第四强度理论的冠名权

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材料力学中，第四强度理论被称冯.米塞斯屈服准则（von Mises yield criterion，1883-1953），冯·米塞斯全名理查德·冯·米塞斯(Richard von Mises)，是一名出生于奥匈帝国伦贝格（今为乌克兰利沃夫Lviv）的数学力学家。有些资料中经常把他和他的哥哥路德维希·冯·米塞斯（Ludwig von Mises，1881-1973）混淆，哥哥路德维希有许多头衔，奥地利经济学家、历史学家、逻辑学家和社会学家，如果从社会影响力来看，哥哥路德维希似乎更胜一筹，这或许也是混淆两人的原因。在学习第四强度理论时，一定要注意，我们提到的米塞斯是弟弟理查德·冯·米塞斯，而不是哥哥路德维希·冯·米塞斯。

左：弟弟理查德·冯·米塞斯，第四强度提出者，右：哥哥路德维希·冯·米塞斯，经济、历史学家

图1 米塞斯兄弟

在Robert M. Jones所著的《塑性变形理论》（Deformation theory of plasticity）中提到，1913年米塞斯公开发表了他的屈服准则，认为材料的畸变能达到了临界值，材料将发生屈服。不过，这一思想早在半个世纪前就已经有人想到了。1865年，著名的物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）在写给开尔文勋爵（The LordKelvin，1824-1907）的一封信中就表述了这一思想。他将材料变形过程中，每单位体积的总应变能分为两个部分：(1) 均匀拉伸或压缩的应变能；(2) 畸变应变能。他说：

图2 麦克斯韦 James Clerk Maxwell, 1814-1885

可见，麦克斯韦已经给出了最大畸变能理论思想。然而，麦克斯韦并没有就这个问题深入讨论，也没有以正式出版物的形式向世人公开，人们是在他的书信出版后才知道了他的思想。

在公开的出版物中，畸变能理论是从应变能理论分离出来的。1885年，意大利数学家贝特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1900）最早建议采用材料每单位体积内储存的应变能（即应变能密度）的值作为判定金属失效的依据。

图3 Eugenio Beltrami 1835-1900

贝特拉米以轴向拉伸为例，给出应变能密度的表达式为

三维主应力状态下，写出应变能密度为

考虑广义虎克定律，代入上式，得

设单向拉伸时屈服应力为σ_ys，则临界应变能密度

利用式(3)与式(4)，写出屈服临界条件为

应变能屈服判据提出之后，并没有得到推广，因为它与实验结果严重不符。例如，材料在均匀的流体静压力下（任意方向都是主应力方向，且其值相等），材料储存的应变能很高，但它并不发生断裂或屈服。造成这一现象的原因主要在于，塑性变形起源于剪切，但在均匀流体静压力下，材料任意方向都是主应力方向，只有体积压缩没有剪切，也就不会发生塑性屈服。

一般情况下，材料的变形可分为两部分：1）体积改变（即麦克斯韦说的膨胀或压缩）；2）形状改变（畸变）。体积改变由正应力引起，形状改变由剪切应力引起。

这说明判定金属材料的屈服，采用总应变能是不合理的，因为总应变能包括了体积改变所存储的应变能，该部分不引起塑性变形，应该被去掉，只用畸变能来判定金属材料的屈服。

1904年，波兰机械工程师、教育家和科学家胡博（Tytus Maksymilian Huber，1872-1950）在他的博士论文和一篇名为“Fundamentals of Strength Theories”的论文中对应变能判据进行了修改，去掉体积形变应变能，只用畸变能来阐述屈服准则。不过由于他的论文用波兰语写成，其影响仅限于波兰国内。

图4 Tytus Maksymilian Huber，1872-1950

胡博给出的畸变能表达式为

简单拉伸下，只有σ₁不为0，σ₁和σ₁均为0，利用简单拉伸下的屈服应力σ_ys可得最大畸变能的值，即

利用式(6)和式(7)建立屈服判据：

这已经是我们现在教材中畸变能强度准则了。随着研究人员的实验验证，越来越多的人们认可了畸变能理论的正确性。

铁木辛柯著《材料力学史》中介绍畸变能理论时，主要介绍了胡博的工作，米塞斯的工作只在脚注中注释“米塞斯独立的提出了同一观点”。Robert M. Jones所著《塑性变形理论》中指出米塞斯在1913发表的论文，是畸变能准则中引用最多的论文，大概也是这个原因，我们习惯于称畸变能理论为“米塞斯屈服准则”。

1924年，第一届应用力学大会在荷兰Delft举办，这是享有国际力学奥林匹克美誉的国际理论与应用力学联盟（IUTAM）系列会议的前身（第六届应用力学大会上改名），胡博、米塞斯，以及畸变能理论另一位关键学者海因里希·亨基（Heinrich Hencky, 1885-1951）相遇并深入讨论了畸变能理论。亨基在1904年开始关注到胡博的工作并开始相关研究工作，系统描述畸变能理论的物理解释，并用畸变能来构建塑性变形理论。

图5  HeinrichHencky, 1885-1951

假设材料在承载后，其上某一点的应力状态可用张量表示为

则该应力张量可以表示为两个部分：反应体积膨胀缩小的应力球张量，以及反应畸变的应力偏张量，即

上式中，第一部分即为应力球张量，它表征体积变形部分，且

后一部分称为应力偏张量，表征畸变部分。其应变能也可以对应的分为两个部分，如图6所示，相应的，应变能分为两个部分，即：1）对应于体积改变的应变能；2）对应于形状改变的畸变应变能。

图6 应变能由体积改变和畸变两部分组成

则畸变能U就可由应力偏张量的第二不变量J₂写出:

利用式(13)很容易得到与式(9)相同的屈服判据。

回顾畸变能理论的发现历程，麦克斯麦克斯韦最早提出畸变能准则的思想（1856年），胡博最先建立理论体系（1903），米塞斯的工作被人引用最多（1913），亨基对畸变能理论解释的最深入，并建立塑性变形理论（1924）。因此，他们都有对第四强度理论的冠名权，实际上，一些强度理论的资料中也把米塞斯屈服准则（Mises yield criterion）称为胡博-米塞斯屈服准则（Huber-Mises yield criterion）或者胡博-米塞斯-亨基屈服准则（Huber-Mises-Henckyyield criterion），考虑到麦克斯韦的贡献，我们也可以称之为麦克斯韦-胡博-米塞斯-亨基准则（Maxwell-Huber-Mises-Hencky yield criterion）。

注：文中图片均来自网络搜索

参考文献

1. 铁木辛柯. 材料力学史

2. Zbigniew S. Olesiak. Huber’s Yield Criterion andStrength Hypothesis Centennial. Arch. Mech., 56, 3, pp. 171–172, Warszawa 2004

3. RobertM. Jones. Deformationtheory of plasticity

4. 维基百 科. Mises yield criterion

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