【荐读】树枝上的小鸟--趣说刚体平衡！

3年前浏览2152

本文给出了两个静力学例子，其一为小鸟站在竖直树枝上的力学分析，其二为分析和探讨啄木鸟的尾巴在保持身体平衡中的作用。在这两例涉及力的平行四边形法则、力的可传性、三力平衡汇交定理、刚体平衡等力学公理，贴近生活的例子可以增强学生对所学知识的体验，有望能够达到提高学习兴趣，寓教于乐、改善教学效果的目的。

问题1：试分析图1(a)中小鸟站立在树枝上时，为维持平衡小鸟两爪的作用力有多大？

分析与求解：首先考虑小鸟身体的简化，在某一时刻，小鸟静止，可将其视为刚体。然后考虑小鸟的受力，包括重力，两只爪的作用力。显然，上爪承受拉力和下爪承受支撑力。在此三力中，重力方位线竖直向下，下爪支撑力沿腿作用，但是小鸟位于上侧的腿一方面是弯着的，另一方面紧贴身体，不好判断其受力方向，此时需要根据“三力平衡必汇交”定理来判断上爪拉力的作用线，三力作用线如图1(b)所示。用一个椭圆形代表鸟的身体，保持图中各力方位，分离出受力示意图，如图1(c)所示。

为了确定三力之间的关系，再利用“力的可传性”，即力沿着作用线移动不改变力对刚体的作用效果，将三力平移至汇交点，依据“二力平衡条件”可知重力应与两爪作用力的合力相等，求两爪作用力的合力则会用到“力的平行四边形法则”，其关系如图1(d)所示。假设拉力作用线与水平线的夹角为θ₁（也可等效为支撑力与竖直线的夹角），支撑力作用线与水平线之间的夹角为θ₂（也可等效为上腿拉力与竖直线的夹角），依据图1(d)的几何关系，利用正弦定理写出如下表达式：

由于这里只有F₁和F₂是未知量，当小鸟的体重已知时，很容易求得

讨论：依据式(2)可知，小鸟两只爪子的受力主要取决与θ₁和θ₂、以及两角之和的大小。当θ₁ θ₂为90^o时，sin(θ₁ θ₂)=1，取得最大值，此时小鸟两爪的受力可取得最小值。从图1(b)的照片看，θ₁ θ₂近似为90^o。可见，小鸟的站立姿态做了最省力的“优化处理”。假设当小鸟重心从远至近贴近树枝时，保持θ₁ θ₂=90^o，并以θ₁为自变量来考察小鸟站姿对两腿受力的影响，则式(2)简化为式(3)

由此可见，当小鸟重心从远至近贴近树枝时，θ₁将由大变小，其变化范围在90^o ~0^o之间，根据三角函数的性质可知，当θ₁=45^o时，两腿受力相等；当0^o<θ₁<45^o时，有F₁<F₂，即拉力小于支撑力；当45^o <θ₁<90^o时，有F₁>F₂，即拉力大于支撑力。

问题2：试分析啄木鸟尾巴的作用。

分析与求解：采用与问题1相似的方法，将啄木鸟简化为刚体，这里用橄榄球状来替代啄木鸟的身体，如图2(b)所示。从图2(a)中观察，啄木鸟两爪的作用力相交位于同一平面内，可先将两爪的作用力利用“力的平行四边形法则”合成为一个力F_爪，如图2(c)所示。利用“力的可传性”，将其汇交于一点求出合力大小，如图2(d)所示。在此基础上，重力、两爪合力、尾巴受力如图2(e)所示，再利用“力的可传性”简化为图2(f)，啄木鸟要保持身体平衡，则各力之间应满足如下关系，

于是，可得

讨论：依据式(5)，可以得到与问题1类似的结果，啄木鸟尾巴受力相当于问题1中小鸟下方爪提供的支撑力，且α₁ α₂=90^o时，啄木鸟最为省力，从图2(b)和图2(f)中也可以看出α₁ α₂近似为90^o。假设α₁ α₂=90^o，选择α₂（尾巴上的作用力与竖直线的夹角）作为自变量，式(5)可写为

啄木鸟在啄食虫子的过程中，需要先将身体后仰，α₂达到最大设为α_max（依据图2(b)估计α₂不超过45^o），然后身体向前弯曲啄食虫子，α₂的变化范围在α_max到0^o之间。尽管在这个过程中身体是变形体，但对于每一个时刻均可视为刚体，啄木鸟身体弯曲变形的过程，从静力学本质上看就是身体重心依次发生了变化。由式(6)可知，当α_max（设α_max<45^o）逐渐减小时，尾巴受力将逐渐增大，极限情况下α₂=0时，啄木鸟身体的重量将完全由尾巴支撑。由此可见，尾巴对于啄木鸟啄食虫子具有十分重要的作用。