称撞车，是先秦时期出现的一种攻城器械，《诗经·大雅·皇矣》《墨子•备城门》均有记载，汉景帝刘启（公元前187年－前141年）阳陵出土有撞木前端的棱锤形钢铁撞头，江苏连云港出土的汉简记载有西汉成帝永始四年（公元前13年）郡级武器库藏，其中列有冲车37辆及相关备件的名称和数量。

古代冲车的具体形式似已难考，最初可能将粗木直接架在车轴上或者固定在车体上，结构相对简单。不过，冲撞反力将使撞木偏离车轴或损伤车体，影响持续撞击。实际使用者一定会发现，将撞木悬挂起来操作更为便利，撞击力度也能增强。或许，“飞冲”就是撞木悬挂的冲车，不必理解为投射器。国内多个影视城复 制有冲车，士兵可在内部推车而行，以防护城楼投下的石块或发射的箭矢。

撞木各处运动特征相同，可以长L、质量m 的单摆作为力学模型，其在悬挂点O 被质量为M 的车体以速度V 牵引向前。将平整路面推行时冲车所受阻力折算到车轴上，其与竖直方向的载荷N 成比例。若遇到路面凸起而阻力增加，则车速减小、撞木相对于车向前运动，即θ 大于0。在最远点附近角速度较低，F 和N 减小，阻力也将随之减少。此外，拉力F 的水平分力有助于车体速度的恢复。撞木通过中心点向后摆动时将阻碍车体向前，但冲车应已通过凸起而向下运动，即悬挂撞木具有抹平扰动的功效。

设车速V=1m/s 即3.6km/hr，摆长L=1m；若车因阻碍突然停止，则撞木可升高5.1cm，最大摆角β=18.4°，绳中拉力达到mgcosβ，引起车体对地面的竖直压力减少了0.099mg，并对车体产生水平拉力0.299mg，效果显著。摆动周期为2.0s，推车者有足够时间作出反应。

冲车若停在泥土地面时间稍长，车轮就会因土体蠕变而陷入，加之轮轴等处静摩擦总是大于动摩擦，因而推车初始阻力较大。若启动困难，可先推撞木摆动，在其接近前方最高点时推车向前。

与荡秋千类似，周期性地施加载荷引起共振，可以使撞木摆动的幅度逐步增大，所获得的速度总能大于士兵步行的推车速度。通过战前训练，确定撞木所能达到的最大振幅，在其从后方最高点向前摆动时推车向前，在最低点或稍过最低点发生撞击；如此操作，则撞击速度是摆动速度与推车速度之和，肯定优于撞木与车固定而整体撞击的效果。

2大锤的软柄了解一下

软柄不震手且省力，这是使用者的经验之谈。不过，因出力与速度并不合拍，软柄大锤的挥甩也有顺逆之分，需得把握节奏才好，正如以弹性的扁担挑运只有熟练之后才能轻快而行。“十八磅的软柄大锤，非力大如牛的铁匠高手难以操控啊，可在少年的手里竟是那般轻松自如，仿佛是他身体的外延”，《生死疲劳》中这句话想来是莫言亲见之后的赞叹。

(1) 力学原理

为理解软柄大锤的工作特性，将手柄的弹性特征假设为刚度K 的悬臂梁或弹簧，以速度V 牵引质量m 的锤头加速，撞击固定物体。弹质系统的圆频率为 sqrt(K/m)。

若撞击时间恰巧在T=π/ω ，锤头速度将达到最大值2V，即弹性软柄使撞击能量提高4倍；而撞击时软饼恢复原状，即处于松弛状态，人手所受撞击载荷的影响较小。牵引力的最大值与K 相关；减小刚度K 可减小出力，但延长加速时间和行程。

参数T 即自由振动的半周期可作为大锤的特征时间。锤头速度在峰值附近变化较缓，在 (0.86 ~ 1.14)T 之间即在近30%的范围内，锤头撞击速度都大于1.90V。只要锤头质量与软柄尺度协调，完全可以将软柄的弹性变形能用于撞击。

(2) 白蜡杆的性能

白蜡树，别名青榔木、白荆树，繁殖便利、生长快速，河南宁陵等地有规模种植，其树杆具有极好的柔性而得到广泛使用。下面对笔者所购白蜡杆及8磅大锤的力学特征略作说明。

锤柄悬臂长1m时，3.6kg锤头下沉11cm，刚度K=320N/ m，计算频率为9.4/s，与自由振动周期0.6s大致相符，相应的动刚度Kd=395N/m，动态杨氏模量Ed=3.3Pa。直径30m、长1m的白蜡杆质量约0.6kg，影响较小，没有参与计算。

长1m、直径3cm的白蜡杆竖直向下驱动锤头水平匀速运动，锤头重3.2kg，则在最佳时间0.3s时撞击速度可以达到牵引速度的两倍；若是18磅大锤，则最佳时间为0.45s。当然，实际牵引并不是匀速状态，最初也有加速过程，而弹性变形延缓锤头加速、降低瞬间出力，可使牵引速度易于增加。牵引速度恒定值V，锤头在达到该速度之前软柄弹性变形储存能量；其后变形恢复释放能量使锤头进一步加速。

锤头很重而锤柄较轻，依打击中心所确定的锤柄长度较短，并不能适用于大锤；而白蜡杆的柔性能够消除冲击载荷。

(3) 抡锤过程分析

如果敲砸地面，锤柄也就较长，通常都是双手分开握柄，往复地高举低砸；若空间许可，多侧身转体从身后举起大锤。上举初期锤柄的弹性变形可以延缓锤头升高和速度增加，减小出力而避免腰部肌肉劳损；而接近最高点时势能不再增加，挥臂速度降低，锤头惯性可使软柄向人体背后弯曲，储蓄动能；人只要手握锤柄竖直向上，软柄弯曲、锤头势能降低同样也转换为弹性势能。

人挥柄向前、向下，锤头重力势能以及锤柄弹性势能将转换为锤头的动能。锤头撞击钢钎的反冲力为锤头升高以及锤柄弹性变形所吸收，减少了手掌受震；而锤柄变形也有利于手臂运动的换向。另一方面，假如锤柄完全刚性，则上挥初期速度受制，且容易用出力过猛而受伤；而举起大锤之后若不能准确控制减速过程，又将浪费能量，且引起挥锤者站立不稳。

若空间狭小，打钎锤铁时只能往复地高举低砸。不过，只要空间许可，大锤都是抡圆了：双手相并抓住锤柄尾端，侧身将大锤由下方向后甩起，上举过头顶，再转身挥臂下砸；借着锤头的回弹而转身，再加速下摆大锤以积蓄能量而上举。软柄的弹性变形可以协调手臂的挥舞与锤头的运动，连绵不断地抡砸固定位置的钎头。

“红旗渠的故事”22分钟处有如此抡锤砸钎的视频。此时锤柄通常较短，约为65cm，而悬臂梁刚度与臂长3次方相关，依前述数据，则白蜡杆刚度增大为 1438N/m；若大锤为18磅即8kg，则有ω=13.4/s，特征时间为T= 0.23s。

抡圆锤头从最高点砸到钢钎的距离约为2m，该距离自由落体的时间为0.63s；实际砸锤时间因人而异，可估计为0.3s以内，与大锤特征时间T 相符。当然，抡锤者会依据自身力量调整握手位置，以改变锤柄长度使之“顺手”；抡锤初期也是逐步提速以确认最佳速度——省力而不震手。

手柄材质及连接方式因用途和地域而各不相同。白蜡杆的几何尺度和变形特性恰好合用于大锤，柔顺地协调手臂与锤头的运动过程，积蓄力量而用于一刹——砸铁破石。上天造物，刚柔并济，真是尽善尽美啊。

不过，破土农具如镢头、钉耙和铁塔，都是用刚度较高的硬木或竹杆作柄。土体硬度不同，破土时间不等，前述手柄弹性变形似不易应用。

而破土过程使手柄的速度逐步降低，不会产生显著反震而伤手。此外，破土用具关键是刃口，重量相对较轻而不存在上举的困难，不必选用软柄。

扁担挑运综合运用了上述两种形式的柔性牵引。人走动时双脚轮替着地而具有速度脉动，荷物因绳索的相应摆动在水平方向近乎匀速向前，减少了人体所作的无用功；而绳索对扁担作用力的周期变化引起扁担共振而得到放大，可使挑担者在肩部承载较小时迈步向前。扁担形状近似于等强度的悬臂梁，降低了刚度，使其振动频率与走动步伐协调。

连枷的转轴亦可看作柔性牵引，手握摆杆周期性后拉、上举、前推和下扑，即可使敲板作圆周运动而进行农作物的脱粒。通常经人指点再略作练习，即可获得节奏感而有韵律地劳作，确保转轴端同时或略后于敲板前端到达地面。

若将敲板横转而固定于摆杆端部即类似于翻耙，则结构简单，操作也更为便利，也许连枷的原始结构就是如此。不过，在上举和下扑转换时需略作停顿而不能连续作业，降低击打频率，人也易于疲劳。其敲板击打谷物的速度等同于摆杆端点的速度。真实连枷转轴的柔性牵引使敲板连续运动，其击打是自身旋转速度与摆杆端点牵引速度之和，前者在最高点并不为零，且下扑过程仍会增加，效率也就更高。

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